Определение ускорения силы тяжести математическим маятником
Цель работы: определить ускорение силы тяжести для г. Владикавказа.
Приборы и принадлежности: маятник, секундомер.
Краткая теория
Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.
Колебания называются периодическими, если материальная точка возвращается в исходное состояние через равные промежутки времени. Время одного полного колебания называется периодом колебания Т.
Величина, обратная периоду, называется частотой: 
.
Частотой гармонических колебаний n называется число колебаний в единицу времени.
Максимальное отклонение точки от положения равновесия называется амплитудой колебания А.
Существует множество различных видов периодических колебаний. Простейшими колебаниями будут такие, при которых координата материальной точки изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Такие колебания называются гармоническими.
x = A sin (wt + j), (1)
где х – смещение точки (координата), А – амплитуда колебаний, (wt + j) – фаза колебаний, w – циклическая частота, число полных колебаний за 2π с, j – начальная фаза.
Математический маятник
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (рис.2).
В положении равновесия сила тяжести Р уравновешивается силой натяжения нити N. Если отклонить маятник на малый угол a, то P и N будут направлены под углом друг к другу и не будут уравновешены. Равнодействующей этих сил будет составляющая F силы тяжести Р, которая является возвращающей силой и равна : F = –mg sina.
Знак минус указывает на противоположность направлений силы F и смещения х.
Период колебания математического маятника равен:
. (2)
Теория метода
Из формулы периода колебаний маятника 
легко найти ускорение силы тяжести.
На измерении g основаны методы определения формы Земли и гравиметрическая разведка (поиски руд, каменного угля, нефти и др.)
. (3)
Непосредственное измерение длины маятника представляет определенную трудность, так как приходится определять положение центра тяжести шарика и точки подвеса. Поэтому берут маятник произвольной длины и определяют период колебания
. (4)
Затем укорачивают маятник и, измерив уменьшение длины, вновь определяют период колебания
. (5)
Вычтя (4) из (5) и решив уравнение относительно g, получим
. (6)
Таким образом, отпадает необходимость измерять длину маятника, достаточно определить разность длин.
В данной работе (см. рис.3) маятником служит тяжелый шар 1, подвешенный на длинной нити 2 к кронштейну 3, укрепленному на стене. Параллельно нити укреплена линейка 4, с миллиметровыми делениями, по которой перемещается движок 5. По этой линейке возможно произвести отсчет разности длин маятника. Ручка 6 служит для изменения длины маятника. При изменении длины маятника нажмите фиксатор 7.
Порядок выполнения работы
1. С помощью ручки 6 устанавливают длину маятника l1, при этом отмечают положение движка 5 на линейке 4.
2. Отводят маятник от положения равновесия на небольшой угол (около 5–60). Отпускают шар, предоставив ему свободно колебаться.
3. В момент наибольшего отклонения маятника пускают в ход секундомер и отсчитывают время t1, в течение которого маятник совершит n1=50 полных колебаний. Измерения времени 50 колебаний для неизменной длины 
проводят три раза и результаты записываются в таблицу.
4. Устанавливают новую длину маятника 
и отмечают новое положение движка на линейке.
5. Для новой длины измеряют время n2=50 полных колебаний. Измерения проводят три раза.
6. По результатам измерений времени полных колебаний t1 и t2 рассчитываются периоды колебаний T1 и T2 по формуле: 
, где t – время, n – число колебаний.
7. Разность между двумя положениями движка – есть разность длин 
.
8. По формуле (6) вычисляют ускорение силы тяжести.
Отчетная таблица
| № | t1, c | n1 | t 1,c | t2, c | n2 | t2,c |  , м
| g, м/с2 |
| Среднее значение | ||||||||
Расчет погрешности
Средняя относительная ошибка:
Средняя абсолютная ошибка:
Задачи
1. Длина одного математического маятника вдвое больше другого. Определить на сколько полных колебаний один маятник опередит второй, если оба маятника начинают совершать колебания одновременно.
Ответы:1) 0,5 N2; 2) 3 N; 3) 5 N2; 4) 0,4 N1; 5) 0,9 N1.
2. Длина математического маятника 100 м. Определить как изменится период колебаний, если его длину увеличить на 30 м.
Ответы:1) 0,28 с; 2) 0,39 с; 3) 0,52 с; 4) 0,52 с; 5) 0,23 с; 6) 0,19 с.
3. Ускорение силы тяжести на широте Санкт–Петербурга g=9,82 м/с8. Определить время полного колебания маятника, имеющего длину 2 м.
Ответы:1) 3,22 с; 2) 0,58 с; 3) 2,8 с; 4) 4,12 с; 5) 0,95 с.
4. Определите высоту на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.
Ответы:1) 1,5 R З; 2) 0,5 R З; 3) 2 R З; 4) R З; 5) 0,75 R З.
5. Период колебаний часового маятника на Земле равен 2с. Вычислить период колебаний этого маятника на Луне, если масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а радиус Луны составляет 3/11 радиуса Земли.
Ответы:1) 2,95 с; 2) 4,9 с; 3) 3,8 с; 4) 5,1 с; 5) 4,2 с.
6. Найти ускорение силы тяжести на поверхности некоторой планеты, средняя плотность которой равна средней плотности Земли, а радиус в n раз больше Земного.
Ответы:1) n2g; 2) 
g; 3) ng; 4) 
; 5) 
.
Контрольные вопросы
1. Какое движение называется колебательным?
2. Какие колебания называются гармоническими? Запишите уравнение этих колебаний. Дайте определение кинематическим элементам колебаний.
3. Изобразите график гармонических колебаний.
4. Что называется математическим маятником? Какие колебания он совершает? Изобразите силы, под действием которых колеблется маятник.
5. Выведите формулу периода колебаний математического маятника.
Литература
1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002, с.258–261.
2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики, М.: Высшая школа, 1989, с.300–301.
Лабораторная работа 1.5