Умножение и деление десятичных дробей на целое число

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Умножение и деление десятичных дробей на целое число тесно связано с умножением и делением целых чисел. Чтобы подвести учащихся к пониманию того, как производится умножение деся­тичной дроби на целое число, и сделать обобщение в виде прави­ла, необходимо начать с рассмотрения простейших случаев (при этом учитель должен воспользоваться тем, что учащиеся уже имеют понятие о действии умножения), например: 1,2-3=. В этом выражении действие умножения заменяется действием сло­жения: 1,2-3 = 1,2+1,2+1,2=3,6, 1,2-3=3,6. Внимание учащихся надо обратить на то, что сначала умножается целое число на множитель и это произведение целых отделяется запятой, а затем умножаются десятые доли на множитель. Подобные случаи умно­жения (без перехода через разряд ни в одном разряде) выполня­ются устно. Случаи умножения с переходом через разряд выпол­няются в столбик:

Множители перемножаются как целые числа и в полученном произведении отделяется запятой справа столько цифр, сколько десятичных знаков в первом множителе.

334

Примеры на умножение десятичной дроби на целое число под­ираются в той же последовательности, что и примеры на умно-1(ение целых чисел.

• Наибольшие трудности для учащихся представляют примеры, в Которых в первом множителе один или несколько десятичных раков равны нулю, а также примеры, в которых в произведении ^случается нуль целых.

Например: _Х0,032 38

0,285

« Подобные примеры надо чаще предъявлять учащимся, повторив предварительно правила умножения нуля на целое число и целого

числа на нуль.

При делении десятичной дроби на целое число также следует соблюдать определенную последовательность:

1.Все разряды делимого делятся на делитель без остатка:
6,48:2 = ?. Делим на 2 сначала целые, отделяем целые в частном
запятой, потом делим десятые доли и, наконец, сотые доли:
6,48:2=3,24. Такие примеры решаются устно.

2. Целое или какая-либо из долей делимого не делится нацело

на делитель: 4,86:3.

Делим 4 целых на 3. В частном получаем едини­цу, отделяем ее запятой. В остатке осталась едини­ца. Дробим ее в десятые доли и прибавляем еще 8 десятых. 18 десятых делим на 3, получаем 6 деся­тых. Далее 6 сотых делим на 3, получаем 2 сотых. Частное равно 1,62.

3. Особые случаи деления, когда в частном полу-

3) 1:8=?

8 ОД25~

335

Умножение и деление десятичных дробей, так же как и сое ветствующие действия с целыми числами, изучаются параллельн! Каждое действие учащиеся учатся проверять обратным ему дейс] вием.

Решаются также примеры, в которых содержатся действия вой и второй ступени со скобками, чтобы поупражнять учащихс в применении правил порядка действий. Кроме того, следует пре ложить и примеры на нахождение неизвестного множимого, неи| вестного делимого.

Запись десятичной дроби в виде обыкновенной и наоборот

С выражением десятичной дроби в виде обыкновенной учащи ся уже сталкивались неоднократно. Во-первых, образование дес! тичной дроби рассматривалось как частный случай обыкновение дроби, у которой знаменатель — единица с нулями, во-вторыэ десятичную дробь в виде обыкновенной учащиеся выражали пр знакомстве с действиями над десятичными дробями. Запись дес>1 тичной дроби в виде обыкновенной сводится к записи десятично!

3 7

дроби со знаменателем, например: 0,3=тп; 0.0?=7731

Й 7 Ч '

1,873=1^ и т. д.

Обратное упражнение, т. е. запись обыкновенной дроби в виде десятичной, выполняется так:

У обыкновенной дроби -^ знаменатель дроби 5, у десятичной

же дроби знаменатель должен выражаться единицей с нулями, т. е. 10, 100, 1000 и т. д. Подбираем такое число, при умножении на которое числа 5 получалось бы 10, 100, 1000, т. е. знаменатель дроби выразился бы единицей с нулями. Если 5 «2, то получится! 10. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель умножить на 2.<

1 1 • 2 2 3

Следовательно, 5'⁼5Т2"^:=То'^:=^'^' Запишем дробь -? в виде деся-

336

Но не всегда этим способом можно (при замене обыкновенной дроби десятичной) выразить знаменатель обыкновенной дроби 1 с несколькими нулями. Возьмем, например, дробь -я-. Попробуем взять знаменатель 10. Он не подходит, так как нельзя в данном случае получить дополнительный множитель: 10 не делится наце­ло на 3. То же получим, если возьмем знаменатели 100, 1000. Следовательно, дробь -^ нельзя этим способом выразить десятич­ной дробью.

Существует второй способ замены обыкновенной дроби деся­тичной. Всякую обыкновенную дробь можно рассматривать как

з

частное от деления числителя на ее знаменатель. Возьмем дробь -^. Ее можно рассматривать как частное от деления 3 на 4. Выпол­ним деление:

Рассуждение: «3 на 4 не делится нацело. В част­ном пишем нуль целых и ставим после нуля запя­тую. Раздробляем 3 в десятые доли. 30 десятых делим на 4. В частном пишем 7 десятых. В остатке 2 десятых. Раздробим 2 десятых в сотые доли. Полу­чим 20 сотых. Делим на 4. В частном 5 сотых.

3

Итого в частном 0,75. Следовательно, -т-=0,75». Проверка. Нужно частное умножить на делитель. В произве­дении должно получиться число, равное делимому:

0,75-4=3.

После рассмотрения еще нескольких примеров учащиеся ны сами сделать вывод о том, как обыкновенную дробь зал десятичной.

«Вернемся к дроби ^-. Мы видели| , 1 дробь _т нельзя заменить десятичной п«

способом. Попробуем заменить ее десяти вторым способом, т. е. делением числите^ знаменатель. Если будем продолжать д дальше, то увидим, что всегда в остатке о единица, а в частном 3. Деление можно! должить бесконечно. Но обычно его пред

-------------------------- ют, делят до первого, второго или тре!

знака после запятой, например: 1:3=0,33| В данном случае деление закончили на тысячных долях. ТМ показывают, что деление можно продолжить и дальше. 0,333..74 приближенное, неточное значение дроби т?. Можно предложит!

учащимся обратить в десятичные еще ряд обыкновенных дробей

21513 п -

3"' Б"' !)' 7' 7 ^{и т}' ^д' Получаются приближенные десятичные дроом После рассмотрения замены различных обыкновенных дроои¹ десятичными учащиеся убеждаются, что одни обыкновении! дроби можно точно выразить десятичными — в этом случае полу» чаются конечные десятичные дроби -г = 0,2 , другие же можнС заменить только бесконечными десятичными дробями

| = 0,333.. ^

Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

После изучения обыкновенных и десятичных дробей программой предусмотрены совместные действия над дробями. Перед изучением этой темы следует повторить отдельно все действия над обыкновен­ными и десятичными дробями, устно и письменно закрепить замену обыкновенной дроби десятичной и наоборот. Все эти виды упражне­ний должны быть хорошо отработаны, иначе учащиеся при выполне­нии совместных действий с дробями столкнутся с непреодолимыми трудностями, что вызовет у школьников с нарушением интеллекта чувство беспомощности, негативное отношение к работе. 338

При выполнении совместных действий с десятичными и обыкно­венными дробями в школе VIII вида, как показывает опыт, целесооб­разнее либо все обыкновенные дроби заменять десятичными и вы­полнять действия только над десятичными дробями, либо наоборот.

Сначала решаются задачи и примеры с двумя компонентами. Учитель, объясняя, как выполнить действие, должен обратить внимание учащихся на целесообразность замены дробей десятич­ными или обыкновенными. Например, в примере 0,45+-я- целесо­образно дробь -д- заменить десятичной, так как это сделает вычис­ления более простыми. Если же 0,45 заменить обыкновенной дро­бью, то вычисления будут более громоздкими.

В этом учащихся следует убедить, предложив выполнить дейст­вия сначала в десятичных, а затем в обыкновенных дробях:

1,45+^=?

Г=°'⁵ 1,45+0,5=1,95

Сначала учитель подсказывает учащимся, с какими дробями целесообразнее выполнять действия.

По мере накопления опыта учащиеся сами должны выбирать наиболее удобные пути решения в каждом конкретном случае.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

Понятие о проценте дается учащимся специальной школы VIII вида после изучения десятичных дробей. Процент — это дробь со знаменателем 100, имеющая особое название (подобно ^ — половина) и особую форму записи (удд- — процент). Слово «про­цент» обозначается знаком %.

Десятичные дроби со знаменателем 100 наиболее удобны для вычислений, так как во многих мерах метрической системы встреча­ется единичное отношение 100 (1 м=100 см, 1 р. = 100 к., 1 га=100а, 1 ц=100кг; следовательно, 1 см=0,01 м, 1 к.=0,01 р., 1 а=0,01 га, 1 кг=0,01 ц), таг часть числа обозначается так: 1%. Можно записать, что 1 см=0,01 м=1% метра, 1 к.=0,01 р. = 1% рубля, 1а=0,01 га = 1% гектара, 1 кг=1% центнера. В данном случае мы выразили полученные числа в процентах. Отвлеченные

339

т

числа также можно выразить в процентах. Учащимся это мож объяснить так: «1% — это -т^.частъ числа. Чему же равно и

1 100

число? Оно в 100 раз больше, т. е. тятт' 100=™*-=!. Знач!

если ^0 = 1%, то -^=1 = 100%, 2=200%, 5=500* 15=1500%» и т. д.

На основе понятия о проценте и умений выразить (записат числа в процентах необходимо объяснить значение часто встр чающихся на производстве и в быту выражений, например: «РаС чий выполнил норму по обработке деталей на 100%». Это озна«, ет, что рабочий обработал за смену то количество деталей, кот. рое было запланировано, например 150 деталей. Если рабоч! сделал меньше 150 деталей, то он не выполнил норму, т. е. в| полнил ее меньше чем на 100%. Если рабочий сделал болы 150 деталей, то он перевыполнил норму, т. е. выполнил ее болы чем на 100%.

Учащиеся знакомятся не только с выражением целого чис; но и десятичных дробей процентами.

В этом случае учитель при объяснении также исходит из опре­деления процента: 0,01 = 1%, следовательно, 0,02=2%; 0,05=5%; 0,25=25%; 0,5=50%, так как 0,5=0,50=50%; 1,7=170%. На основании подобных рассуждений, наблюдений и сравнения деся-1 тичной дроби и числа, выражающего эту дробь в процентах, неко­торые учащиеся могут сделать вывод: чтобы десятичную^ дробь заменить процентами, надо перенести за-! пятую вправо на два знака и поставить знак %. Вместо недостающих знаков ставятся нули. Обыкновенную дробь также можно выразить (заменить) процентами. Ее нужно для этого обратить в десятичную дробь и применить правило замены

десятичной дроби процентами, например: -г=0,8=80%; 2^=2,25=225%.

Учащихся школы VIII вида знакомят и с обратной задачей: выражением процентов в десятичных или обыкновенных дро­бях.

Рассуждения ведутся также исходя из понятия о проценте: 1%=0,01; 2%=0,02%; 40%=0,40=0,4; 100% = 1; 200%=2;

150% = 1,5; ^.=0,5=50%; ^=0,25=25%; -^=0,1 = 10%. 340

[ На основе наблюдений и сравнения числа процентов и дроби, выражающей это число, учащиеся подводятся к выводу: чтобы выразить проценты десятичной дробью или це­лым числом, надо запятую перенести на два зна­ка влево и знак % не писать: 20%=0,2; 300%=3.

Решение задач на проценты

Программой школы VIII вида предусмотрено решение задач на нахождение одного и нескольких процентов от числа, а также нахождение числа по одному проценту.

Задачи на проценты не представляют собой ничего нового для учащихся по сравнению с ранее решавшимися задачами на нахож­дение одного и нескольких частей от числа и на нахождение числа по одной и нескольким частям. Поэтому, прежде чем ре­шать задачи на проценты, надо повторять решение ранее решав­шихся задач и довести до сознания каждого учащегося, что 1% — это тоже дробь (-тщ и 0,01] , но записанная особым

образом.

Сначала дается понятие вычисления 1% и нескольких процен­тов от числа и вырабатывается навык выполнения этих действий. Например, надо найти 1% от 200. Рассуждаем так: 1%=^о"-Значит, надо найти -тта- (т.е. взять 1 сотую) от 200, т. е.

200:100-1=2.

Учащиеся должны решить несколько таких примеров и на ос­нове наблюдений сделать вывод: чтобы найти 1% от числа, надо это число разделить на 100. Только после этого учащиеся начнут решать задачи на нахождение 1% от числа типа: «Рабочий полу­чает 1000 р. 1% от своего заработка он платит налог. Сколько денег рабочий платит?»

Решение.

1) Найдем 1% от 1000 р.

1%=-; -щ- от 1000 р. — это 1000 р.: 100.1 = 10 р.

Ответ. Рабочий платит налог 10 р.

Аналогично подходят и к решению задач на нахождение не­скольких процентов от числа. Например, надо найти 5% от 200, т.е. -т от 200. Находим сначала 1%, т. е. -т долю от 200

341

(200:100-1=2), и берем 5 таких долей, т. е. 5%. Знач» 2 «5= 10. Вычисления записываются так: 200:100-5=10.

Учитель обязательно должен каждый раз спрашивать: «Что м получаем, когда делим число на 100? Почему умножаем на чис; процентов?» Это позволяет учащимся более сознательно относит ся к вычислениям.

Задачи на нахождение нескольких процентов от числа целес( образно решать сначала в два действия и только тогда, когд учащиеся осознанно будут относиться к записи решения задач сложным примером, содержащим два действия, можно будет заш сать действия в одну строку. Например: «В школу привезли 70 учебников. 9% учебников передали в библиотеку. Сколько учев ников передали в библиотеку?»

1-й способ записи решения.

1. Чему равен 1% от числа
700 учебников?

700 уч.: 100=7 уч.