ü , то треугольник остроугольный
11. 10. 2022 г. 9 класс.
Теорема косинусов и следствия из неё.
- Цели урока: Образовательные:
- Доказать теорему косинусов и показать ее применение при решении задач
- Способствовать усвоению всеми учащимися стандартного минимума по теме;
- Формировать и совершенствовать метапредметные умения обобщать путем сравнения, постановки и решения проблем, оперированием уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением по аналогии;
- Развивающие:
- развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;
- развивать память, вербальную и образную, произвольное внимание, воображение.
- Воспитывающие: воспитывать трудолюбие.
Ход урока
- Новый материал
Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком аль-Бируни (973-1048 г.г.). С помощью данной теоремы и теоремы синусов , можно будет полностью решить задачу: «Решить треугольник», т.е. как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте, вспомним: формулы для вычисления площади треугольника и параллелограмма.
Формулы для вычисления площади треугольника:
Формулы для вычисления площади параллелограмма:
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема синусов:
Расстояние между двумя точками:
Сегодня на уроке мы с вами сформулируем и докажем теорему косинусов.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус
угла между ними.
Докажем это.
Что и требовалось доказать.
Частным случаем теоремы косинусов является теорема Пифагора.
Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник и запишем для него теорему косинусов.
, 
Именно поэтому теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.
Задача. Найти сторону 
треугольника 
, если:
а) 
, 
; б) 
, 
;
в) 
, 
.
Решение.
Запишем теорему косинуса для стороны AB.
а) 
б) 
в) 
Задача. Найти косинус наибольшего угла треугольника , если стороны этого треугольника равны: а) 
, 
, 
; б) 
, 
, 
;
в) 
, 
, 
.
Решение.
а) 
− треугольник остроугольный
б) 
− треугольник тупоугольный
в) 
− треугольник прямоугольный
Давайте подробнее рассмотрим выражения для косинуса угла.
В знаменателе дроби всегда находится положительное число, потому что стороны треугольника могут иметь только положительные длины. Значит, знак косинуса зависит от числителя. В числителе у нас находится разность.
Пусть 
наибольшая сторона треугольника, тогда если:
ü 
, то треугольник остроугольный
ü 
, то треугольник прямоугольный
ü 
, то треугольник тупоугольный
Задача. Определить вид треугольника со сторонами:
а) 23, 25, 34; б) 7, 24, 25; в) 6, 7, 9.
Решение.
Эту задачу мы будем решать двумя способами: с помощью только что сформулированных утверждений и вычислив косинус наибольшего угла.
а) Решая первым способом, мы получим, что в первом случае у нас тупоугольный треугольник. 
, 
треугольник тупоугольный.
Давайте проверим это.
Косинус отрицательный, значит, наибольший угол треугольника – тупой, то есть треугольник тупоугольный.
б) 
, 
треугольник прямоугольный
в) 
, 
треугольник остроугольный
Решая эту задачу, мы убедились в том, что утверждения действительно справедливы для любого треугольника. Эти утверждения называют следствием из теоремы косинусов.
Пусть наибольшая сторона треугольника, тогда если:
ü , то треугольник остроугольный
ü , то треугольник прямоугольный
ü , то треугольник тупоугольный
Задача. Доказать, что для произвольного треугольника справедлива формула:
.
Доказательство.
Это формула называется формулой медиан треугольника.
Задача. В треугольнике найти длины всех медиан, если 
, 
, 
.
Решение. Воспользуемся только что доказанной формулой. Очевидно, что будут выполняться аналогичные формулы для медиан к сторонам b и c. Тогда несложно вычислить длины всех медиан треугольника…
Задача. Доказать, что для любого параллелограмма 
.
Решение.
Задача. Стороны параллелограмма равны 
и 
. Одна из диагоналей равна . Найти вторую диагональ.
Решение.
Воспользуемся только что доказанным утверждением.
Задача. Две стороны треугольника равны 
и 
, 
. Найти третью сторону треугольника.
Решение.
Для нахождения неизвестной стороны, воспользуемся теоремой косинуса.
Запишем основное тригонометрическое тождество и найдем, что
или 
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали и доказали теорему косинусов. Вывели следствие их этой теоремы. Познакомились с формулой для нахождения длины медианы треугольников, а также познакомились с формулой связывающей диагонали и стороны параллелограмма.
Проводится тест с самопроверкой.
- Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:
а) тупого угла
б) прямого угл
в) острого угла
- В
АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:
а) угла А
б) угла В
в) угла С
- Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см:
а) остроугольный
б) прямоугольный
в) тупоугольный
- Если в АВС
А=48°; В=72°, то наибольшей стороной треугольника является сторона:
а) АВ
б) АС
в) ВС
- Если квадрат стороны треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:
а) острого угла
б) прямого угла
в) тупого угла
Самопроверка. Ответы:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| б | б | а | б | в |