Начисление сложных процентов (compounding) производится в конце каждого периода на основную сумму долга с добавлением начисленных процентов, не востребованных

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

инвестором, за предыдущие периоды.

Если бы нужно было вложить в банк на три года

1 ООО тыс. руб. с выплатой 20 % годовых, то получились бы следующие показатели доходности:

за первый год: 1000 • (1 + 20 %) = 1000 • 1,2 — 1200 тыс. руб.; за второй год: 1200 • (1 + 20 %) = 1200 • 1,2 = 1440 тыс. руб.; за третий год: 1440 • (1 + 20 %) = 1440 - 1,2 = 1728 тыс. руб. Это можно записать и таким образом:

1000 ■ 1,2 ■ 1,2 • 1,2 = 1000 ■ 1,2³ = 1 728 тыс. руб.

Из данного примера видно, что сумма 1000 тыс. руб. сегодня равноценна сумме 1 728 тыс. руб. через три года. Напротив, 1 728 тыс. руб. дохода через три года эквивалентны 1 000 тыс. руб. на сегодняшний день при ставке рефинансирования 20 %.

Данный пример показывает методику определения стоимости инвестиций при использовании сложных процентов. Сумма годовых процентов каждый год возрастает в геометрической прогрессии, так как инвестор имеет доход, как с первоначального капитала, так и с процентов, полученных за предыдущие годы.

Для определения стоимости, которую будут иметь инвестиции через несколько лет при использовании сложных процентов применяют формулу

FV — PV- (1 + г)\

где FV — будущая стоимость инвестиций через п лет;

65

PV — первоначальная сумма инвестиций; г — ставка процента в виде десятичной дроби; п — число лет в расчетном периоде.

Выражение (1 + г)" является важной переменной в финансовом анализе, составляет основу практически всех финансовых вычислений. Оно показывает, сколько будет стоить денежная единица через п лет.

При начислении процентов по простой ставке для определения будущей стоимости инвестиций используется следующая формула:

FV= PV- (1 + /77).

FV= 1 ООО • (1 + 0,2 • 3) = 1 600 тыс. руб.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо учитывать не только уровень объявленной ставки процента, но и количество интервалов начисления процентов в течение года. Если доходы по инвестициям начисляются несколько раз в году по ставке сложных процентов, то формула для определения будущей стоимости вклада имеет следующий вид:

FV= PV{ 1 + r/m)^nm ,

где т — число периодов начисления процентов в году.

Допустим, что в вышеприведенном примере проценты начисляются ежеквартально (т = 4, п = 3). Тогда будущая стоимость вклада через три года составит

FV= 1000 ■ (1 + 0,2/4)¹² = 1000 • 1,79585 = = 1 795,85 тыс. руб.

Дополнительные 67,85 тыс. руб. (1795,85 — 1 728) возникли благодаря тому, что сложные проценты начислялись не 3, а 12 раз.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растет вклад. При ежемесячном начислении процентов через три года наращенная сумма вклада составит

FV= 1000 • (1 + 0,2 /12)³⁶ = 1000 • 1,81313 = = 1 813,13 тыс. руб.

Поэтому иногда выгоднее инвестировать средства под меньший процент, но с более частым его начислением.

В связи с этим возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные

66

1,10. Инструментарий финансовых вычислений

периоды начисления процентов. Приведение соответствующих номинальных (фиксированных) процентных ставок к их годовому эквиваленту производится по следующей формуле:

EPR = (1 + -Г -1,

т

где EPR ~ эффективная ставка процента (ставка сравнения); т — число периодов начисления; г — ставка процента.

Вычисляя эффективную ставку процента EPR, появляется возможность сравнивать процентные ставки по ссудам или инвестициям с разными периодами начисления процентов. Например, банк А платит по депозитам 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, банк В — 19,5 % с ежемесячным начислением процентов. Нужно определить, куда выгоднее помещать денежные вклады. Для этого рассчитаем эффективные ставки процента:

• для банка А:

EPR _a = ^1 + - 1 = 0,21 (21 %);

• для банка В.

£P/?_e=(^l + ^Pj -1=0,2134 (21,34 %).

Следовательно, выгоднее хранить деньги во втором банке.

Если известны величины будущей FV и первоначальной PVсуммы инвестиций и я, то можно определить процентную ставку доходности по следующей формуле:

г✓ ч 1//I FV V ' 1728/ х 1/3 г — -1 = 0,2 (20%). Tv) 1000

Зная FV, PV и г , можно определить длительность операции:

lg (FV/PV) lg( 1728 /1000) ,

п =---------------- =--------------------- = 3 года.

lg(l + r) lg(l + 0,2)

67

Глава 1. Значение, задачи и методический инструментарий

Метод дисконтирования денежных потоков (ДДП) — позволяет привести будущую стоимость денежных доходов к их стоимости в текущий момент времени. Здесь исследование денежного потока ведется в обратном направлении — от будущего к текущему моменту Для определения текущей стоимости будущих доходов обычно применяется следующая формула:

FV 1

PV = ——— = FV ■ —-— = FV d, (1 + г)" (1 + г)"

где d — дисконтный множитель;

FV — будущая сумма дохода.

Сумма дисконта (D_с) определяется как разность между стоимостью будущих доходов и современной их стоимостью, приведенной к текущей дате:

_СD = FV- PV

Ключевое значение в процессе дисконтирования имеет дисконтный множитель 1 / (1 + /*)", который показывает, сколько сегодня стоит денежная единица, которая будет получена спустя п лет. Значение его всегда меньше единицы и зависит от величины дисконтной ставки г, а также от длительности периода до погашения платежа.

Норма доходности г, выступающая в качестве ставки дисконта, — это вознаграждение, которое требует инвестор за отсрочку платежа. В качестве ставки дисконта могут служить ставки доходности по государственным ценным бумагам, ставка рефинансирования или ставка доходности по другим альтернативным вариантам инвестирования средств.

Уровень дисконтного множителя зависит не только от ставки дисконта, но и от периода получения будущих доходов. При ставке дисконта 20 % денежная единица будет стоить

• спустя один год:

d = —-—- =------- ¹----= 0,833;

(1 + 0" 0 + 0,2)

.10 11и1труменгар1ш финансовых вычислений

• спустя два года:

d = (1 + г ) г = (1 + 0,2)2 = °’ 694 ’

• спустя три года:

d --- —^_т =----------—_г = 0,579 и т. д.

(1 + г) (1 + 0,2)

Чем выше ставка дисконта, тем быстрее с годами убывает текущая стоимость будущих доходов. Уменьшается она и по мере увеличения периода получения денег.

Для примера рассчитаем текущую стоимость будущего дохода в размере 100 млн руб. при различной норме альтернативной доходности и разной продолжительности его поступления:

Дисконтирование денежных потоков широко применяется в финансовом менеджменте при оценке эффективности инвестиционных проектов. Допустим, организация рассматривает вопрос о том, стоит ли вкладывать 500 млн руб. в проект, который через два года принесет доход 800 млн руб. Принято решение вложить деньги только при условии, что годовой доход от этой инвестиции составит не менее 10 %, который можно получить, положив деньги в банк. Для того чтобы через два года получить 800 млн руб., организация сейчас должна вложить в банк под 10 % годовых 661 млн руб.:

PV = 800---------—²_т = 661 млн руб.

(1+0,1)

Проект дает доход в 800 млн руб. при меньшей сумме инвестиций (500 млн руб.). Чистый приведенный эффект (NPV) составляет 161 млн руб. (661 — 500). Следовательно, в него выгодно вкладывать средства.

Мы рассмотрели ситуацию, когда ожидается получение единственного платежа в конце финансовой операции.

Г.шва 1. Значении, задачи и методический ннсг|>\ ментарпй

В более сложном виде поток денежных доходов можно представить в виде многократного поступления доходов в течение ряда лет. При этом следует различать денежный поток постнумерандо, когда деньги поступают в конце периода, и пренумерандо — в начале периода (предоплата).

Предположим, что инвестиционный проект генерирует следующий денежный поток (постнумерандо):

-7 500 3 500 3 ООО 2 500 2 000 млн руб.

I_________t_________£_________4_________*

0 1 2 3 4 год

Для определения приведенной стоимости доходов в данном случае используют следующую формулу:

FV.

(1 + г)"'

Определим приведенную стоимость доходов от данного проекта по альтернативной ставке доходности 10 %.

3500 3000

PV =----------- + (1 + 0,1) (1 + 0,1)²

2500 2000 .... .

Н----------г +-----------г = 8 905,4 млн руб.

(1 + 0,1) (1 + 0,1)

Если доходы от проекта организация будет получать не в конце, а в начале каждого периода (поток пренуме­

рандо), то тогда доход за первый год не дисконтируется, и для расчета приведенной стоимости доходов используется

следующая формула:

FV

PV = У "./1 , „\Л-1

1=1(1 + /•)"

3500 3000 2500 2000

PV =------------ 7г+-----------г +

(1 + 0,1)° (1 + 0,1)' (1 + 0,1 )² (1 + 0,1)³

= 3500 + 2 727,3 + 2066,1 + 1502,6 = 9 796 млн руб.

На таких условиях проект становится еще более привлекательным.