Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим пример:
В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?
Варианты ответов:
1) вынутый предмет окажется клубком
2) вынутый предмет окажется красным клубком
3) вынутый предмет окажется зеленым клубком
4) вынутый предмет не окажется клубком
Ответ: первое и третье.
1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.
Определение.
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).
Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.
1. Процесс доставания предмета из коробки является испытанием.
2. Результат доставания предмета из корзины является событием.
3. Событие «вынутый предмет окажется клубком» является достоверным событием.
4. События «вынутый предмет не окажется клубком» или «вынутый предмет окажется красным клубком» являются невозможными событиями.
5. Событие «вынутый предмет окажется зеленым клубком» является вероятным событием.
А={вынутый предмет оказался клубком}.
В={вынутый предмет не оказался клубком.
С={вынутый предмет оказался зеленым клубком}.
D ={вынутый предмет оказался красным клубком}.
2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей
Определение
Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.
Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w6}, где wi- выпадение i очков.
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.
Например:
· A – сдал экзамен по математике;
· Ᾱ – не сдал экзамен по математике.
Определение.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Пример .
Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.
Элементарными событиями являются:
- Выпало два «орла»
- Выпало две «решки»
- Выпал один «орел» и одна «рещка».
3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.
Определение.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.
Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.
Пример.
Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.
Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.
1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.
К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.
Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.
Рассмотрим произвольный эксперимент.
Пусть n- число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число 
Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.
Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.
2 .Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Например:
1. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда А + В – «идет снег или дождь»
2. При 3-х выстрелах по мишени события: А0 – «попаданий нет», А1 – «одно попадание», А2 – «два попадания», тогда А=А0+А1+А2 - «произошло не больше двух попаданий»
3. Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C⋅D - из урны вынули два белых шара
4. Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C 
⋅- из урны вынули два шара: белый и не белый
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)