Тема: Угол между векторами. Скалярное произведение векторов - Скалярное произведение векторов - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Цели урока:
- повторить вопросы теории и рассмотреть основные свойства скалярного произведения;
- сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
Студентам дается задание: внимательно выслушать решение задач и быть готовыми ответить на вопрос: «Верно ли решена задача? Какие замечания к решению у тебя есть?»
Задача № 1
Решение:
(Ответ: -2а2.)
III. Математический диктант
После написания диктанта проводится самопроверка и обсуждение задач, с которыми не справилось большинство студентов.
IV. Изучение нового материала
1. Задание:
- Запишите формулу длины вектора в координатах;
- Выразите 
из определения скалярного произведения.
- Пусть 
Выразите в координатах.
Имеем 
2. Основные, свойства скалярного произведения.
Для любых векторов 
и любого числа k справедливы равенства:
1) 
причем 
при 
2) 
(переместительный закон).
3) 
(распределительный закон).
4) 
(сочетательный закон).
Рассмотрим для примера свойство 3. Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим произвольные векторы 
Воспользуемся формулой скалярного произведения в координатах и тем, что координаты вектора 
равны суммам соответствующих координат вектора.
3. Следует обратить внимание на то, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых, а скалярное произведение, в котором каждый из сомножителей является суммой векторов, можно вычислить по правилу умножения многочленов.
Рассмотрим, например, скалярное произведение 
Положим 
Тогда 
Таким образом, 
Свойства скалярного произведения используются в процессе решения задач.
V. Закрепление изученного материала
1. Решение задач по готовому чертежу (рис. 1).
Дано: 
Найти: 
Решение.
(Ответ: 
)
Задача 1
Решение: 
Вопрос: Какими являются эти векторы? 
(Ответ: б) 0; д) √3.)
Задача 2
Дано: 
Вычислить: 
Решение: 
(Ответ: 28.)
Вопрос: Какие свойства скалярного произведения использовали при решении этой задачи?
Задача 3
Дано: 
Найти: вид 
Решение: 
если 90° < а < 180°. Значит, 
тупой. (Ответ: тупой.)
2. Самостоятельное решение задач с последующей проверкой.
I уровень
Задача
Дано: 
Найти: значение m, при котором векторы 
перпендикулярны.
Решение: 
если 
(Ответ: 4.)
II уровень
Дано: 
Найти: 
Решение:
III уровень
Даны три силы 
приложенные к одной точке. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка их приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(5; 3; -7) в В(4; 1;-4).
Решение:
1. Найдем равнодействующую 
2. Найдем вектор перемещения 
(Ответ: А = 7.)
VI. Подведение итогов
- Итак, в ходе сегодняшнего урока мы рассмотрели основные свойства скалярного произведения векторов, научились применять их для вычисления скалярного произведения и нахождения углов между векторами.
Домашнее задание
Задача № 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1.
Найдите угол между векторами 
где точка М - середина ребра СС1.
Решение:
1 способ
Введем систему координат (рис. 2).
2 способ
(Ответ: 
)