15 16 17 18 19 20 21 / 29 21 22 23 24 25 26 27 28

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду).

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

1. у

y= f (x)

0 а х

Якщо верхня межа визначеного інтеграла , то одержуємо невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею інтегрування:

Якщо границя існує (дорівнює певному числу), то невласний інтеграл називається збіжним;

Якщо ж границя не існує або нескінченна – розбіжним.

2) у

y= f (x)

0 b х

0 c x

, с – довільне число

Даний інтеграл існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли – доданки. Якщо ж хоча б один з інтегралів розбіжний, то даний інтеграл також буде розбіжним.

2. у

0 а b- b x

Нехай функція y=f (x) визначена на проміжку [a; b).

Точку b назвемо особливою точкою функції, якщо f (x) при

Невласним інтегралом від необмеженої функції (справа) називають

, де - довільне

0 а а+ b х

Якщо - особлива точка функції, то

(функція необмежена зліва).

3)у

0 а с b х

Якщо f (x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки (розривна), то

, с – точка розриву

Приклад:

Завдання додому

Конспект; [1] с. 401-408, 385-393;

[2] с. 299-312.

Питання для самоконтролю

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (першого роду).

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду).

Л Е К Ц І Я 2 6

Тема: Застосування визначеного інтегралу в економіці.

Мета: розглянути застосування визначеного інтегралу в економіці.

Література: [1, с. 412-420]; [6, с. 408-415].

ПЛАН

1. Витрати, доход та прибуток.

2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.

3. Максимізація прибутку за часом.

4. Дослідження стратегії розвитку.

1.Витрати, доход та прибуток.

Нехай V(x) буде функцією загальних витрат на виробництво x одиниць продукції, V’(x) – функція маргінальних витрат. Тоді визначений інтеграл

(20)

дорівнює зміні загальних витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок:

Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції маргінальних витрат y=V’(x), відрізком [a, b] та прямими x=a та x=b.

Аналогічно, якщо D’(x) та P’(x)- функції маргінального доходу та прибутку, відповідно, то зміни доходу та прибутку при зростанні реалізації виробленої продукції від a до b одиниць обчислюється за формулами

(21)

(22)

Приклад: функція маргінальних витрат фірми має вигляд

V’(x)=23,5-0,01 x

Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.

Розв’язування. За формулою (20) зростання загальних витрат буде

Отже, витрати зростуть на 5500 гривень.

2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.

Нехай у є частина загального прибуткового податку пропорційна частині x усього населення держави.

Наприклад, якщо x=1/2, а у=1/4, то це означає, що 50% населення сплачує 25% загального прибуткового податку.

Якщо у=0,7, коли x=0,9, то це означає, що 90% населення сплачує 70% прибуткового податку.

У загальному випадку x та у – дробові частини цілого і у є функцією x, тобто у=f(x).

Будемо вважати, що немає осіб, які не сплачують прибуткового податку, тобто f(0)=0 і весь прибутковий податок сплачує 100% населення, тобто f(1)=1.

Графік функції у=f(x), яка описує дійсний розподіл прибуткового податку, називають кривою Лоренцa.

Припустимо, що крива Лоренцa задана рівнянням

Коли x= 0,2, маємо

Це означає, що 20%населення сплачує 5% загального податку.

Коли x= 0,5, маємо

Це означає, що 50% населення сплачує тільки 26,56% податку.

Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренцa називають відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренцa та прямою у=х до площі фігури, що лежить нижче прямої у=х.

Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за законом Лоренца, позначають L.

Площа трикутника

Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визначеного інтеграла за формулою

Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за формулою

У випадку кривої Лоренца вигляду

коефіцієнт нерівності розподілу податку буде

Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди задовольняє співвідношення

Коли L=0, прибутковий податок розподілено рівномірно, коли L=1, нерівномірність розподілу податків найбільша.

3.Максимізація прибутку за часом.

Нехай V(t), D(t) та P(t)- загальні витрати, доход та прибуток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу t. Тоді

P(t)= D(t)- V(t) або

P’(t)= D’(t)- V’(t)

Максимум загального прибутку буде тоді, коли

P’(t)=0 або D’(t)= V’(t)

Іншими словами, існує такий час t₁, коли D’(t)= V’(t), тобто швидкості зміни дохода та витрат рівні. Загальний прибуток за час t₁ можна знайти за формулою:

(24)

Максимум прибутку дорівнює площі між кривими D’(t) та V’(t) на проміжку .

Приклад. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначилися формулами

та

де V та D вимірювались мільйонами гривень, а t вимірювали роками. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.

Розв’язування. Оптимальний час t₁ для прибутку підприємства одержимо з умови D’(t)= V’(t):

Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було одержано прибутку

4. Дослідження стратегії розвитку.

Приклад.

Компанія повинна обрати одну із двох можливих стратегій розвитку:

1) вкласти 10 млн. гривень у нове обладнання і одержувати 3 млн. гривень прибутку кожного року на протязі 10 років;

2) закупити на 15 млн. гривень більш досконале обладнання, яке дозволить одержати 5 млн. гривень прибутку щорічно на протязі 7 років.

Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінальна облікова щорічна ставка 10%.

Розв’язування. Якщо f(t) є прибуток за час t i r=R/100 є номінальна облікова щорічна ставка, то дійсне значення загального прибутку за час між t=0 та t=Т дорівнює