Скалярное произведение векторов
24. 11. 2022 г. Геометрия, 11 класс
Скалярное произведение векторов
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;
- показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.
- рассмотреть основные свойства скалярного произведения;
- сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;
- показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Глоссарий по теме:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению: 
Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты: 
Основная литература:
Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс - М.: Бином, 2010 - с. 130-148
Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение - 13-е изд-е. - М.: Просвещение, 2014. - с. 51-52
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. - М.: Просвещение, 2010. - с. 259-270.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Работа по теме урока. Объяснение новой темы
Угол между векторами
Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.
Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Скалярное произведение векторов:
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:
Доказательство утверждений:
Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Утверждение2. Скалярный квадрат вектора 
равен квадрату его длины. 