Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знаменателями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразования, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, например, такие задания:
Сравнить дроби |, у, |. Сказать правило сравнения дробей с
одинаковыми числителями.
305
Сравнить дроби -г-, тт, ?-, -?. Сказать правило сравнения др
с одинаковыми знаменателями.
3 1
Сравнить дроби ^ и -^. Эти дроби учащиеся сравнить затрудняются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы ] сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знаменатели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате-| ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.
Учащихся необходимо познакомить со способом выражения \ дробей в одинаковых долях.
Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.
3 1 Например, у дробей тг и •*• знаменателями являются числа 8 и 2.
Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлагает меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби -^ умножить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим
4 34
дробь д-. Теперь дроби •§• и -д- выражены в одинаковых долях. Их
легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.
Найти число, на которое нужно умножить меньший знаменатель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умножить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате-
15 2 лями. Например, даны дроби ^-, -^ и -д. Чтобы эти дроби привести
к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306
'2x1=2. Дробь ^ примет вид -^. Затем 12:3=4, 4x3=12,
2 8 152
4x2 = 8. Дробь д- примет вид -^-. Следовательно, дроби ^-, -^ и -у
25 8 примут соответственно вид -™-, -гя- и -г*-, т. е. окажутся выражен-
ными в одинаковых долях.
Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.
с о о
Например, надо выразить в одинаковых долях дроби ттг и •*•• тт.
I 3 I- Т
Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его
с
записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, -т^- и
2х5 6 10 ,д ,51
-у, тт и ТВ"' Можно также предложить сравнить дроби -^ и т^.
4227
5 И ТВ"' 3 и ? и Т- д'
Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший знаменатель не делится на меньший и, следовательно, не является
3 5 общим для данных дробей. Например, •§• и ^-. Знаменатель 8 не
делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем последовательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-
3 5 пример, чтобы дроби •§• и -^ были выражены в одинаковых долях,
больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2 = 16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знаменатели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3
увеличим в 3 раза.
3 9
Дробь -д примет вид щ. Знаменатель 6 увеличили в 4 раза.
|
Дроби -д и -г- примут соответственно вид ^т и ~^- |
Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правил знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых дс
3 5 Например, даны две дроби т и у.
ч
1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=1..
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знам<
, а 3 5 натель для дробей т и у-
2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,
| \7 |
28:7=4.
= \4
3. Запишем их над дробями: —г- и -=-
4. Числители дробей умножим на дополнительные множителц|
3x7=21, 5x4=20.
„ , 21 20 о
Получим дроби с одинаковыми знаменателями ^г и ^тг. Значит,!
_. 3 5 дроби х и 7 мы привели к общему наименьшему знаменателю.
Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразование» дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф метических действий с дробями. Например, сокращение дробей ил», замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб-^ разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина-| ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разноси придется делать либо одно, либо оба преобразования.
и 1,1 2 15.38 ,15, 7 • 12 ,
Например, т+т=т=7; 7+7=7=\7; ^+^-^-=1
Приведение дробей к наименьшему общему знаменател, лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание! дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа! неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро-' бей на целое число».