Метод наименьших квадратов

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 5

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Департамент кадровой политики и образования

ФГОУ ВПО

«Тюменская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра математики

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

(методическое указание и варианты заданий к выполнению расчетно-графической работы для студентов-очников 1 курса всех факультетов)

Тюмень 2007

Автор: старший преподаватель Плотникова Т.И., преподаватель Виноградова М.В.

Рецензент:

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящие методические указания предназначены для студентов Института экономики и финансов, Механико-технологического, Агро- технологического институтов и института Биотехнологий и ветеринарной медицины, изучивших раздел курса высшей математики: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - овладеть методом, наименьших квадратов как одним из методов обработки эмпирических данных, навыками самостоятельной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

1.Изучить теорию метода наименьших квадратов.

2.Самостоятельно проверить степень усвоения теории с по­мощью предложенных вопросов.

3. Разобраться в решении предложенных задач.

4. Научиться анализировать экспериментальные данные, подбирать вид эмпирической функции и определять параметры функ­ции.

5. Выполнить контрольное задание и сдать на проверку.

6. При защите работы уметь отвечать на контрольные вопросы.

§ 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ .

1.1. Постановка задачи .

В естествознании, биологии, экономике и других науках при измерении и наблюдении устанавливаются различные зависимости (связь между наблюдаемыми величинами X и У) . Эти зависимости обычно выражают аналитически, т.е. различными формулами.

Формулы, составленные на основе данных, полученных в резуль­тате наблюдений, называются Эмпирическими формулами.

Процесс получения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1. Подбор вида элементарной функции;

2. Вычисление параметров этой функции.

Рассмотрим один из методов получения эмпирических формул - способ наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо найти функциональ­ную зависимость между переменными величинами Х и У.

По результатам измерений составим следующую таблицу:

Таблица 1.

Если вид функциональной зависимости неизвестен, то обычно поступают так: упорядоченные пары чисел (х_i, y_i) (i = 1,2,3 ...k) данной таблицы рассматривают как точки в прямоугольной системе координат ХОУ и строят график. Полученные точки будут группироваться около какой-то линии.

1.2. Выравнивание по прямой .

Предположим, что точки (х_i у_i ) группируются около не­которой прямой.

рис 1.

В этом случае между переменными X и У существует функциональная зависимость, близкая к линейной. Будем искать эту зависимость в виде:

(1.1)

где a и b – параметры, подлежащие, вычислению,

- теоретическое значение функции (вычисленное по формуле).

Поставим задачу: найти такие значения а и b, чтобы прямая (1.1.) «наилучшим образом» проходила через множество точек М_i (x_i, y_i).

Если бы все точки M_i(x_i, y_i ) лежали строго на пря­мой (1.1), то для каждой из точек было бы справедливо следую­щее равенство:

однако на практике имеет место следующее равенство:

(1.2)

т.е существует (отклонение) между наблюдаемыми ординатами (эмпирическими) и ординатами, полученными по урав­нению (теоретическими).

Принцип метода наименьших квадратов утверждает : оптимальны такие значения параметров а и b при которых сумма квадратов отклонений минимальна. Составим эту сумму:

или

(1.3)

Для исследования функции (1.3) с двумя переменными на ми­нимум, найдем частные производные, приравняем их к нулю и решив систему уравнений, найдем а и b.

(1.4)

или

(1 .5)

Введя сокращенные обозначения, получим систему уравнений (1.5) в следующем виде:

(1.6 )

Решив систему (1.6), найдем значения параметров а и b и подставим их значения в эмпирическую формулу (1.1).

Нахождение линейной функциональной зависимости называется выравнивание по прямой, а система уравнений (1.6) - нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой.

1.3. Выравнивание по параболе.

Пусть точки М_i(x_i, y_i), соответствующее парам чисел таблицы 1, группируются вблизи некоторой параболы (рис 2).

рис 2.

В этом случае между переменными Х и У существует функциональная зависимость, которую будем искать в виде:

(1.7)

Найдем параметры a , b и c с таким расчетом, чтобы парабола заданная уравнением (1.7) «наилучшим образом» проходила через множество точек М_i(x_i, y_i), т.е чтобы сумма квадратов отклонений теоретических ординат точек от эмпирических была наименьшей.

Составим эту сумму:

(1.8)

Найдем частные производные по переменным a, b, и c, при­равняем их к нулю, преобразуем полученные уравнения и получим следующую систему уравнений:

(1.9)

Система уравнений (1.9) называется нормальной системой ме­тода наименьших квадратов при выравнивании по параболе.

Решив систему уравнений, найдем параметры a, b, c и подставим их значения в уравнение (1.7). Получим искомую эмпирическую функцию.

Замечание I. Число уравнений нормальной системы уравнений (1.6) и (I..9) метода наименьших квадратов соответствует числу ис­комых параметров.

Замечание 2. Между переменными х и у , заданными табли­цей, существуют зависимости, близкие, например, к показательной функции вида у= аb^x или lgy, lga+xlgb; к функции y=a/x+b (уравнение гиперболы) и др.

§ 2. Порядок выполнения задания

1. Определить вид эмпирической формулы, используя данные задания (см.§1, п.2,3).

2. Написать нормальную систему уравнений (см.§1, п.2,3) в общем
виде.

3. Для определения параметров выбранной эмпирической формулы составить расчетную таблицу (см § З).

4. Составить конкретную систему уравнений и решить ее любым способом.

5. Найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы (найти прогнозную оценку). Найти

6. Пояснить содержательный смысл коэффициента а, для линейной зависимости.

7. Построить в одной системе координат график полученной функции и точки по исходным данным. Наглядно убедиться, насколько хо­рошо теоретическая линия согласуется с эмпирической линией.

§ 3. Образец выполнения задания

Задание I. Имеются данные о назначенной месячной пенсии (руб) за последние девять месяцев 2003 года по РФ.

Таблица № 2

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу функциональной зависимости между Х и У.

Решение

1. Для определения вида функциональной зависимости построим в прямоугольной системе координат точки с координатами:

(1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7).

рис 3.

Точки группируются около некоторой линии. Следовательно зависимость между переменными Х и У близка к линейной

2. Для вычисления параметров a и b воспользуемся расчетной таблицей № 3.

Таблица № 3.

х у х2 ху 1 1,7 1 1,7 2 1,4 4 2,8 3 1,5 9 4,5 4 1,5 16 6 5 1,6 25 8 6 1,6 36 9,6 7 1,65 49 11,55 8 1,66 64 13,28 9 1,7 81 15,3 45 14,31 285 72,73

3. Напишем нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов (См 1.6).

(3.1)

4. Решим систему по правилу Крамера, вычислим параметры a, b с точностью до 0,1.

5. Подставляя найденные значения параметров в формулу , получим эмпирическую формулу:

(3.2)

выражающую зависимость между начисленной месячной пенсии и месяца года.

6. Используя формулу (3.2), можем найти теоретические значения У для данных значений Х и откло­нение теоретической ординаты от эмпирической:

при х= 1 у=0,02*1+1,5=1,52; ε₁=1,52-1,7= -0,18

при х=2 у=0,02*2+1,5=1,54; ε₂=1,54-1,4 = 0,14

при х=3 у=0,02*3+1,5=1,56; ε₃=1,56-1,5 = 0,06

при х=4 у=0,02*4+1,5=1,58; ε₄=1,58-1,5= 0,08

при х=5 у=0,02*5+1,5=1,6; ε₅=1,6-1,6 = 0

при х=6 у=0,02*6+1,5=1,62; ε₆=1,62-1,6= 0,02

при х=7 у=0,02*7+1,5=1,64; ε₇=1,64-1,65= -0,01

при х=8 у=0,02*8+1,5=1,66; ε₈=1,66-1,66=0

при х=9 у=0,02*9+1,5=1,68; ε₉=1,68-1,7= -0,02.

Сумма отклонений ε_i должна быть близкой к 0.

С помощью формулы можно найти значения У для тех значений X, которое не содер­жатся в таблице, но взяты из области изменения X (интерполировать). Этот факт и оправдывает отыскание эмпирических формул.

Например, пусть Х=4,5, тогда У=0,02*4,5+1,5=1,59.

Отсюда, у_х=4,5 = 1,59 т.е. в середине апреля, будет назначена месячная пенсия в размере 1,59 тыс.руб.

Можно найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы, (экстраполировать), т.е. находить прогнозную оценку.

Например, при х=10, У=0,02*10+1,5=1,7, т.е. в октябре будет назначена месячная пенсия в размере 1,7 тыс.руб.

7. Выясним содержательный смысл параметров полученного уравне­ния =0,02х+1,5.

Коэффициент, а =0,02 определяет средний показатель уве­личения месячной пенсии. С каждым месяцем начисленная месячная пенсия увеличивается в среднем на 0,02 тыс.руб.

Свободный член b=1,5 конкретного содержательного смысла не имеет, он определяет начальный уровень.

6. Наглядно убедимся в том, насколько хорошо теоретическая кривая согласуется с исходными данными. Для этого построим точки с координатами: (1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7) и полученную теоретическую прямую по точкам (0;1,5); (2;1,54) (рис.4).

На рисунке видно, что погрешности (отклонения ε_i ) теоретических ординат от эмпирических малы по абсолютной величине. Следовательно, теоретическая функция хорошо согласуется с исход­ными данными.

Рис. 4

3.1. Замечание. Метод наименьших квадратов в обработке рядов динамики.

Статистика изучает социально-экономические явления не толь­ко в их взаимной связи и взаимной обусловленности, но и в движе­нии, развитии.

Процесс развития социально-экономических явлений во време­ни в статистике называется динамикой.

Размеры отдельных социально-экономических явлений связанные с определенным периодом или датой времени, называют уровнями. Последовательности уровней об­разуют ряд динамики.

Формирование уровней ряда динамики происхо­дит под воздействием многочисленных факторов, однако все действу­ющие факторы можно подразделить на две группы:

1. Управляемые, регулируемые обществом факторы интенсифика­ции производства.

2. Случайные, не поддающиеся контролю и регулированию факторы. Эта группа факторов вызывает случайные колебания и затушевывает основную тенденцию развития.

Первая группа факторов систематически действует в одном направлении и определяет характер долговременной тенденции ряда.

Для выявления основной тенденции развития ряда используется метод наименьших квадратов.

В социально-экономической статистике для выявления и анали­тического выражения тенденции динамического ряда наиболее часто используются следующие функции: У=ax+b - линейная функция;

Y= ax²+bx+c - квадратичная функция; Y= ab^x - показательная функция.

Форму кривой, как обычно, определяют по графику ряда. Затем определяют параметры выбранной функции, решая систему нормальных уравнений вида (1.6) или (1.9) и находят эмпирическую функцию. По найденной эмпирической функции с определенной осторожностью можно получать прогнозные оценки на будущий период (экстраполиро­вать) при условии, что период прогноза небольшой.

Практика показывает, что для большинства рядов динамики эко­номических явлений вполне удовлетворительные результаты дает вы­равнивание по прямой линии, особенно при использовании выводов для получения прогнозных оценок. Показательная кривая и парабола приводят, как правило, к завышенным оценкам.

§ 4. Варианты для самостоятельной работы.

4.1. Задания для студентов экономического факультета.

а). Провести выравнивание ряда динамики методом наименьших квадратов, если даны основные социально-экономические показатели (У) за первые девять месяцев 2003 года (Х) по Российской Федерации

№ месяцы (х) варианта	январь	Февраль	март	апрель	май	июнь	июль	Август	сентябрь
Производство продуктов животноводства в хозяйствах всех категорий.
1. Молоко (млн. тон)	2,3	1,9	2,5	3,1	3,5	3,9	3,8	3,5	2,9
2. скот и птица на убой в живом весе (тыс.тон).	513	538	565	516	470	463	475	495	611
3. яйца (млрд. тонн)	2,8	2,7	2,9	3,0	3,4	3,5	3,2	3,0	3,4
4. Объем платных услуг населению (млрд. руб)	28,7	29,5	32,4	32,7	32,8	36,9	31,1	40,5	41,4
Динамика поголовья скота в хозяйствах всех категорий.
5. КРС (%)	99,3	9,1	99,7	99,4	99,5	99,4	99,3	98,7	98,6
6. Свиньи (%)	102,2	101,8	103,2	105,5	105,7	106,4	106,1	105,6	105,1
7. овцы, козы (%)	103,8	104,5	103,6	102,9	103,5	104,4	105,1	105,4	105,3
8. начисленная среднемесячная зар. плата одного работника (тыс. руб)	4,6	4,7	4,9	5,1	5,2	5,5	5,6	5,4	5,5
9. объем промышленной продукции (млрд. руб)	623	625	698	686,9	662,5	674,7	725,7	729,9	747,8
10. продукция с/х в хозяйствах всех категорий. (%)	101,3	101,4	100,6	100,1	99	97,5	93,1	91,5	104,5
Динамика оборота розничной торговли:
11. Продовольственными товарами (млрд. руб)	128,7	126,1	137,1	138,9	139,2	140,2	144,5	147,9	149,1
12. непродовольственными товарами (млрд. руб)	141,4	141	151,1	153,8	151,8	157,6	165,6	176,4	177

б). По 9 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока.

Вариант № 13.

Вариант №14

Вариант № 15

Вариант № 16

в). По 9 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о производственной себестоимости и прибыли.

Вариант № 17

Вариант № 18

Вариант № 19

Вариант № 20

г). По 9 предприятиям имеются данные об объеме реализации и прибыли предприятия.

Вариант №21

Вариант №22

Вариант № 23

д). По 9 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о стоимости основных производственных фондов и среднемесячной выработке продукции на одного рабочего.

Вариант № 24

Вариант № 25

Вариант № 26

Вариант № 27

е). По 9 предприятиям имеются данные о среднегодовой стоимости оборотных средств и объеме реализации продукции.

Вариант № 28

Вариант № 29

ж). На предприятии имеются данные о заработной плате и возрасте 9 рабочих.

Вариант № 30

Вариант № 31

4.2. Задания для студентов агро-технологического института и института биотехнологий и ветеринарной медицины.

Задание: Данные опыта представлены таблицей значений Х и У. Подобрать формулу эмпирической зависимости между Х и У. Найти параметры этой зависимости методом наименьших квадратов.

Вариант 1: Результаты определения гумуса Х(%) и подвижных форм фосфатов У (мг на 100г почвы) в пахотном слое легкосуглинистой дерново-подзолистой почвы следующие:

Вариант 2: Значения удоя коров Х (л) и содержание жира У (%) в молоке:

Вариант 3: В опытах Менделя по скрещиванию сортов гороха с круглыми и морщинистыми семенами в разных семян из Х (шт) семян получилось У (шт) круглых:

Вариант 4: Произведены измерения длины Х (мм) и веса У (г) 7 штук яиц одной курицы. Результаты измерений следующие:

Вариант 5: Данные по определению относительной влажности х (%) и липкости У (г/ см²) чернозема

Вариант 6: Пораженность У (%) льна фузариозом в зависимости от интервала Х (годы) между посевами на одном и том же поле восприимчивых к грибным патогенам (фузариозу) сортов льна.

Вариант 7: Данные живого веса Х (кг) и обхвата груди У (см) свиноматок украинской степной породы следующие:

Вариант 8. Значения зависимости силы направления Х (баллов) ветра и скорости У (км/ч) полета птиц.

Вариант 9. Имеются измерения массы Х (г) и диаметр У (мм) стеблей льна долгунца

Вариант 10. Измерения жирномолочности Х (%) матерей в Племсовхозе Караваево» и жирномолочности У (%) дочерей:

Вариант 11. Влияние продолжительности Х (ч) светового дня на яйценоскость У (шт) кур при рационе без кормов животного происхождения:

Вариант 12. Влияние возраста Х (мес) матерей на живой вес У (кг) при рождении телят

Вариант 13. распределение температуры Х воздуха и продолжительности У (ч) полета птиц.

Вариант 14. Данные возраста Х (в неделях) и живого веса У (кг) подсобных поросят.

Вариант 15. показатели промеров кобыл русской рысистой породы следующие:

Вариант 16. Зависимость между количеством Х (ц/га) внесенных удобрений и урожайностью У (ц/га):

Вариант 17. Зависимость между площадью Х (м²) листового покрова и урожайностью У (кг) яблонь:

Вариант 18. Результаты определения живого веса Х (кг) и обхвата груди У (см) у коров красной горбатовской породы

Вариант 20. Зависимость между периодом сухостоя Х (д) у коров и высшим суточным удоем У (л)

Вариант 21. Результаты наблюдений за количеством солнечных дней Х и содержанием У (%) сахара в корнеплодах :

Вариант 22. Были произведены измерения живого веса Х (кг) коров и удоя (л).

Вариант 23. Зависимость между продолжительностью Х (час) светового дня и яйценоскостью У (шт) кур при рационе с кормами животного происхождения.

Вариант 24. Влияние живого веса Х ( кг) матерей на живой вес (кг) телят при рождении.

Вариант 25. проведено наблюдение за скоростью Х (км/ч) движения уборочного комбайна и поврежденностью У (%) клубней.

Вариант 26. Дана зависимость между периодом сухостоя Х (дней) у коров и высшим суточным удоем У (л)

Вариант 27. Зависимость между площадью Х (м²) листового покрова и урожайностью У (кг) слив

Вариант 28 Измерения длины Х (мм) и веса У (г) 7 штук яиц одной курицы. Результаты измерений следующие:

Вариант 29 Результаты наблюдений за количеством солнечных дней Х и содержанием У (%) сахара в корнеплодах :

Вариант 30. Данные возраста Х (в неделях) и живого веса У (кг) подсобных поросят.

4.3 задания для студентов механико-технологического института.

Задание: Данные опыта представлены таблицей значений Х и У. Подобрать формулу эмпирической зависимости между Х и У. Найти параметры этой зависимости методом наименьших квадратов.

Вариант 1. Зависимость между нагрузкой У (кг) и сжатием X (мм)
буферной пружины:

Вариант 2. Разрежение У (см. столба бензина) связано с расходом X топлива (см/мин).

Вариант 3.Температура Х (С°) смазочного масла в двигателе связана с температурой У (С⁰ ) смазочного масла в коробке передач.

Вариант 4. зависимость температур Х охлаждающегося тела от
времени Т.

Вариант 5. Зависимость числа Х (об/мин) оборотов двигателя и мощности двигателя У (кВт)

Вариант 6. Время непрерывной работы У (час) электроприборов зависит от расхода электроэнергии (кВт/сек)

Вариант 7. Температура У (С⁰) смазочного масла в двигателе зависит от скорости Х (км/час) движения автомобиля.

Вариант 8. Износ лемеха У (мм) зависит от твердости Х (нрс) материала лемеха.

Вариант 9. Мощность двигателя У (кВт) связана с температурой Х (С⁰) воздуха.

Вариант 10. Вибрация У автомобиля зависит от скорости Х (км/час) движения.

Вариант 11. Прогиб балки У (м) связана с нагрузкой Х (кН).

Вариант 12. Электрические сопротивление R (Ом) проволоки зависит от температуры t (С⁰).

Вариант 13. Дана таблица удельного сопротивления (кн/м²) и производительности У (га/ч) посевного агрегата..

Вариант 14. Результаты измерений длительности Х (час) непрерывной работы двигателя и расхода У (л) топлива задана следующей таблицей.

Вариант 15. Скорость У охлаждения тела зависит от разности Х температуры и окружающей среды.

Вариант 16. Известны твердость Х ( кг/см²) почвы и износ У (мм) лемеха.

Вариант 17. Крутящий момент У (кг/см) зависит от угла кручения Х (рад).

Вариант 18. Стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне задано таблицей значений измеренных температур У в соответствующих точках Х.

Вариант 19. Показатели скорости движения Х (км/час) и износа У (мм) лемеха следующие:

Вариант 20. Дана зависимость электрического сопротивления R (Ом) проводника от температуры t (с⁰).

Вариант 21. Известны износ Х поршневых колец и расход У топлива.

Вариант 22. Известны твердость Х и стойкость У сверл.

Вариант 23. Известны Х- стрела кривизны рельса (см), а У- количество дефектов рельса (см).

Вариант 24. Известны Х – срок службы колеса вагона в годах, У-усредненное значение износа по толщине обода колеса.

Вариант 25. Известны Х- процентное отношение предела текучести к прочности стали; У- процентное содержание углерода в стали.

Контрольные вопросы:

1. Какие формулы называются эмпирическими?

2. Из каких этапов состоит процесс нахождения эмпирических формул?

3. Как выбрать вид функциональной зависимости?

4. В чем суть метода наименьших квадратов?

5. Как вычислить отклонение?

6. Сформулировать необходимый признак экстремума функции двух переменных.

7. Какой вид имеет нормальная система метода наименьших квадратов в случае линейной зависимости и квадратичной?

8. Вывести нормальную систему в случае линейной зависимости.

9. Вывести нормальную систему в случае квадратичной зависимости.

10. Каким методом можно решать систему уравнений?

11. Как получить искомую эмпирическую функцию?

12. Как составляется расчетная таблица в случае линейной зависимости?

13. Какие расчетные данные нужно добавить в таблицу 3 § 2 в случае квадратичной зависимости?

14. Составить алгоритмы решения системы уравнения по правилу Крамера и Гаусса.

Литература:

1. Вопросы статистики Москва 2004.

2. Гатаулин А.М. Харитонова Л.А. Нефедова Э.С. Математика для сельского экономиста, М. Россельхозиздат, 1975.

3. Доспехов Б.А. Методика опытного поля, М. Агропромиздат, 1985.

4. Дипачев В.С. Высшая математика, М. Высшая школа, 1985.

5. Иванова О.А. Генетика, М. колос 1974.

6. Королев Ю.Г. Метод наименьших квадратов в социально-экономических исследованиях. М.Статистика 1980

7. Кассандрова О.Н. Лебедев В.В. обработка результатов наблюдений, М. Наука 1970.

8. Лихолетов И.И. высшая математика, теория вероятности и математическая статистика, Минск. Высшая школа 1976.

9. Львовский Е.Е. Статистические методы построения эмпирических формул, М. Высшая школа 1982.

10. Соломенко Л.К. Биометрия. Пособие к практикуму для студентов – заочников зоотехнического факультета. М.1971.

11. Плис А.И. Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике, М. Высшее образование 1983.

12. Пискунов Н.С Дифференциальное и интегральное исчисление, Т.1, м. Наука 1972.

Содержание:

Предисловие …………………………………………………………….. 3

§ 1. Краткая теория

1.1 Постановка задачи ………………………………………….…. 4

1.2 Выравнивание по прямой ……………………………………... 5

1.3 Выравнивание по параболе…………………………………...…7

§ 2. Порядок выполнения задания ………………………………………. 9

§ 3. Образец выполнения задания ……………………………………… 10

3.1. Замечание. Метод наименьших квадратов в обработке рядов динамики. ………………………………………………………………… 15

§ 4. Варианты для самостоятельной работы.

4.1. Задания для студентов экономического факультета ………….17

4.2. Задания для студентов агро-технологического института и института биотехнологий и ветеринарной медицины ……………….. 20

4.3. Задания для студентов механико-технологического института …………………………………………………………….......................... 24

§ 5. Контрольные вопросы ………………………………………..... 29

Литература ……………………………………………………………30