Непосредственное интегрирование– интегрирование с использованием таблицы неопределенных интегралов, основных свойств и тождественных преобразований подынтегральной функции

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Пример 1 . Сначала приведем полное решение:

Пример 2 . Найти неопределенный интеграл .

Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

Пример 3 .

Пример 4 .

Замена переменной .

Пусть требуется найти неопределенный интеграл . Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив , где — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда . В этом случае имеет следующее равенство:

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла.

Пример 5

Интеграл найдем
подстановкой . Тогда:

и =2 dt=2e^t +C=2 +C.

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, какуказано в следующихпримерах.

Пример 6

Пример 7

Пример 8

, сделаем замену x = t⁶, тогда

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл ∫xe^-2xdx

Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e^-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe^-2xdx=- e^-2x+C
Следовательно по формуле имеем:
∫xe^-2xdx=x(- e^-2x)-∫- ^-2dx=- e^-2x- e^-2x+C