Формула інтегрування частинами

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Приклад:

= .

Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1)

2)

3)

4)

5)

6) , де - поліном (многочлен цілих степенів);

і - дійсні числа.

7)

8)

9)

10)

11) , де - многочлен.

Зауваження: інтеграли 7-11 беруться частинами в тому випадку, якщо немає похідної від логарифмів і від обернених тригонометричних функцій.

Правило позначення через “ u ” i “ dv ”

1. Для інтегралів 1-4 через “u” позначають множник P (х) а через “dv” – вираз, що залишився.

2. Для інтегралів 5-6 немає різниці, яку функцію позначити через “u” (оборотні інтеграли).

3. Для інтегралів 7-11 через “u” позначаються логарифми або обернені тригонометричні функції, а через “dv” - Q (x) dx.

Приклад 1) =

=

=

2)

3)

4)

Завдання додому

 

Конспект; [1] с. 336 – 342

[2] с. 256 - 266

 

Питання для самоконтролю

1. Метод безпосереднього інтегрування.

2. Метод підстановки (заміни змінної).

3. Метод інтегрування частинами.

Л Е К Ц І Я 21

Тема: Інтегрування раціональних дробів.

Мета: ознайомити з розкладанням правильного дробу на суму найпростіших, нтегруванням раціонального дробу, інтегруванням виразів, які містять квадратний тричлен.

Література: [1, с. 352-355]; [6, с. 358-364].

П Л А Н

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

1. Означення. Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

де і - многочлени степеня m і n відповідно.

Якщо m<n , то дріб називається правильним.

Якщо m n , то дріб називається неправильним.

Приклад: 1) - правильний дріб.

2) - неправильні дроби.

3

Щоб знайти інтеграл від неправильного раціонального дробу, потрібно виділити цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

Щоб знайти інтеграл від правильного раціонального дробу, потрібно розкласти його на суму елементарних дробів.

Є чотири види елементарних правильних раціональних дробів.

І ІІ

ІІІ IV

- дійсні числа, а тричлен не має дійсних коренів, тобто .

Якщо знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники (а всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на лінійні та квадратні (з комплексними коренями) множники з дійсними коефіцієнтами), то такий дріб можна подати у вигляді суми простіших (елементарних) дробів, чисельники яких невідомі.

Якщо в розкладі знаменника на множники є множник , де

- дійсний корінь, то елементарних дробів буде k такого виду:

, , ..., .

Якщо в розкладі знаменника є множник виду ( ) , то елементарних дробів буде l такого виду:

, , ...,

Числа А1, А2, ..., Аk, М1, N1, M2, N2, …, Me, Ne потрібно знайти.

Знаходять ці числа (чисельники) одним із методів: 1) порівнювання коефіцієнтів; 2) окремих значень аргументу або комбінують ці два методи.

Приклад: Правильний елементарний дріб розкласти на суму елементарних дробів:

+ + + +

1) Метод порівнювання коефіцієнтів (або метод невизначених коефіцієнтів).

Суму елементарних дробів зводять до спільного знаменника.

Прирівнюють чисельники дробів лівої і правої частини рівності.

З попередньої тотожності складемо систему лінійних рівнянь при однакових степенях х; з цієї системи знайдемо невідомі чисельники елементарних дробів.

Приклад: Розкласти дріб на суму елементарних дробів.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х, починаючи з х в старшому степені:

х2 0=А+В+С

х 1=5А+2В+С

вільні члени – 3=6А – 3В – 2С

2) Метод окремих значень аргументу.

Якщо корені знаменника дійсні і прості, то для обчислення А, В, С можна застосувати метод підстановки коренів знаменника.

2,3. Інтеграли від елементарних дробів.

І

 

ІІ

ІІІ =

=

=

Перший інтеграл буде дорівнювати

Другий інтеграл – табличний.

IV

Підстановкою зводиться до двох інтегралів:

Перший інтеграл обчислюється безпосередньо.

Другий - за рекурентною формулою.

Завдання додому

Конспект; [1] с. 342 – 354;

[2] с. 267 – 271.

Питання для самоконтролю

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

Л Е К Ц І Я 22

Тема: Визначений інтеграл.

Мета: ознайомити з задачами, що приводять до поняття визначеного інтеграла, з означенням визначеного інтеграла та його властивостями, теоремою Ньютона-Лейбніца.

Література: [1, с. 365-385]; [6, с. 392-400].

П Л А Н

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.