2. Момент силы, действующей на тело, относительно некоторой точки О

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

где l - плечо силы F, - радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки О.

3. Момент инерции материальной точки массой m

где r - расстояние материальной точки до оси вращения.

Момент инерции твердого тела

где r _i - расстояние материальной точки массой m _i до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс

.

4. Теорема Штейнера

Момент инерции тела I относительно произвольной оси

где I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси, - расстояние между осями.

5. Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

3 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Сани массой 5 кг скатываются с ледяной горки с ускорением 4 м/с². Какую силу, параллельную склону, необходимо приложить, чтобы втаскивать санки в гору равномерно? Уклон горы 30°. (29,2 Н)

2. По наклонной плоскости с высоты 0,5 м скользит тело. Пройдя 1 м, тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.(0,22)

3. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры Луны и Земли, ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? (3,4´10⁵ км от поверхности Земли)

4. Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей угол 30° с горизонтом. Сила трения составляет 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 15 г. Определить силу натяжения нити и угол ее отклонения от вертикали. (0,15 Н, 23°)

5. Тело массой 1 кг движется так, что зависимость его скорости от времени движения задано уравнением: V = А sinwt (А=5 см/с, w=p рад/с). Определить силу, действующую на тело через 1/6 c после начала движения. Какой путь пройдет тело к этому моменту времени? (0,14 Н; 1,4 см)

6. Автомобиль массой 1000 кг останавливается при торможении за 5 секунд, пройдя при этом равнозамедленно расстояние 25 метров. Найти начальную скорость автомобиля и силу торможения. (10 м/с; 2 кН)

7. Тело массой 2 кг двигается под действием некоторой силы по закону

X = 2 + 5t + t² - 0,2 t³

(координата Х измеряется в метрах, время t - в секундах). Определить момент времени, в который сила, действующая на тело, равна нулю. Чему равен импульс тела в этот момент? (1,67с; 13,3 кг м/с)

8. На тело массой 1 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начинает действовать сила 100 Н, направленная вверх под углом 30° к горизонту. Какой путь пройдет тело по горизонтальной поверхности за 1 секунду? Коэффициент трения тела о поверхность равен 0,1. (45,3 м)

9. Груз массой 30 кг придавливается к вертикальной стене горизонтальной силой F₁ =100 Н. Чему должна быть равна сила F₂, направленная вертикально вверх, чтобы груз двигался по стене вертикально вверх равномерно? Коэффициент трения груза о стену равен 0,2. (314 Н)

10. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон начинает двигаться равнозамедленно и за 3 секунды его скорость уменьшается от 18 до 6 км/ч. На какой угол отклонится при этом нить с шаром?

(6° 30^¢)

11. Шарик массой 1 кг прикреплен двумя одинаковыми нитями к доске, которая поднимается вертикально вверх с ускорением а = 0,2 м/с². Определить натяжение каждой нити, если угол a между ними составляет 60°. (5,8 Н)

12. Тело скользит по наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту составляет 30°. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,1. Найти ускорение тела. (4,1 м/с²)

13. Тело находится на наклонной плоскости. При каком предельном угле наклона плоскости к горизонту тело не будет скользить по ней? Коэффициент трения тела о плоскость 0,1. (5,7°)

14. Тело массой 5 кг лежит на полу лифта, опускающегося вниз с ускорением 2 м/с². Определить вес тела. Как и с каким ускорением должен двигаться лифт, чтобы вес тела был равен 49 Н? 59 Н? (39 Н; 0 м/с²; 2 м/с²)

15. К потолку лифта массой 300 кг подвешен груз массой 50 кг. Под действием силы 4 кН лифт поднимается вверх. Найти вес груза. (571 Н)

16. Наклонная плоскость, образующая угол 25° с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за 2 секунды. Определить коэффициент трения тела о плоскость. (0,35)

17. Вагонетка начинает двигаться вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°. Определить скорость вагонетки через 5 с после начала движения, если коэффициент трения равен 0,5. (3,3 м/с)

18. На тело массой 1 кг, двигающееся по наклонной плоскости, действует горизонтально направленная сила F = 10 Н. Определить силу, с которой тело давит на плоскость и его ускорение, если угол a = 30⁰, а коэффициент трения тела о плоскость 0,1.(3,6 Н; 13,2 м/с²)

19. Тело массой 10 кг движется по наклонной плоскости вверх с постоянным ускорением. На тело действует сила 100 Н, направленная вверх под углом 30° к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения 0,1, угол наклона плоскости к горизонту 30°. Определить ускорение тела. (3,3 м/с²)

20. В установке углы a и b равны соответственно 30° и 45°, массы тел m₁ =0,45 кг и m₂ =0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорение, с которым движутся тела, и силу натяжения нити. (0,7 м/с²; 2,8 Н)

21. В установке угол a наклонной плоскости с горизонтом равен 20°, массы тел m₁ =200 г и m₂ =150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорение, с которым будут двигаться тела. Тело m₂ опускается. (2,3 м/с²)

22. Грузы одинаковой массы m=0,5 кг соединены невесомой нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. (4,17 м/с²; 2,82 Н)

23. Чтобы определить коэффициент трения между деревянными поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один конец доски до тех пор, пока брусок не начал по ней скользить. Это произошло при угле наклона доски 14°. Чему равен коэффициент трения? (0,25)

24. На горизонтальном столе лежат два тела одинаковой массы m₁=m₂= 1 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Такая же нить перекинута через невесомый блок и связывает второе тело с грузом массы m₃=0,5 кг. Коэффициент трения первого тела о стол составляет 0,10, второго - 0,15. Определить ускорение, с которым движутся тела, и натяжение нити, на которой висит груз. (0,98 м/с²; 4,4 Н)

25. Два соприкасающихся бруска массами m₁ =3 кг и m₂ =2 кг скользят по наклонной доске, составляющей с горизонтом угол 45°. Коэффициенты трения между брусками и доской соответственно равны k₁ = 0,2 и k₂ = 0,1. Определить ускорение, с которыми движутся бруски и силу, с которой они давят друг на друга. (5,8 м/с²; 0,8 Н)

26. Два груза массами m₁ =500 г и m₂ =700 г связаны невесомой нерастяжимой нитью и лежат на гладком столе. К грузу m₁ приложена горизонтально направленная сила F, равная 6 Н. Пренебрегая трением, определить ускорение грузов и силу натяжения нити.(5 м/с²; 3,5 Н)

27. Тело А массой 2 кг находится на горизонтальном столе и соединено посредством невесомых блоков с телами В (массой 0,5 кг) и С (массой 0,3 кг). Считая нити нерастяжимыми и невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорение, с которым будут двигаться грузы и разность сил натяжения нитей. (0,78 м/с²; 1.33 Н)

28. Радиус одного из астероидов, имеющего форму шара,5 км, его плотность 5,5 г/см³. Определить: 1) ускорение свободного падения на поверхности астероида; 2) высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх от поверхности астероида с такой же скоростью, с какой нужно бросить вертикально вверх тело на Земле для подъема на высоту 4,9 см. (0,008 м/с²; 60 м)

29. Через невесомый блок, укрепленный в вершине наклонной плоскости, перекинута веревка с двумя грузами одинаковой массы m = 1 кг Коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней грузом равен 0,1, угол a наклона плоскости к горизонту составляет 30°. Пренебрегая трением в блоке, найти силу натяжения нити. (7,8 Н)

30. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 8°, а потом по горизонтальной поверхности. Определить коэффициент трения (считая его постоянным), если известно, что тело по горизонтали проходит такое же расстояние, как и по наклонной плоскости. (0,07)

31. К концам нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через блок, подвешены два одинаковых свинцовых шарика. Правый шарик опущен в сосуд с глицерином. Определить ускорение, с которым движутся шарики. (0,52 м/с²)

32. К концам нити, перекинутой через блок, подвешены два груза: слева 50 г и справа 100 г. Через какое время правый груз опустится на 50 см? (0,55 с).

33. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося по горизонтальному пути с ускорением 1 м/с². Масса автомобиля 1000 кг, коэффициент трения 0,1. (1980 Н)

34. На столе лежит цепочка, свешивающаяся наполовину за край стола. С каким ускорением начнет соскальзывать цепочка, если коэффициент трения ее о поверхность стола равен 0,3? (3,4 м/с²)

35. Груз массой 5 кг поднят при помощи каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Считая движение груза равноускоренным, определить силу натяжения каната. (74 Н)

36. Буксирный теплоход тянет равноускоренно две баржи водоизмещением 500 т и 300 т. Сила сопротивления воды для первой баржи равна 15 кН, для второй 12 кН. Найти натяжение троса между баржами, если сила тяги буксира 50 кН. (20,6 кН)

37. К телу массой 1 кг приложены две взаимно перпендикулярные силы по 10 Н каждая. Определить расстояние, пройденное телом через 1 с после начала движения. (7 м)

4 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Алюминиевый (ρ=2,7 кг/м³) и стальной(ρ=7,8 кг/м³) цилиндры имеют одинаковую высоту и равные массы. На цилиндры действуют одинаковые по величине силы, направленные по касательной к боковой поверхности. Найти соотношение моментов сил, действующих на цилиндры.(1,7)

2. Ось вращения тонкостенной трубки перенесли из центра масс на образующую. Во сколько раз увеличится момент инерции трубки? (В 2 раза)

3. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L=2t³. Чему равен момент сил, действующих на тело в момент времени 5 секунд?(150 Н×м)

4. Найти вес автомобиля массой 2 тонны, движущегося со скоростью 36 км/ч по выпуклому мосту радиусом 100 м. (17600 Н)

5. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 80 г, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы массами 100 г и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь. (2,9 м/с²)

6. Маховик в виде сплошного диска радиусом 0,2 м и массой 50 кг раскручен до частоты вращения 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через 50 с. Найти момент сил трения, считая его постоянным. (1 Н´м)

7. Маховик, момент инерции которого равен 63,6 кг×м², вращается с постоянной угловой скоростью 3,14 рад/с. Найти тормозящий момент, cчитая его постоянным, под действием которого маховик останавливается через 20 с. (10 Н´м)

8. Шар массой 0,2 кг и радиусом 2 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс. Угол поворота изменяется по закону j = 5t⁵ + 3t + 14 (угол j - в радианах, время t - в cекундах). Найти результирующий момент сил, действующий на тело в момент времени 10 с. (3,2 Н´м)

9. На горизонтальном столе лежит тело массой

m₁ =2 кг, которое может скользить по столу без трения. Оно связано невесомой, нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с грузом массой m₂ = 0,5 кг. Блок - сплошной однородный цилиндр массой 1 кг. Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел. (1,6 м/с²)

10. Найти угловое ускорение блока в условиях предыдущей задачи, если радиус блока 10 см, а коэффициент трения тела о стол k = 0,1.(9,8 с^-2)

11. Маховик в виде диска радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? (23,4 об/с)

12. Маховик с моментом инерции 245 кг´м² вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на маховик перестал действовать вращающий момент, он остановился. Найти момент сил трения и число оборотов, которое сделал маховик до полной остановки после прекращения действия вращающего момента. (513 Н´м; 600)

13. Блок массой 1 кг укреплен на конце стола (см. рис. к задаче 9). Тела одинаковой массы по 1 кг соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения тела о стол 0,1. Найти ускорение, с которым движутся тела и силы натяжения нитей для каждого тела. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь. (3,5 м/с²; 6,3 Н; 4,5 Н)

14. На однородный сплошной цилиндрический вал массой 40 кг намотана невесомая нить, к концу которой прикреплен груз массой 5 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением. Определить ускорение груза. (1,96 м/с²)

15. На однородный сплошной цилиндрический вал массой 10 кг намотана невесомая нить, к концу которой прикреплен груз 1 кг. Определить зависимость пути от времени, согласно которой движется груз и силу натяжения нити. (S = 0,82 t²; 8,2 Н)

16. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см, момент инерции которого 0,15 кг´м², намотана невесомая нить, к концу которой прикреплен груз массой 0,5 кг. До начала вращения вала высота груза над полом составляла 2,3 м. Определить время опускания груза до пола. (2 с)

17. Через блок в виде диска массой 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы массами 0,35 кг и 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить ускорение грузов и отношение сил натяжения нити по обе стороны блока. (1,96 м/с²; 1,05)

18. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см был раскручен до угловой скорости 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, если маховик до полной остановки сделал 200 оборотов (1 Н м)

19. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с².Определить момент инерции вала и его массу. (6,25 кг´м²; 50 кг)

20. Маховик в виде диска радиусом 10 см был раскручен до угловой скорости 300 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через 50 с. Найти массу диска, если момент сил трения равен 0,314 Н´м. (100 кг)

21. Тело массой 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока в виде полого тонкостенного цилиндра с телом массой 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. (См. рис. к задаче 9). Масса блока 0,15 кг, коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0,2. Пренебрегая трением в оси блока, определить ускорение, с которым будут двигаться тела и силы натяжения нити по обе стороны блока. (2,45 м/с²; 1,1 Н; 1,47 Н)

22. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 об/мин. до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг м². Найти угловое ускорение колеса, момент сил торможения и число оборотов, сделанных колесом за 1 минуту. (-0,21 рад/с²; 0,42 Н×м; 240 оборотов)

23. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кг´м², вращается с частотой 20 об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав 1000 оборотов. Найти момент сил трения и время, прошедшее от момента прекращения действия вращающего момента до остановки колеса. (308 Н´м; 100 с)

24. По ободу шкива, имеющего общую ось с маховым колесом, намотана невесомая нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило угловую скорость 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом 0,42 кг×м², радиус шкива 10 см. (0,865 м)

25. На шкив радиусом 0,1 м намотана невесомая нить, к свободному концу которой подвешен груз массой 2 кг. Груз опускается с ускорением 1 м/с². Момент силы трения в оси шкива равен 1 Н´м. Определить момент инерции шкива. (7,6´10^{-2 кг}´м²)

26. Если к шкиву радиусом 0,5 м подвесить груз массой 2 кг, то он будет вращаться с угловым ускорением 2 рад/с². Если груз снять, то шкив за счет силы трения будет вращаться равнозамедленно с угловым ускорением -1 рад/с². Определить момент инерции шкива. (2,93 кг´м²)

27. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? (2,8 м/с²)

28. Определить момент силы, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой 12 об/с, чтобы он остановился в течение 8 с. Диаметр блока 30 см. Масса блока распределена равномерно по ободу и равна 6 кг. (1,27 Н´м)

29. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н´м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с². (24 кг)

30. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? (2,8 м/с²)