Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица состоящая из нулей.
III. Матрицы. Определители. Системы ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей порядка 
называется прямоугольная таблица чисел
(1) 
состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут
, 
, 1 
.
Множество всех матриц порядка обозначим 
, множество всех квадратных матриц порядка 
– через 
.
Произведением матрицы 
на число 
(действительное или комплексное) называют матрицу 
, определяемую по правилу 
при этом пишут 
.
Суммой матриц 
, 
называют матрицу 
, определяемую по правилу 
; при этом пишут 
. Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.
Произведением матрицы 
на матрицу 
называют матрицу , элементы которой определяются по правилу 
; при этом пишут 
.
Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент 
матрицы есть результат скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В.)
Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел
кроме одного: вообще говоря, 
Матрицу
называют транспонированной к матрице (1) и пишут 
; 
получается из А переменой местами столбцов и строк.
Пример 1. Найти 
, если
, 
, 
.
Решение.
= 
.
Поясним, как получены отмеченные элементы 
и 
матрицы 
Так как 
имеет индекс 
, то он равен сумме произведений соответствующих элементов 2-й строки матрицы B и 1-го столбца матрицы C:
.
Аналогично для нахождения элемента 
нужно задействовать 3-ю строку матрицы B и 2-й столбец матрицы C:
.
Отсюда получаем
Матрица порядка m ´1 называется столбцом, а порядка 1´ n – строкой. Система столбцов
называется линейно-зависимой, если существуют числа 
такие, что
1) 
;
(2)
Если же равенство (2) возможно лишь при 
то система столбцов называется линейно независимой. Левая часть равенства (2) называется линейной комбинацией столбцов 
. Аналогичное определение дается для строк.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица 
состоящая из нулей.
Единичной матрицей порядка 
называется квадратная матрица 
, на главной диагонали которой, тянущейся слева-сверху-вправо-вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:
Часто пишут просто I, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.
Матрицы 0 и I играют роль нуля и единицы: 
(операции считаются дозволенными).
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.
2. Определители
Пусть 
квадратная матрица порядка 
. Всякой такой матрице можно поставить в соответствие число 
, называемое определителем этой матрицы, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) 
;
2) 
,
где 
– квадратная матрица порядка 
, получающаяся из матрицы 
вычеркиванием 
–й строки и 
–го столбца.
Определитель 
называется минором порядка матрицы . Условия 1, 2 дают рекуррентное определение определителя матрицы.
Определитель обладает следующими свойствами:
1) 
;
2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;
3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;
4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы 
состоит из нулей, то 
);
5) если к элементам некоторого столбца (строки) матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен 
6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то 
7) обозначим через 
определитель матрицы порядка 
получающейся из матрицы 
путем зачеркивания i-й строки и j-го столбца; число 
называется алгебраическим дополнением элемента 
для любого k, 
справедливы равенства:
,
(разложение определителя по k-му столбцу);
8) 
Пользуются и другим обозначением определителя матрицы 
:
Определитель матрицы порядка 
равен элементу матрицы: 
Определитель второго порядка вычисляется по формуле
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 
5».
+ –
 
а б
Рис. 1
|
Рис. 2
|
Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а), или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.
Правило «3 ´ 5» использует следующую схему: (к матрице 
добавлены первые два столбца).
Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков.
Определитель треугольной, в том числе и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.
Пример 2. Вычислить определитель
а) методом Саррюса;
б) путем приведения к треугольному виду.
Решение. а) По правилу Саррюса имеем
б) Имеем (запись 
означает, что к элементам j-й строки, умноженным на , прибавляются соответствующие элементы k-й строки, умноженные на 
; результат этой операции записывается в строке напротив записи):
=
|
= 
=13 
=
.
Желательно перед началом преобразований добиться того, чтобы в левом верхнем углу стояло число 1 или (–1); этим и объясняется первая операция - перестановка первых двух строк.
Для вычисления определителей более высокого порядка удобнее пользоваться свойством 7.
Пример 3. Вычислить определитель
а) разложением по какой-либо строке или столбцу;
б) путем приведения к треугольному виду.
Решение. а) Лучше разложить по второй строке или третьему столбцу, так как наличие нуля уменьшает вычисления; выберем вторую строку, тогда
.
б) Имеем (пояснение ниже):
.
Поясним выкладки. Если в i-ю строку записывается результат операции 
то определитель матрицы увеличится в раз; чтобы этого не произошло, мы при каждом таком действии домножаем определитель на
.