§1.8. определение элементов внешнего ориентирования снимка по опорным точкам
(обратная фотограмметрическая засечка)
Опорной точкой будем называть точку, опознанную на местности и на снимке, координаты которой в системе координат объекта известны. На рис. 1.17 опорные точки обозначены треугольниками.
Для определения элементов внешнего ориентирования сним- ка воспользуемся уравнениями коллинеарности (1.4.12), которые представим в виде:
Z
 |
x - f X * - x = 0;ü Y
o Z *
|
Y *
ïï X
ý (1.8.1) O
где
y o - f
Z * - y = 0, ï
æ X * ö æ X - X ö
рис. 1.17
ç ÷ ç s ÷
ç Y * ÷ = AT ç Y - Y s ÷
или
çè Z * ÷ø
|
x
çè Z - Z s ÷ø
- f a11 ( X - X S ) + a12 (Y - Y S ) + a13 (Z - Z S ) - x = 0; ü
a31
( X - X S
) + a32
(Y - Y S
) + a33
(Z - Z S )
ï
ï (1.8.2)
a ( X - X ) + a (Y - Y ) + a (Z - Z ) ý
y o - f 21
S 22
S 33
S - y = 0.ï
|
a31 ( X - X S ) + a32 (Y - YS ) + a33 (Z - Z S ) ï
Если на снимке измерены координаты изображений опорных точек, то каждая опорная точка позволяет составить два уравнения (1.8.2), в которых известны значения координат х, ó изображения опорной точки в системе координат снимка Sx yz, координаты опорной точки в систе- ме координат объекта OXYZ и элементы внутреннего ориентирования съемочной камеры (снимка) f, x o, y o.
Неизвестными величинами в уравнениях (1.8.2) являются шесть
элементов внешнего ориентирования съемочной камеры (снимка) X s, Y s, Z s, ω, α, κ. Следовательно, для определения шести неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка достаточно иметь не менее трех опорных точек. При этом опорные точки на местности не должны располагаться на одной прямой. Если имеются три опорные точки, координаты изображений которых на снимке измерены, можно составить систему из шести уравнений (1.8.2) с шестью неизвестными. в результате решения этой системы уравнений можно найти значения
элементов внешнего ориентирования снимка. Если имеется более трех опорных точек, то задача решается по способу наименьших квадратов. в связи с тем, что уравнения (1.8.2) не линейны, решение систе-
мы уравнений непосредственно достаточно сложно, поэтому систему уравнений (1.8.2) решают методом приближений. Для этого уравнения (1.8.2) приводят к линейному виду, раскладывая их в ряд Тейлора с сохранением членов только первого порядка малости, и переходят к уравнениям поправок:
a1dX S + a2dY S + a3dZ S + a4dw + a5da + a6dk + l x = 0;üï
(1.8.3)
b dX + b dY + b dZ + b dw + b da + b dk + l = 0, ý
1 S 2 S 3 S 4
5 6 y ïþ
где δX s, …, δκ — поправки к приближенным значениям неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка X 0, …, κ0; a , b — частные
s i i
производные от уравнений (1.8.2) по соответствующим аргументам (например, коэффициент а4 является частной производной от первого уравнения (1.8.2) по аргументу ω, то есть a4 =∂φ1/∂ω); l х, l ó — свободные
члены.
Значения коэффициентов уравнений (1.8.3) a i, b i вычисляются по известным значениям координат точек снимка х, ó и местности X, Y, Z, известным значениям элементов внутреннего ориентирования снимка
f, x0, y0 и приближенным значениям неизвестных X , …, κ . Свободные
0 0
члены l х, l ó вычисляются по формулам (1.8.2) таким же образом.
в результате решения системы уравнений поправок (1.8.3) находят
поправки к приближенным значениям неизвестных и вычисляют уточ- ненные значения неизвестных:
|
X S¢ = X o + dX ¢;
k¢ = ko + dk¢.
По уточненным значениям неизвестных составляют уравнения по- правок и решают полученную систему уравнений. Решения повторяют до тех пор, пока величины поправок, найденные в результате решения, не станут пренебрегаемо малыми. в случае, если на снимке измерено более трех изображений опорных точек, то для каждой точки составляют уравнения поправок вида:
a1dX S + a2dY S + a3dZ S + a4dw + a5da + a6dk + l x = v x ;üï
(1.8.4)
b dX + b dY + b dZ + b dw + b da + b dk + l = v . ý
1 S 2 S 3 S
4 5 6
y y ïþ
Решение системы уравнений (1.8.4) выполняют методом приближе- ний, по способу наименьших квадратов (под условием VTPV = min). Для этого систему уравнений поправок сначала представим в матричном виде:
Bd+ L = V, (1.8.5)
где B — матрица коэффициентов уравнений поправок (1.8.4) размерно- стью m×n (m — число уравнений, n — число неизвестных); δ — матрица размерностью 1×n неизвестных поправок к элементам внешнего ориен- тирования снимка; L — матрица свободных членов размерностью 1×m; V — матрица размерностью 1×m поправок в измеренные координаты точек снимка.
в нашем случае m = 2k, где k — число опорных точек, измеренных на снимке, n = 6.
æ a a a a a a ö
ædX S ö
æ l ö
æ v ö
ç 11 12 13 14 15 16 ÷
ç dY ÷
ç x1 ÷
ç x1 ÷
ç b11 b12 b13 b14 b15 b16 ÷
ç S ÷
ç l y1 ÷
ç v y1 ÷
B = ç . . . . . . ÷; d = ç dZ S ÷; L = ç ... ÷; V = ç ... ÷.
ç ÷ ç dw ÷ ç ÷ ç ÷
ç a k1 a k 2 a k 3 a k 4 a k 5 a k 6 ÷ ç ÷ ç l xk ÷ ç v xk ÷
ç b b b b b b ÷
ç da ÷
ç l ÷
ç v ÷
è k1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 ø
çç dc ÷÷
è y k ø
è y k ø
è ø
Для решения системы линейных уравнений (1.8.5) по способу наи- меньших квадратов переходят к нормальным уравнениям:
BT PBd+ BT PL = 0
или
Nd+ LN = 0, (1.8.6)
где N — матрица коэффициентов нормальных уравнений размерностью n×n; LN — матрица свободных членов нормальных уравнений размер- ностью 1×n; P — диагональная матрица весов измерений,
æ p1 0 0 ... 0 ö
|
|
ç p2
P = ç 0 0
0 ... ÷
|
|
p ... 0 ÷; p = 1 ;
3 i m2
|
|
ç ... ... ... ...
è 0 0 0 0
÷ i
÷
p m ø÷
m i – средняя квадратическая ошибка i-го измерения.
в результате решения уравнений (1.8.6) получим: d= -N-1LN или
d= -QLN , (1.8.7)
где Q — обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений.
Таким образом, получают поправки ко всем неизвестным элемен- там внешнего ориентирования снимка. Как уже отмечалось выше, на величины этих поправок уточняют приближенные значения элементов внешнего ориентирования снимка и заново составляют систему урав- нений поправок (1.8.5), затем переходят к нормальным уравнениям (1.8.6) и решают их по (1.8.7). вычисления продолжают до тех пор, пока поправки к неизвестным станут пренебрегаемо малыми величинами.
в результате получают уравненные значения элементов внешнего ориентирования снимка под условием VTPV = min. в последнем при- ближении выполняют оценку точности определения неизвестных, т.е. вычисляют средние квадратические ошибки неизвестных:
m j =m Q jj ; (1.8.8)
m=
, (1.8.9)
где μ — средняя квадратическая ошибка единицы веса; Qjj — диа- гональные элементы обратной матрицы коэффициентов нормальных уравнений; m – n — число избыточных измерений.