2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.
3. Теорема Ньютона-Лейбніца.
1. До поняття визначеного інтеграла приводять такі задачі:
1) про площу криволінійної трапеції;
2) про об’єм просторового тіла;
3) про роботу змінної сили;
4) про пройдений шлях та інші.
Розглянемо одну з цих задач: про площу криволінійної трапеції.
Нехай на відрізку [а; b] задано функцію 
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком даної функції у=f (x) (зверху), віссю абсцис (у=0) та відрізками прямих х=а, х=b (по боках).
Знайдемо S ABCD
y C Розіб’ємо відрізок [а; b] на n частинних
відрізків за допомогою точок
 |
B а=х0 < x1 < x2 <… <xn = b
A D
0 a x1 x2 b x
x0 xn
Позначимо довжини частинних відрізків через 
x1 =x1– x0; x2 =x2 – x1; ...
xi =xi – xi-1;
xn =xn – xn-1;
Площа і – го прямокутника
Знайдемо суму площ всіх прямокутників, одержимо площу ступінчатої фігури:
Площа ступінчатої фігури наближено дорівнює площі криволінійної трапеції
S ABCD
Спрямуємо число частинних відрізків відрізка [а; b] до нескінченності
, тоді довжина кожного частинного відрізка буде прямувати до нуля (максимальна) ( max 
), а площа ступінчатої фігури буде прямувати до площі трапеції, тобто:
- (границя суми нескінченно великого числа
нескінченно малих доданків)
Вираз називається інтегральною сумою, а границя її (якщо вона існує) 
- визначеним інтегралом.
а і b – відповідно нижня і верхня межа інтегрування;
- підінтегральна функція;
- підінтегральний вираз
- змінна інтегрування;
[а; b] – проміжок інтегрування.
Теорема 1 (достатня умова інтегрованості)
Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.
Теорема 2
Якщо функція обмежена на відрізку [а; b] і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, в яких функція має розрив першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.
2. Властивості визначеного інтеграла.
1) Геометричний зміст – це площа відповідної криволінійної трапеції.
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
(аддитивність)
7) 
у у
 | |||
 | |||
-а 0
 | |||
 | |||
-а 0 а х а х
Приклад: 1) 
2) 