Властивості границь
1) 
(f (x)+g (x)) = f (x) + g (x)
(якщо = f (x) і g (x) існують)
для всіх властивостей
2) (f (x) 
(x)) = f 
g (x)
3) 
, якщо g (x) 
4) c 
= 
f (x), де с – const
5) С=С, де С –const
6) Для того, щоб число А було границею функції f (x) при 
, необхідно і достатньо, щоб різниця f (x) – А була нескінченно малою величиною, тобто
f (x) =A <=> 
де 
- нескінченно мала величина;
| Тобто функція мало відрізняється від своєї границі на |
нескінченно малий доданок: 
при
Односторонні границі
1) Лівостороння границя
Границя функції при за умови, що х залишається меншим за 
, називається лівосторонньою.
х
2) Правостороння границя
х
Приклад: 
Одна з ознак існування границі (про границю проміжної функції)
Нехай функції 
і Ф (х) при мають одну й ту ж границю:
F (x) = Ф (х) =А. Нехай функція f (x) задовольняє нерівність
F (x) 
f (x) Ф (х). Перейдемо до lim при :
F (x) f (x) Ф (х)
А f (x) A
f (x) =A
Завдання додому
1. Конспект, підготовка до практичного заняття
2. Самостійна робота №5 “Графіки елементарних функцій” (2 год.)
[1] c. 138-142
3. Самостійна робота №6 “Границя послідовності” (2 год.)
[1] с. 149-153
4. Самостійна робота №7 “Порівняння нескінченно малих і нескінченно великих величин” (2 год.)
[2] с. 147-153
Питання для самоконтролю
1. Означення функції, способи її задання.
2. Границя змінної величини.
3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв’язок.
4. Границя функції. Односторонні границі.
Л Е К Ц І Я 13
Тема: Особливі границі
Мета: Ознайомити з першою та другою особливими границями, натуральними логарифмами, порівнянням нескінченно малих
Література: [1, с. 169-183]; [6, с. 212-216].
П Л А Н
1. Перша особлива границя 
2. Друга особлива границя 
3. Натуральні логарифми.
4. Порівняння нескінченно малих.
1. Нехай дано круг радіуса R
У Радіанна міра 
АОВ 
,
( АОВ утворений радіусом
круга і віссю Ох).
А АС –дотична до кола в т.А
 |
В С х
Порівнюючи площі 
АОВ, сектора круга АОВ і АОС, дістанемо:
сект АОВ < S 
АОС;
= 
, S сект АОВ = 
,
= 
;
так як
Перейдемо до границі при 
;
1;
1< 
, звідки
 =1
| - перша особлива границя |
Для першої особливої границі невизначеність 
Приклади: 1) 
2) 
Для обчислення першої особливої границі застосовують формули тригонометрії (для перетворення виразів):
; 
1
Приклад: 
1
= 
Наслідки першої особливої границі:
1) 
2) 
3) 
3) Розглянемо множину логарифмичних кривих при умові, коли основа логарифма більша за 1: у=log a x, a>1, x>0
у y=log a x (а>1) Нехай до кожної кривої
проведена дотична в точці х=1
Серед цих кривих знайдеться
така, дотична до якої в т.х=1
нахилена до осі Ох під кутом 450
0 1 x
Основою логарифма такої кривої є число е, значення його знаходиться в межах 2 < e < 3.
е=2,7182818284... е 
- ірраціональне.
Число е називається числом Непера (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) або числом Ейлера. Число е трансцендентне (тобто не є коренем алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами).
Логарифми за основою е називаються натуральними і позначаються ln x. Натуральні логарифми мають такі ж властивості, як і логарифми за любою основою:
1) ln 1 =0 7) lg 
= 
2) ln e =1
3) ln 
ln 
ln 
4) ln 
ln -ln
5) ln 
= 
ln
6) ln = 
Число 
називається модулем переходу від десяткового логарифма до натурального.
у y=ln x Побудуємо графік функції у=ln x
В АВ – пряма, яка перетинає
графік функції у=ln x в двох
А 450 
ln (1+ 
) точках (січна).
0 С х
1 
Нехай 
, тоді т. В, переміщаючись по кривій, прямує до т. А ( 
). Січна АВ займе положення дотичної, проведеної в т.А в деякий момент. При цьому кут нахилу до осі Ох буде дорівнювати 450 ( 
).
З АВС знайдемо 
: 
.
Знайдемо 
ln 
=1
Зауваження: 
( 
) за властивістю границі, якщо функція неперервна, то можна поміняти місцями символи lim і f.
(границі) (функції)
| Значить, | 
| - друга особлива границя |
Для другої особливої границі невизначеність 1 
Другий запис другої особливої границі:
;
при
|
|
Приклад: 1) 
2) 
0
= 
= 
= -6 = 
0
4. Дві нескінченно малі порівнюються між собою за допомогою дослідження їхнього відношення.
Нехай дано дві нескінченно малі:
1) і 
називаються нескінченно малими одного порядку, якщо
, А є R.
2) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж , якщо 
.
3) називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж , якщо 
.
4) Якщо 
то і - еквівалентні нескінченно малі 
.
Теорема про заміну відношення нескінченно малих відношенням еквівалентних величин: при знаходженні границі відношення нескінченно малих можна замінити їх еквівалентними величинами
де 
Еквівалентність деяких нескінченно малих (при ):
sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x,
arctg x ~ x, sinkx ~xk
Приклад: 
Завдання додому
1. Конспект, підготовка до практичного заняття.
Питання для самоконтролю
1. Перша особлива границя
2. Друга особлива границя
3. Натуральні логарифми.
4. Порівняння нескінченно малих.
Л Е К Ц І Я 14
Тема: Неперервність функції. Похідна. Диференціал функції у= f(x).
Мета: сформувати поняття неперервності функції; ознайомити з похідною, її метричним та економічним змістом, основними правилами диференціювання, таблицею похідних, похідною складної функції.
Література: [1, с. 191-222]; [6, с. 237-260].
П Л А Н
1. Неперервність функції у=f (x).