2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Задача 1. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (1)

где А, В – координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору :

. (2)

Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору , имеет вид

. (3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

(4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данной направлении, имеет вид

(5)

где - угловой коэффициент прямой, - угол, образованный прямой с положительным направлением на оси ОХ.

Если прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид

. (6)

Уравнение (7)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой от оси ОУ.

Пусть две прямые заданы общими уравнениями

Если , то .

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Если , то .

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

(8)

Пример 1

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

В С

Решение

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Пример 2

Через точку М(3, 5) провести прямую так, чтобы она отсекала от координатного угла равнобедренный треугольник.

«Провести прямую» - это значит записать уравнение прямой, при этом делать чертеж и проводить прямую не обязательно.

Будем искать уравнение прямой в отрезках, т. е. в форме , где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. По условию задачи и прямая проходит через точку М(3, 5). Следовательно, . Для определения а и b имеем две системы: и

Решение первой системы: , решение второй системы: . Получаем две прямые: и

З а д а ч а 3

Канонические уравнения кривых второго порядка имеют вид

1) - эллипс с фокусами , где , и эксцентриситетом . Если , то уравнение описывает окружность, в этом случае ;

2) - гипербола с фокусами , где , и эксцентриситетом . Прямые являются асимптотами гиперболы;

3) - парабола, симметричная оси Ох, с фокусом и директрисой , - парабола, симметричная относительно Оу, с фокусом и директрисой .

Пример 3

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директриса параллельна оси Оу и проходит через левый фокус гиперболы:

Определим координаты левого фокуса гиперболы: , . Так как директриса параболы параллельна оси Оу и проходит через точку , то она имеет уравнение . Определим значение параметра р параболы: . Каноническое уравнение параболы имеет вид , т. е. .

З а д а ч а 4

Нормальные уравнения кривых второго порядка с центром в точке имеют вид

- окружность радиусом R;

- эллипс с полуосями а и b;

- гипербола;

или - парабола.

Пример 4

Дано уравнение линии . Записать уравнение линии в нормальной форме и построить эту кривую.

Чтобы привести уравнение к нормальной форме, сгруппируем слагаемые, содержащие только х и у, вынося коэффициенты при за скобки:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

;

Разделив обе части на 144, получим нормальное уравнение эллипса:

с полуосями с центром в точке . Через точку проведем новые оси координат ( и ) параллельные соответственно осям Ох и Оу. По обе стороны от точки отложим по оси отрезки длиной , а по оси - , получив таким образом вершины эллипса. Проведя через вершины вспомогательные отрезки, параллельные осям, получим прямоугольник, в который нужно вписать эллипс. Чертим эллипс.

Координаты фокусов эллипса в новых осях: . Здесь . Старыми координатами фокусов будут , т. к. и

З а д а ч а 5

Общее уравнение плоскости имеет вид: , где - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и определяется равенством

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .

Пример 5

Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки :

Вычислим определитель, разложив его по первой строке:

Найдем расстояние от точки до плоскости .

З а д а ч а 6

Косинус угла между плоскостями и вычисляется по формуле

Пример 6

Найти угол между плоскостями .

Найдем косинус искомого угла:

, .

З а д а ч а 7

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

, (9)

где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой (ненулевой вектор, параллельный прямой).

Чтобы перейти от общих уравнений прямой

(10)

к ее каноническим уравнениям, нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить направляющий вектор прямой . Точку можно найти так: задаем произвольно значение одной переменной, например, , и из общих уравнений прямой (10) найдем значения . Направляющий вектор параллелен

линии пересечения плоскостей (10) и, следовательно, перпендикулярен векторам . Поэтому в качестве можно взять вектор

Пример 7

Написать канонические уравнения прямой

Найдем точку , лежащую на прямой. Пусть .

Тогда

Решив систему, найдем . Таким образом, . Найдем направляющий вектор прямой

Запишем канонические уравнения: .

З а д а ч а 8

Точка пересечения Р прямой и плоскости находится следующим образом: уравнения прямой приводят к параметрическому виду , затем подставляют в уравнение плоскости и определяют значение параметра t , соответствующее точке пересечения. Если при такой подстановке уравнение плоскости выполняется при любом t, то прямая лежит в плоскости, а если не выполняется ни при каком t, то прямая параллельна плоскости. Найденное значение t подставляют в параметрические уравнения прямой.

Пример 8

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Приведем уравнения прямой к параметрическому виду:

; , т. е. параметрические уравнения прямой имеют вид

Подставив х, у, z в уравнение плоскости, найдем t:

Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

, т. е. .

З а д а ч а 9

Чтобы найти точку , симметричную точке относительно прямой, нужно найти проекцию точки М на прямую . Проекция будет серединой отрезка . Проекция есть точка пересечения прямой с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку М. Так как вектор перпендикулярен этой плоскости, ее уравнение запишем в виде

Далее, как и в предыдущей задаче, находим точку Р (точку пересечения данной прямой с найденной плоскостью). Зная середину отрезка , найдем координаты точки . Чтобы найти точку , симметричную точке относительно плоскости , нужно найти проекцию точки М на плоскость. Проекция будет серединой отрезка .

Проекция точки на плоскость будет точкой пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку М, с самой плоскостью. Вектор будет направляющим вектором перпендикулярной прямой.

Далее, как и в задаче 9, находим точку пересечения перпендикуляра с данной плоскостью.

Зная середину отрезка , найдем координаты точки .

Пример 9

Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

Запишем канонические уравнения перпендикуляра к плоскости. Вектор будет направляющим вектором перпендикуляра

Параметрические уравнения прямой : Подставляя х, у, z из этих уравнений в данное уравнение плоскости, найдем значение t:

Точка Р пересечения прямой с плоскостью будет иметь координаты

т. е. .

Так как Р – середина отрезка и - координаты, так как если то