2. Взаємне розташування площин.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

3. Рівняння прямої в R3 .

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

 

1. Рівняння площини в просторі містить змінні х, у та z в першому степені

Розглянемо, який вид має рівняння площини. Нехай М1 (х1; у1; z1) –фіксована точка площини, М (х; у; z) – довільна точка площини (змінна)

 

z

 

 

 

0 y

 

x

 

 

Заданий вектор = (А; В; С;)

= (А; В; С;) перпендикулярний площині. Він називається

нормальним вектором площини.

М (х; у; z)

 

М1 (х1; у1; z1)

 

(х-х1; у-у1; z-z1)

 

Рівняння площини, яка проходить через задану т. М1

 

Загальне рівняння площини

- вільний член

Для того, щоб побудувати площину в системі координат, потрібно знайти точки перетину її з осями координат.

Приклад: Побудувати площину 3х-у+2z-6=0

 

Z 1) при х=0, у=0 2z=6

z=3

 

2) при х=0, z=0 3x=6

- 3 x=2

-6 - 0

| | | y 3) при x=0, z=0 –y=-6

2 y=-6

 

x

 

Дослідження загального рівняння площини.

z

 

1)

площина | | Ох 0 у

x

 

z

2)

площина | | Оy

0 y

x

 

3) z

площина | | Оz

 

 

0

y

 

x

4) z

площина проходить через початок координат

 

 

y

x

5)

площина проходить через вісь Ох

z

 

 

 

0 y

x

 

6)

площина проходить через вісь Оу

z

 

 

 

0 y

x

 

7)

площина проходить через вісь Оz

z

 

 

0

y

 

8) x

 

9)

 

Рівняння площини у відрізках на осях.

 

 

 

-відрізки, які відтинає площина на осях Ох, Оу, Оz відповідно

 

z

 

с

у

х

1=(А1; В1; С1)

1) Площини можуть бути паралельними.

2=(А2; В2; С2)

 

 

 

Якщо площини паралельні, то їх нормальні вектори колінеарні.

 

- умова паралельності площин

 

2) Площини можуть бути перпендикулярними.

 

2

 

1

 

 


- умова перпендикулярності площин

 

3) Кут між площинами обчислюється як косинус кута між

4) Відстань від точки до площини.

М0 (х0; у0; z0) Ах+Ву+Сz+D=0 - площина

 

3. Довільна пряма в просторі розглядається як пряма перетину двох площин, тому рівняння прямої в загальному вигляді задається як система рівнянь площин:

Канонічне рівняння прямої.

=(m; n; p)

(х-х1; у-у1; z-z1)

М1 (х1; у1; z1) М (х; у; z)


 

 

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

М1 (х1; у1; z1) М2 (х2; у2; z2)

 

 

4. Взаємне розташування прямих.

1 (1) (2) 1 =(m1; n1; p1), 2 =(m2; n2; p2)

Якщо прямі паралельні, то їх

напрямні вектори колінеарні

2

 

- умова паралельності прямих

 

Перпендикулярні.

(1) 2 (2)

1

 

 

- умова перпендикулярності прямих

 

3) Кут між двома прямими дорівнює куту між їхніми напрямними векторами 1 і 2 .

 

Взаємне розташування прямої та площини.

- пряма

- площина

1) Паралельні.

 

Аm+Bn+Cp=0

- умова паралельності

прямої і площини

 

 

2) Перпендикулярні. ||

- умова перпендикулярності

прямої і площини

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [1] с. 84-93

Питання для самоконтролю

1. Рівняння площини в R3 .

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R3 .

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

Л Е К Ц І Я 12

 

Тема: Функція однієї змінної. Границя функції

Мета: сформувати поняття функції, розглянути способи її задання; ознайомити границею змінної величини, нескінченно малими і нескінченно великими величинами, зв’язком між ними, границею функції, односторонніми границями.

Література: [1, с. 148-164]; [6, с. 205-218].

П Л А Н

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв’язок.

3. Границя функції. Односторонні границі.

 

1. Якщо кожному елементу х з деякої множини Х за певним правилом ставиться у відповідність єдиний елемент у з множини У, то говорять, що у є функція від х і пишуть у=f (x).*

*Це означення належить М.І.Лобачевскому і Л.Діріхле.

х – незалежна змінна (або аргумент).

у – залежна змінна (або значення функції).

Множина Х називається областю визначення функції, множина У – область значень.

Способи задання функції.

1) Аналітичний (за допомогою формули).

при

2) Графічний (за допомогою графіка).

 

у

 

 

у=х2

0 х

 

 

3) Табличний

х -2 -1 0 1 2
у -8 -1 0 1 8

 

4) Словесний

Функція Діріхле: f (x)=1, якщо х – раціональне число; f (x)=0, якщо х – ірраціональне число.

2. Нехай в деякому процесі змінна величина х наближається до числа , тоді говорять, що х прямує до і пишуть . Це значить, що починаючи з деякого значення, х приймає як завгодно близькі до числа значення, але не рівні . Тоді говорять, що число є границею змінної величини х, і пишуть

=

Означення Число називається границею змінної величини х, якщо для довільного числа >0, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х попадають

в - окіл точки і в процесі зміни залишаються в цьому околі.

 

0 х