Неравенства и их свойства. Линейные системы уравнений и неравенств. Геометрическая интерпретация.
План.
1. Неравенства и их свойства.
2. Линейные системы уравнений и неравенств.
3. Геометрическая интерпретация
– неравенства I степени с одной переменной
– неравенства II степени с одной переменной
Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.
Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.
Решим неравенства
а) 
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно чт часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит перемено он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).
б) 
, то есть 
Используя свойства числовых неравенств, имеем
, знак неравенства меняется на противоположный
Или можно записать в виде системы неравенств
в) 
 |
Решаем две системы
Ответ: 
.
г) 
умножим на (–1)
квадратное неравенство
Найдем корни уравнения 
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX 
Изобразим геометрически:
 |
или
 |
или
получаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал) 
действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,
а мы решаем неравенство 
, значит данное неравенство не имеет решения.
уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,
а так как мы решаем неравенство 
, то оно имеет множество решений, т.е. 
.
то оно имеет множество решений, т.е. е пересекает ось, ветви параболы направлены вверх, т.е. ж) 
– дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены
Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.
(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).
При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.
Решаем 
система не имеет решения. Следовательно решением данного неравенства является 
.
Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства 
корни 
и 
.
Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.
находим корни многочлена
всегда, т.е. действительных корней нет.
Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.
только определяем знак выражения в каждом промежутке
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и тогда решением неравенства является 
.
Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.
В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.
, так как 
, то 
можно записать 
и тогда 
Самостоятельно:
