7 энергия, работа, мощность.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
1. Стальной шарик массой 20 г, падая с высоты 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту 81 см. Найти импульс силы, полученный плитой за время удара, и количество тепла, выделившееся при ударе. (0,17 Н´с; 0,04 Дж)
2. Шар массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 5 кг. Определить скорости шаров после прямого центрального удара, считая удар абсолютно упругим. (-1,71 м/с; 2,29 м/с)
3. Тело, падая с некоторой высоты, в момент удара о Землю обладает импульсом 100 кг м/с и кинетической энергией 500 Дж. Определить массу тела и высоту, с которой оно упало. (10 кг; 5,1 м)
4. На поверхность Земли с очень большого расстояния падает метеорит. С какой скоростью метеорит упал бы на Землю, если бы атмосфера не тормозила его движение? (11,2 км/с)
5. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью 3 м/с. Плоскость составляет с горизонтом угол 20º. Определить: 1) на какую высоту поднимется тело; 2) сколько времени оно будет двигаться вверх до остановки; 3) сколько времени затратит тело на скольжение вниз до исходной точки; 4) скорость тела в момент возвращения в исходное состояние. (0,46 м; 0,89 с; 3 м/с)
6. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,2. На какую высоту поднимется это тело, скользя вверх по плоскости, если ему сообщена скорость 7 м/с, направленная вверх вдоль плоскости? Какова будет скорость тела, когда оно вернется в нижнюю (исходную) точку? Угол наклона плоскости составляет 45°. (2,1 м; 5,7 м/с)
7. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 секунду после начала движения. (39,2 Дж; 59,2 Дж)
8. Баба копра массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг. Определить КПД удара бабы копра о сваю, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.(83,3%)
9. Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 600 м/с, попадает в деревянный брусок массой 5 кг, висящий на нити длиной 1 м, и застревает в нем. На какой угол отклонится нить от вертикали? (22°)
10. Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей. Показать, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.
11. Пуля массой 10 г застревает в первоначально покоящемся бруске массой 100 г. Определить долю механической энергии, потерянной при ударе. (0,91)
12.Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,2. На какую высоту поднимется это тело, скользя вверх по плоскости, если ему сообщена скорость 7 м/с, направленная вверх вдоль плоскости? Какова будет скорость тела, когда оно вернется в нижнюю (исходную) точку? Угол наклона плоскости составляет 45°. (2,1 м; 5,7 м/с)
13. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с .(4,72 кДж)
14. Автомобиль массой 3 т трогается с места и движется по горизонтальной дороге с ускорением 2 м/с2. Определить работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 500 м, и его мощность в конце этого пути. Коэффициент трения равен 0,05 (3,74 МДж; 334 кВт)
15. Молот массой 10 кг ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни 0,4 т. Считая удар неупругим, определить КПД удара молота о наковальню. Полезной считать энергию, пошедшую на деформацию куска железа (97,6%)
16. Полезная мощность насоса 10 кВт. Какой объем воды может поднять этот насос в течение часа с глубины 20 м? (183,7 м3)
17. Сила F, действующая на тело массой 4 кг, возрастает со временем t по закону F = 2t (сила в ньютонах, время в секундах). Определить работу силы за 10 секунд, ее мощность в момент времени t = 10 с и кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения (1,25 кДж; 500 Вт; 78,1 Дж)
18. Шар и полая сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Начальные скорости тел одинаковы. Какое тело закатится выше? Во сколько раз? (В 2,5 раза)
19. Автомобиль массой 1000 кг останавливается при торможении за 5 с, пройдя при этом равнозамедленно расстояние 25 м. Найти работу сил торможения и их среднюю мощность за время движения. (50 кДж; 10 кВт)
20. Два тела с массами m и 3m движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. После соударения тело массы m остановилось. Какую часть его энергии составляет выделившееся при ударе тепло? (2/3)
21. Два вагона массой 20 т и 30 т скатываются с сортировочной горки высотой 3 м. Определить путь, пройденный каждым вагоном по горизонтальной поверхности до остановки. Угол наклона горки к горизонту 30º. Коэффициент трения одинаков для обоих вагонов на всем пути и равен 0,1. Одинаково ли время движения вагонов по горке? по горизонтальной поверхности? (24,8 м)
22. Материальная точка массой 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению
Х = 10 - 2t2 +10t3
(расстояние в метрах, время в секундах). Найти мощность, затрачиваемую на движение материальной точки в момент времени t = 1 с. (2,9 кВт)
23. Определить работу, которую совершают силы гравитационного поля Земли, при падении на ее поверхность тела массой 10 кг. (6,3´108 Дж)
24. Два груза с массами m1 =200 г и m2 =100 г связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, расположенный на вершине равнобедренного треугольника с углом у основания a = 30°. Грузы удерживаются в состоянии покоя. Затем грузам позволили двигаться. Какова будет скорость грузов после прохождения каждым грузом расстояния 20 см? Трением пренебречь (0,81 м/с)
25. Трамвай движется с ускорением 0,49 м/с2. Найти коэффициент трения, если известно, что 50% мощности мотора идет на преодоление силы трения и 50% на увеличение скорости движения. (0,05)
26. Какую массу бензина расходует автомобиль на пути 100 км, если при мощности двигателя 11 кВт скорость его движения 30 км/ч? КПД двигателя 22% (13 кг)
27. Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной вертикально вверх, груз массой 20 кг был поднят на высоту 15 м. Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз? Какую работу совершит сила F? (2,94 кДж; 6 кДж).
28. Тело массы m брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью v 0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время полета, и мгновенную мощность в момент наивысшего подъема (0, 0)
29. Потенциальная энергия частицы в силовом поле изменяется по закону
Еп = 2x2 + 3y2 + 0,5z.
Найти работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами x1 = 0,5 м, y1 = 1 м, z1 = 0,2 м в точку с координатами x2 = 0,1 м, y2 = 0,75 м, z2 = 0,1 м. Найти выражение для силы, действующей на частицу, и величину этой силы в начальной и конечной точках. (1,84 Дж; 6,34 Н; 4,54 Н)
30. Сила упругости некоторой пружины изменяется по закону F = Dх3 (растяжение х - в метрах, сила - в ньютонах, D = 2 Н/м ). Определить потенциальную энергию этой пружины при растяжении на 10 см, если при
х = 0 ее потенциальная энергия равна нулю. (5´10-5 Дж)
31. Материальная точка массой 2 кг движется прямолинейно под действием некоторой силы так, что координата со временем меняется по закону
х = В + Сt + Dt2 ,
где В = 10 м, С = 2 м/с, D = 1 м/с2. Какая работа совершается силой за первые 5 секунд? Какая мощность развивается при движении точки в момент времени 2 секунды? (140 Дж; 8 Вт)
32. Какую часть общей кинетической энергии составляет энергия вращения для катящегося сплошного цилиндра, шара и обруча? (1/3; 2/7; 1/2)
33. Шар массой 250 г и диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 4 оборота в секунду. Какую работу надо совершить, чтобы остановить шар? (0,1 Дж)
34. Медный шар радиусом 10 см катится по горизонтальной поверхности. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость центра масс шара от 1 до 2 м/с? Трением пренебречь. Плотность меди принять равной 8600 кг/м3. (75,6 Дж)
35. Кинетическая энергия вращающегося маховика составляет 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения. (2 Н´м)
36. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением e = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через 25 секунд после начала движения, если через 10 секунд после начала движения момент импульса маховика составил 60 кг м2/с. (750 Дж)
37. Однородный цилиндр массой 10 кг, расположенный горизонтально, вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массой 1 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кинетическую энергию системы через 3,55 с после начала движения. (100 Дж)
38. Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой 15 см. Определить скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости. (1,4 м/с)
39. Сплошной однородный диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с. Какое расстояние пройдет диск до остановки, если его предоставить самому себе? Коэффициент трения при движении диска равен 0,02. (382,6 м)
40. С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции проехать дорожку, имеющую форму "мертвой петли" радиусом 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом 75 кг, причем масса обоих колес 3 кг. Колеса считать обручами, трением пренебречь. (7,56 м)
41. Тонкий прямой стержень длиной 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол 60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня и линейную скорость его центра масс в момент прохождения через положение равновесия. (3,84 м/с; 1,9 м/с)
42. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будут иметь в конце падения середина карандаша и его верхний конец? Считать, что нижний конец карандаша не проскальзывает. (14 рад/с; 1,05 м/с; 14 рад/с; 2,1 м/с)
43. С одной и той же наклонной плоскости скатываются тонкий диск и шар одинаковой массы. Какое из этих тел быстрее достигнет нижней точки плоскости? Зависит ли время скатывания от массы и радиусов диска и шара?
44. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 10 см? (4 с)
45. С наклонной плоскости одновременно начинают соскальзывать брусок и скатываться без проскальзывания обруч. Определить, при каком коэффициенте трения между бруском и плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга. Угол наклона плоскости 30°. (0,289)
46. Однородный сплошной цилиндр висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка. За сколько времени он опустится на 50 см? (0,39с)
47. Платформа в виде диска массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 оборотов в минуту. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Какую работу совершит человек, если он перейдет в центр платформы? Человека считать материальной точкой, радиус платформы 1,5 м. (162 Дж)
48. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот. Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращающий момент 0,17 Н´м. Считая ворот сплошным однородным цилиндром массой 43,1 кг и радиусом 12,8 см, определить скорость ведра в конце падения и работу силы трения за время падения ведра. Масса ведра с водой 13,2 кг, расстояние от края сруба до поверхности воды в колодце 7 м. (7,2 м/с; -9,3 Дж)
49. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них вращается вокруг фиксированной вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью 2 рад/с. Второй диск, первоначально не вращающийся, роняют в горизонтальном положении на первый диск так, что край одного диска совпадает с центром другого. Определить угловую скорость, с которой будет вращаться образовавшаяся система. Как изменится кинетическая энергия дисков? (0,5 рад/с; уменьшится в 4 раза)
50. Горизонтально расположенный деревянный стержень массой 0,8 кг и длиной 1,8 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает пластмассовый шарик массой 3 г, летящий перпендикулярно к оси вращения и к стержню со скоростью 50 м/с. Считая удар абсолютно упругим, определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, и скорость шарика после удара. (1,24 рад/с; 48,9 м/с)
51. Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если в условиях предыдущей задачи шарик заменить пулей равной массы, которая застревает в стержне. Определить также потерю механической энергии при ударе. (0,62 рад/с; 3,7 Дж)
52. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью 3 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол 20°. Определить: 1) на какую высоту поднимется цилиндр; 2) сколько времени он будет двигаться вверх до остановки; 3) какое время затратит цилиндр на скатывание вниз до исходного положения; 4) скорость цилиндра в момент возвращения в исходное положение. Трением пренебречь. (0,69 м; 1,34 с; 1,34 с; 3 м/с)
53. Шар массой 300 г и радиусом 4 см начинает вращаться относительно оси, проходящей через центр масс, таким образом, что угол поворота зависит от времени по закону j = 4Аt4 + В (А = 4 рад/с4, В = 5 рад). Найти работу, которую совершает над телом результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t1 =2 с до t2 =2,5 с после начала движения. (70,8 Дж.)
54. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
j = 2 + 16t - 2t2 (рад).
В момент времени t = 3с после начала движения мощность, развиваемая силами, действующими на маховик при его вращении, равна 800 Вт. Определить момент инерции маховика. (50 кг´м2)
55. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
j = 2 + 32t - 4t2 (рад).
Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, от начала движения до остановки. Момент инерции маховика 100 кг´м2. (12,8 кВт)
56. Маховик, момент инерции которого равен 16 кг´м2, начал вращаться ускоренно из состояния покоя под действием момента сил, меняющегося со временем по линейному закону M = At (A = 16 Н´м/с). Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком за 10 секунд вращения. (20 кДж)
57. Пуля массой 10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой 3000 с-1. Принимая пулю за цилиндр диаметром 8 мм, определить полную кинетическую энергию пули. (3,2 кДж)
58. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара равна 14 Дж. Определить кинетические энергии поступательного и вращательного движений шара. (10 Дж; 4 Дж)
59. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию диска через 4 секунды после начала действия силы.(1,44 кДж)
60. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом стержне на расстоянии r1 друг от друга симметрично относительно оси вращения. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости ω, совершив работу 5 Дж. Шарики раздвинули на расстояние r2=2r1 и раскрутили до той же угловой скорости. Найти работу, совершенную при этом.(20 Дж)
61. Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания. В момент времени, когда смещение шарика от положения равновесия составляет 40 мм, сила упругости равна -2Н. Найти работу силы упругости при смещении шарика от положения равновесия до положения 40 мм. (-4×10-2 Дж)
62. Обруч массой 0,3 кг и радиусом 0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж. Обруч опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж. Определить работу силы трения. (800 Дж)
8 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
1. Уравнение неразрывности струи
VS = const,
где S - площадь поперечного сечения трубки тока, V - скорость течения жидкости, VS - объемный расход жидкости, т.е. объем жидкости, протекающий через сечение трубки тока в единицу времени.