. За оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина стабилизируется или начинает возрастать.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Общие положения Для упрощения изложения рассмотрим сначала случай линейной функции одного аргумента. Пусть из опыта получены точки:   x1, y1,   x2, y2, ... (1) xn, yn   (см. рисунок). Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, (2) наилучшим образом согласующейся с опытными точками. Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через расстояние опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y). Из уравнения (2) следует, что (3) Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов (4) Покажем, как можно подобрать прямую (2) так, чтобы сумма квадратов S была минимальной. Из уравнений (3) и (4) получаем (5) Условия минимума S будут (6) (7) Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде: (8) (9) Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям xi и yi. Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется прямая (2), называются нормальными уравнениями. Можно указать простой и общий способ составления нормальных уравнений. Используя опытные точки (1) и уравнение (2), можно записать систему уравнений для a и b y1=ax1+b,   y2=ax2+b, ... (10) yn=axn+b,   Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при первой неизвестной a (т.е. на x1, x2, ..., xn) и сложим полученные уравнения, в результате получится первое нормальное уравнение (8). Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при второй неизвестной b, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения, в результате получится второе нормальное уравнение (9). Этот способ получения нормальных уравнений является общим: он пригоден, например, и для функции y=a0+a1x+a2x2+...+anxn. (11) Естественно, что здесь получится система из n+1 нормального уравнения для определения величин a0, a1, a2, ..., an. Рассмотрим частный случай применения метода наименьших квадратов. Пусть из теории известно, что k=y/x (12) есть величина постоянная и ее нужно определить по опытным данным (1). Систему уравнений для k можно записать: k=y1/x1,   k=y2/x2, ... (13) k=yn/xn,   Для получения нормального уравнения умножим каждое из этих уравнений на коэффициент при неизвестной k, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения (14) отсюда (15) Следовательно, среднее арифметическое, полученное из опытных отношений yi/xi, дает решение поставленной задачи по методу наименьших квадратов. Это важное свойство средней арифметической объясняет ее широкое применение в практике обработки опытных данных. Пример 1 На опыте получены значения x и y, сведенные в таблицу x 1 2 3 4 5 6 y 5,2 6,3 7,1 8,5 9,2 10,0 Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов. Решение. Находим: xi=21, yi=46,3, xi2=91, xiyi=179,1. Записываем уравнения (8) и (9) 91a+21b=179,1, 21a+6b=46,3, отсюда находим a=0,98 b=4,3.

Из Exponenta.ru

Теория

Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов ~ Нормальная система метода наименьших квадратов ~ Выбор степени аппроксимирующего многочлена

На практике часто возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате эксперимента. Часто вид эмпирической зависимости известен, но числовые параметры неизвестны.

Ниже рассматривается решение задачи приближения многочленами таблично заданной функции по методу наименьших квадратов и по методу интерполяции.

Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов . Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение (СКО) минимально.

Так как многочлен определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор кофициентов , минимизирующий функцию .

Используя необходимое условие экстремума, , k=0,1,-m получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов: , k=0,1,-m.

Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.

Запишем нормальную систему наименьших квадратов для двух простых случаев: m=0 и m=2. При m=0 многочлен примет вид: . Для нахождения неизвестного коэффициента имеем уравнение: . Получаем, что коэффициент есть среднее арифметическое значений функции в заданных точках.

Если же используется многочлен второй степени , то нормальная система уравнений примет вид:

ПРИМЕР 1. Приближение функции по методу наименьших квадратов.

Предположим, что функцию f можно с высокой точностью аппроксимировать многочленом некоторой степени m. Если эта степень заранее неизвестна, то возникает проблема выбора оптимальной степени аппроксимирующего многочлена в условиях, когда исходные данные содержат случайные ошибки. Для решения этой задачи можно принять следующий алгоритм: для каждого m=0,1,2,.. вычисляется величина

. За оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина стабилизируется или начинает возрастать.

ПРИМЕР 2. Нахождение оптимальной степени многочлена.

Определение параметров эмпирической зависимости. Часто из физических соображений следует, что зависимость между величинами хорошо описывается моделью вида , где вид зависимости g известен. Тогда применение критерия наименьших квадратов приводит к задаче определения искомых параметров из условия минимума функции: .

ПРИМЕР 3. Вывод нормальной системы уравнений для нахождения параметров эмпирической зависимости.

Если зависимость от параметров нелинейна, то экстремум функции ищут методами минимизации функций нескольких переменных.

Пример 1. Приближение функции по методу наименьших квадратов.

Пусть функция задана таблицей своих значений:

Приблизим функцию многочленом 2-ой степени. Для этого вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:

, , ,

, ,

Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:

Решение системы легко находится: , , .

Таким образом, многочлен 2-ой степени найден: .

Теоретическая справка

Пример 2. Нахождение оптимальной степени многочлена.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Matlab

Пример 3. Вывод нормальной системы уравнений для нахождения параметров эмпирической зависимости.

Выведем систему уравнений для определения коэффициентов и функции , осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию заданной функции по точкам. Составим функцию и запишем для нее необходимое условие экстремума:

Тогда нормальная система примет вид:

Получили линейную систему уравнений относительно неизвестных параметров и, которая легко решается.

Самостоятельно

Задача 1.

Построить приближение таблично заданной функции по методу наименьших квадратов многочленами 0-ой, 1-ой и 2-ой степеней.

Построить графики функции и найденных многочленов.

Задача 2.

Функция y=a/x+b задана таблицей своих значений.

Найти параметры a и b по методу наименьших квадратов Указание. Предварительно свести задачу к линейной, сделав замену: t=1/x. Тогда функция y приближается многочленом 1-ой степени a t+b.

Задача 3.

Вывести нормальную систему уравнений для определения параметров a, b, c функции g(x)=a sin(x)+b cos(x)+c , осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию таблично заданной функции y(x).