2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
1) 
Якщо дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді 
, то таке рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
Приклад: 
 |  |
2) 
- рівняння з відокремлюваними змінними.
Щоб розв’язати таке рівняння потрібно відокремити змінні, тобто функція при 
повинна залежати тільки від 
, а функція при 
- тільки від 
.
Для відокремлення змінних досить обидві його частини поділити на функцію
:
- з відокремленими змінними.
Це рівняння можна інтегрувати:
Приклад: 
,
, 
- загальний розв’язок (загальний інтеграл) рівняння, записаний в неявному вигляді.
2. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
, де
і 
- задані і неперервні на деякому проміжку функції.
Є кілька методів інтегрування цього рівняння. Один х них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’язок цього рівняння шукають у вигляді добутку 
, де 
- невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно 0).
Приклад: 
, 
;
+ 
Сгрупуємо доданки і винесемо спільний множник за дужки:
Один з множників 
виберемо так, щоб вираз в дужках дорівнював 0, тобто 
;
, 
,
- рівняння з відокремлюваними змінними.
,
, 
;
Підставимо це значення в дане диференціальне рівняння:
,
, 
;
= 
- загальний розв’язок рівняння
Завдання додому.
1) Конспект; [1] с. 421 - 451;
[2] с. 325 – 339.
Питання для самоконтролю
1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Л Е К Ц І Я 29
Тема: Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами
Мета: сформувати поняття лінійного диференціального рівняння другого порядку; ознайомити з однорідними та неоднорідними рівняннями.
Література: [1, с. 470-482]; [6, с. 449-459].
П Л А Н
1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
2. Однорідні та неоднорідні рівняння.
1. Розглянемо диференціальні рівняння другого порядку:
- запис рівняння в неявному вигляді;
- нормальний (або явний) запис диференціального рівняння другого порядку.
Розв’язком рівняння на деякому інтервалі (a; b) називається неперервна функція 
на цьому інтервалі, для якої існують похідні 1-го та 2-го порядку, така, що при підстановці в дане рівняння перетворює його в тотожність.
Графік розв’язку диференціального рівняння називається його інтегральною кривою.
Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами.
Для рівнянь другого порядку ця задача ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння знайти такий розв’язок , 
, який при 
задовольняє умови:
, 
Розглянемо види диференціальних рівнянь другого порядку:
а) Неповні (містять тільки 
і функцію, яка залежить від х): 
.
Щоб знайти загальний розв’язок такого рівняння, потрібно праву частину проінтегрувати два рази.
Приклад: Знайти загальний розв’язок рівняння 
.
,
.
Відповідь: 
2. б) Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами – це рівняння виду
, де 
- дійсні числа.
Якщо 
, то рівняння 
називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами (ЛОДР).
Якщо 
, то таке рівняння називається неоднорідним (ЛНДР).
Розглянемо спочатку розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами 
Теорема (про структуру загального розв’язку ЛОДР)
Якщо функції 
та 
є розв’язками рівняння (*), то функція 
також буде розв’язком ЛОДР при умові, що та - лінійно незалежні, тобто 
.
- загальний розв’язок ЛОДР.
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді 
, де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти.
,
,
|
, тоді - характеристичне рівняння
лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.
Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 .
Формули для загального розв’язку ЛОДР
1) Якщо k1 
k2 (дійсні, різні числа) (дискримінант D>0), то
|
2) Якщо k1=k2 (дійсні, рівні числа)
|
(D=0), то
3) Якщо k1, 2 = 
(комплексно - спряжені числа) (D<0), то
|
Приклади: Знайти загальний розв’язок:
1) 
складаємо характеристичне рівняння 
2) 
Розглянемо розв’язки лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
.
Теорема (про структуру загального розв’язку ЛНДР)
Загальний розв’язок ЛНДР являє собою суму загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і довільного частинного розв’язку даного рівняння.
, де у0 – загальний розв’язок відповідного ЛОДР,
у* - частинний розв’язок ЛНДР.
Є рівняння із спеціальною правою частиною, для яких знайдені частинні розв’язки.
1) 
, де 
- многочлен (поліном) степеня n.
|
, де
- многочлен (поліном) степеня n з невідомими коефіцієнтами;
r знаходимо з умови:
1. r=0, якщо 
(k1 і k2 – корені характеристичного рівняння).
2. r=1, якщо k1 =0 (або k2 =0).
Приклад: Знайти загальний розв’язок рівняння: 
.
у0 - ? 
у* - ? 
= 
так як k1 = 0, то r = 1
Потрібно знайти А, В, С:
Підставимо в дане рівняння:
Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів:
- загальний розв’язок рівняння.
2) 
, де М і 
- сталі числа.
|
, де А – невідоме число;
r знаходимо з умови:
1. r = 0, якщо 
2. r = 1, якщо 
(або 
)
3. r = 2, якщо 
Приклад: 
у0 - ? 
у* - ? 
так як 
, то r = 1
Підставимо в дане рівняння:
,
,
,
- загальний розв’язок
3) 
, де M і N – сталі числа.
|
, де А і В – невідомі числа;
r знаходимо з умови:
1. r = 0, якщо 
2. r = 1, якщо 
Приклад: 
у0 - ? 
Підставимо в дане рівняння:
;
;
- загальний розв’язок
Завдання додому
1) Конспект; [1] с. 470 – 493;
[2] с. 340 – 350.
Питання для самоконтролю
1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.