Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
, где 
.
Так как 
, а 
, то 
, то есть скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение коммутативно, т.е. 
.
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством 
.
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством 
.
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины 
. В частности, 
.
5. Если два ненулевых вектора и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю ( 
) и, наоборот, если , то векторы и взаимно перпендикулярны. В частности, 
.
Пусть даны два вектора 
и 
, тогда скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответственных координат
.
Из определения скалярного произведения следует, что
,
,
.
Рассмотрим материальную точку, которая перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы 
, образующей угол φ с направлением перемещения 
. Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения 
.
Векторное произведение
Три некомпланарных вектора , и 
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки, и левую, если по часовой (рис. 1)
Рис. 1.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который перпендикулярен векторам и 
и имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. 
, где . Векторы , и образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается 
или 
.
Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами 
: 
, 
, 
.
Свойства векторного произведения
1. При перестановке множителей векторное произведение меняет знак на противоположный, т.е. 
.
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством: 
.
3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда 
. В частности, 
, 
, 
.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством
.
Пусть даны два вектора и , тогда векторное произведение двух векторов равно определителю, первую строку которого образуют орты :
.
Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма 
равна модулю векторного произведения векторов и , на которых он построен. Соответственно площадь треугольника равна 
.
Пусть в точке А приложена сила , тогда момент силы относительно точки О представляет собой вектор 
, численно равный произведению силы на плечо 
.
Смешанное произведение
Рассмотрим произведение трёх векторов , и , составленное следующим образом
– здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трёх векторов. Смешанное произведение представляет собой число.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его множителей, т.е. 
.
2. Смешанное произведение не меняется не меняется при перемене местами знаков скалярного и векторного произведения 
.
3. Смешанное произведение меняет знак при перемене местами любых двух векторов.
4. Смешанное произведение трёх ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, кода они компланарны и, наоборот, если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Пусть даны три вектора , и 
тогда векторное произведение трёх векторов равно определителю, составленному из их координат
.
Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда 
, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку. Из геометрического смысла следует, что объём пирамиды равен 
.
Пример. Даны вершины пирамида А (1, 2, 3), В (0, -1, 1), С (2, 5, 2) и D (3, 0, -2). Найти объём пирамиды.
Решение. Найдём координаты векторов, исходящих из одной вершины.
Например, 
; 
; 
. Тогда объём пирамиды равен
.