2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Л Е К Ц І Я 30

Тема: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Мета: сформувати поняття різницевого рівняння порядку k; ознайомити з методами розв’язування різницевих рівнянь, застосуванням різницевих рівнянь в економіці.

Література: [1, с. 478-483]; [6, с. 441-444].

П Л А Н

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

1. Означення. Нехай у₀, у₁, у₂, у₃, ... – послідовність дійсних чисел. Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв’язує у₀, у₁, у₂, у₃, ..., у_n+k для кожного значення n = 0, 1, 2, 3 ...

Приклад: Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) - 3-го порядку

б) - 2-го порядку

в) + - 1-го порядку

Розв’язком різницевого рівняння називають таку множину значень , яка задовольняє різницеве рівняння для усіх можливих значень n.

Однорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називають рівняння виду або .

Теорема: Загальним розв’язком різницевого рівняння вигляду , де - задана стала, буде , де С – довільна стала

Доведення. В дане рівняння підставимо значення n = 1, 2, 3, ... Одержимо:

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

...

Порівнюючи з формулою бачимо, що , що й потрібно було довести.

Щоб знайти частинний розв’язок різницевого рівняння, потрібно задати початкові умови.

Зауваження: Якщо , то розв’язок зростає за показниковим законом; якщо - спадає.

Приклад: Знайти частинний розв’язок рівняння при початкових умовах

Запишемо формулу ,

.

Використовуючи початкові умови знайдемо С: при n = 5

Неоднорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називається рівняння виду

.

Формула для загального рівняння:

, тобто загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння 1-го порядку являє собою суму двох доданків: перший – загальний розв’язок відповідного однорідного різницевого рівняння, другий – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Частинний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння знаходимо із загального розв’язку, використовуючи початкові умови.

Приклад: Розв’язати різницеве рівняння ,

Використовуємо формулу

- загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння.

Знайдемо С, використовуючи початкові умови:

при n = 1, y₁ = 5

2C = 8

C = 4

або

2. У фінансових розрахунках часто використовують різницеві рівняння замість геометричної прогресії.

Завдання додому

Конспект; [4] с. 66 – 71

Питання для самоконтролю

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

Л Е К Ц І Я 31

Тема: Числові ряди. Основні поняття.

Мета: сформувати поняття числового ряду; ознайомити із збіжними і розбіжними рядами, властивостями збіжних рядів, необхідною умовою збіжності ряду

Література: [1, с. 493-497]; [6, с. 464-473].

П Л А Н

1. Ряди. Основні значення.

2. Збіжність рядів, властивості збіжних рядів.

3. Необхідна умова збіжності

1. Нехай задано послідовність дійсних чисел u₁, u₂, u₃, …u_n,…

Рядом називається вираз u₁+ u₂+ … +u_n +… , де u₁, u₂, u₃ - члени ряду,

u_n – загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо його загальний член u_n заданий формулою,

Приклад 1:

Запишемо ряд:

Приклад 2: Записати формулу загального члена ряду

2. Нехай задано числовий ряд

u₁+ u₂+ u₃ +… + u_n +…

Складемо частинні суми ряду:

...

...

Одержимо послідовність частинних сум

Якщо існує границя послідовності частинних сум ряду (дорівнює якомусь значенню S), то такий ряд називається збіжним:

- ряд збіжний,

S – сума ряду.

Якщо границя послідовності частинних сум ряду не існує, то ряд називається розбіжним.