Властивості невизначеного інтеграла

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

3) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, с – const

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

З першої властивості видно, що знаки похідної і невизначеною інтеграла взаємно знищуються. Тобто операції диференціювання та інтегрування - взаємно обернені.

Правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням.

3. Таблиця основних інтегралів.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Приклад. 1)

=

=

2)

1) Нехай даний невизначений інтеграл

Довільна формула інтегрування залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. В цьому аклечається властивість інваріантності формули інтегрування.

Довільна формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну диференційовану функцію від х.

Нехай (х) – диференційована функція:

Приклад: - формула

Приклад:

1) =

2) ;

3)

=

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 330 – 336;

[2] с. 251 – 258.

Питання для самоконтролю

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

Л Е К Ц І Я 20

Тема: Основні методи інтегрування.

Мета: ознайомити з основними методами інтегрування – безпосереднього інтегрування, підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами.

Література: [1, с. 336-342]; [6, с. 345-353].

П Л А Н

1. Метод безпосереднього інтегрування.

2. Метод підстановки (заміни змінної).

3. Метод інтегрування частинами.

1. Метод безпосереднього інтегрування.

Базується на властивостях невизначеного інтеграла і на таблиці основних інтегралів. Якщо необхідно, то виконують перетворення підінтегрального виразу.

Приклад: 1)

(інтеграл №5)

2)

3)

4)

5)

6)

2. Метод підстановки базується на властивості інваріантності невизначеного інтеграла:

Знайдемо

Правило. Якщо підінтегральний вираз містить похідну внутрішньої функції, то внутрішню функцію позначають новою змінною (через t):

Приклад: 1)

2)

3)

4) .

3. Нехай дано дві диференційовані функції: . Знайдемо диференціал їх добутку: