2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).
3. Квадратичні форми
1. Розглянемо 2 векторних простори Rn та Rm .
Якщо заданий закон (правило), за яким кожному вектору 
простору Rn ставиться у відповідність вектор 
простору Rm, то говорять, що заданий оператор (перетворення, відображення), який переводить вектор 
з простору Rn в простір Rm.
- оператор
( з тільдою (волною))
- дія оператора над
Вектор називається прообразом вектору 
, а вектор – образом вектора .
Оператор називається лінійним, якщо він має такі властивості:
1) застосовується до суми векторів:
2) застосовується до добутку вектора на число:
- стале число.
Якщо простори Rn і Rm збігаються, то оператор відображає простір Rn сам в себе.
Кожному оператору в деякому базисі ставиться у відповідність квадратична матриця, за допомогою якої можна виконати перетворення 
Введемо позначення у вигляді матриць:
, 
Запишемо перетворення за допомогою оператора у матричній формі:
Приклад: Нехай в просторі R3 оператор , заданий матрицею 
і заданий в деякому базисі вектор 
, де 
1 , 2 , 3 –базисні вектори. Потрібно знайти образ в цьому ж базисі.
Запишемо в матричній формі:
Х= 
Тоді: 
2. Нехай заданий лінійний оператор у вигляді квадратної матриці
А= 
Ненульовий вектор 
називається власним вектором лінійного оператора , якщо знайдеться таке число 
, що 
. Число називається власним числом або власним значенням оператора , відповідним вектору .
З означення випливає, що власний вектор, під дією лінійного оператора переходе у вектор, колінеарний самому собі, тобто просто множиться на деяке число.
Поставимо задачу: для даного оператора знайти власні вектори і власні числа.
Запишемо в матричній формі рівність 
: 
=
Це система лінійних однорідних рівнянь, яка завжди має нульовий розв’язок х1=х2=х3=0. Але ж вектор =(х1; х2; х3) ненульовий за умовою.
Нас цікавлять ненульові розв’язки системи, це значить , що головний визначник системи 
- характеристичне рівняння оператора 
(або матриці А).
Розв’язавши рівняння, знайдемо , і, підставивши в систему, знайдемо координати власного вектора.
Приклад: знайти власні числа і власні вектори оператора , заданого матрицею А= 
Запишемо систему:
Складемо характеристичне рівняння:
за т. Вієта
Одержали два власних значення, значить для даного оператора існує два власних вектора.
1) Для 
ё множина розв’язків
2) Для 
множина розв’язків
Зауваження: власні вектори і власні значення застосовуються для розв’язування економічних задач, зокрема в міжнародній торгівлі. За їх допомогою можна знайти національний прибуток кожної країни з врахуванням збалансованої торгівлі між країнами.
3. Квадратичною формою 
від n змінних називається сума, кожний член якої є квадратом однієї із змінних або добутком двох різних змінних з деяким коефіцієнтом.
Кожній квадратичній формі ставиться у відповідність квадратна матриця.
Дано: 
, де 
Приклад: Для даної квадратичної форми 
- записати матрицю,
Коефіцієнти, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою, така матриця називається симетричною.
Квадратична форма називається канонічною, якщо всі її коефіцієнти 
при 
дорівнюють 0.
Матриця в цьому випадку є діагональною.
Квадратичну форму можна привести до канонічного виду за допомогою власних значень матриці квадратичної форми.
Приклад: квадратичну форму 
привести до канонічного виду.
- власні числа матриці квадратичної форми
Характеристичне рівняння матриці:
гіпербола
 |
Питання для самоконтролю
1. Лінійні оператори
2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).
3. Квадратичні форми
Л Е К Ц І Я 4
Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь
Мета: ознайомити з формулами Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь; провести дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь, навчити дослідженню студентів
Література: [1, с. 20-24]; [6, с. 72-77].
П Л А Н
1. Формули Крамера.