Глава 2.Подготовка и проведение математических олимпиад.
1. Цели и принципы составления заданий математических
олимпиад.
Система преподавания математики в школе подразумевает в основном овладение вычислительными и только в малой степени логическими алгоритмами. Напротив, основное назначение математических олимпиад -отбор талантливых школьников и учащихся, обладающих творческими способностями, умением строить достаточно сложные логические конструкции. Такой отбор не может состоять только из проверки способностей обучению стандартным методам решения задач. Поэтому создание содержательных “олимпиадных” задач требует выхода из круга традиционных разделов школьной математики и осваиваемых ею приёмов. Например, обязательным требованием к усвоению курса школьной математики является умение правильно и быстро решать квадратные уравнения. В тоже время далеко не каждый школьник, способный решить без ошибок 10 квадратных уравнений, сможет справиться с достаточно простым нестандартным заданием. Цели, достигаемые математическими олимпиадами, не предполагают экстенсивного изучения материала. Важно выбрать не того участника, который знает больше математических терминов и запомнил решения большего числа задач, а того, кто способен самостоятельно составить цепочку логических шагов для решения конкретной задачи. Также во многих странах мира происходит увеличение количества тем по математике, изучаемых в школах. Становится обязательным овладение выпускниками школ основ теории чисел, алгебры многочленов, функциональных уравнений .Соответственно и задания олимпиад, и задания Международной математической олимпиады в этих странах включают в себя задачи по этим темам, которые вообще не входят в российскую школьную программу. Это диктует необходимость расширения списка разделов математики, используемых во Всероссийской математической олимпиаде. При этом нужно заметить, что изучение технически сложных разделов математики является недоступным учащимся среднего звена в силу возрастных особенностей. А основными задачами начальных этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике являются поиск и отбор одаренных учащихся, далеко не всегда прошедших качественную подготовку даже по основным разделам школьной математики. Кроме того, работа с учащимися вне рамок традиционной школьной программы требует от педагога соответствующей квалификации, прохождения курсов переподготовки. Поэтому требования, предъявляемые к содержанию олимпиад начальных и заключительных уровней, значительно различаются. И при переходе от начальных этапов олимпиады к заключительным этапам с необходимостью расширяется круг навыков и знаний, используемых при выполнении заданий олимпиад. При этом одной из главных отличительных особенностей математических олимпиад является требование по формированию заданий на основе новых (неизвестных участникам олимпиады) задач.
Итак, методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по математике формирует задания, исходя из следующих принципов:
1)Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70 % участников, со вторым — около 50%, с третьим около 20% , а с последними — лишь наиболее сильные участники олимпиады.
2)Тематическое разнообразие заданий. В комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, а в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу. При этом допустимо и даже рекомендуется включение задач, объединяющих различные разделы школьной математики.
3) Обязательная новизна задач для участников олимпиады. В случае, когда задания выбираются из печатных изданий или из материалов специализированных ресурсов сети Интернет (это возможно на начальных этапах олимпиады), Методическая комиссия этого этапа должна выбирать источники, неизвестные участникам. При составлении заданий нельзя использовать только один источник.
4)Эстетическая красота заданий. В математике существует понятие «красивая задача». К таковым относят задачи, в которых сочетаются интересный с научной точки зрения факт, простота формулировки и «элегантность» решения.
2.Тематика заданий.
Вопреки традиционному мнению в заданиях математических олимпиад очень мало задач на вычисления. В отличие от задач школьной математики, в которых проверяются вычислительные навыки учащихся, задачи олимпиад основаны на логике, на способности построения логической конструкции. Поэтому в основном в олимпиадных задачах требуется обоснование какого-либо математического утверждения. Часть условий задач так и начинаются со слов: «Докажите, что...» В некоторых задачах вначале требуется отыскать числовой ответ, а затем обосновать его. К такому классу относятся, например, задачи типа «оценка + пример», начинающиеся со слов: «Найдите наименьшее (наибольшее) число N, удовлетворяющее условию...» Первый этап решения — интуитивное получение ответа, второй — построение примера, реализующего ответ, третий — доказательство невозможности построения примера для меньшего (большего) значения n.
Классическим примером такого класса заданий является задача о наибольшем количестве ладей, которые можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга. Правильный ответ 8 легко угадать, и существует множество вариантов расстановки ладей требуемым способом. Но почему нельзя расставить большее число ладей? Очень просто: в каждую строку можно поставить с соблюдением условия задачи не более чем одну ладью. Значит, на всей доске их не может оказаться больше 8. Другим примером задач, в которых вначале требуется угадать ответ, являются задачи, вопрос в которых начинается со слов: «Существует ли...» , «Верно ли...», «Можно ли...» , «Кто выигрывает » 
Составители олимпиадных заданий стремятся к тематическому разнообразию задач, учитывая при этом не только программу по математике соответствующего класса школы ,но и возрастные особенности школьников.
Учащиеся, перешедшие из младшего в среднее звено школы, 
имеют слабые навыки в построении четких логических 
конструкций (не умеют «строго доказывать»), поэтому большинство заданий для учащихся 5—7 классов — это задачи на интуицию, «на догадку», либо задачи, в которых обоснование является достаточно простым. Вот пример за 
дачи, предлагавшейся на II туре для учащихся 6 класса: «В 10 мешках находятся золотые монеты, при этом в одном мешке все монеты фальшивые, в остальных мешках 
все монеты настоящие. Все настоящие монеты весят по 10 граммов, а все фальшивые монеты — по 9 граммов. Как 
с помощью ровно одного взвешивания на чашечных весах со стрелкой определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты? »
Решение. Нужно из первого мешка взять одну монету, из второго — две, из третьего — три и т. д. Тогда величина 550 — S, где S — суммарный вес взвешиваемых монет, и укажет номер мешка с фальшивыми монетами.
Фактически школьник, предложивший такую запись, уже решил задачу. Каждому после недолгих размышлений становится ясно, что предложенный метод является правильным.
Нередко в задания включаются числовые ребусы, задачи на разрезание, построение конструкций, простые логические задачи либо задачи на игры, в которых требуется угадать выигрышную стратегию одного из игроков. С психологической точки зрения желательным является включение в задания для учащихся 5—7 классов задач, формулировка которых носит повествовательный, игровой характер. Поэтому нередко в тексте присутствуют знакомые школьникам литературные или мультипликационные герои («Малыш и Карлсон по очереди съедают конфеты...»).
Наиболее схожими по формулировке с задачами школьной математики являются задачи математических олимпиад для старшеклассников. Ведь решения задач, предлагаемых для старшеклассников, требуют владения всем курсом школьной математики.