Метод алгебраического сложения

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Метод подстановки

Теория:

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Пример:

Решить систему уравнений {xy=6 x−y=5
Решение.

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

(5+y)y=65y+y2−6=0y2+5y−6=0y1=−6,y2=1

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

если y1=−6, то x1=5+(−6)=5−6=−1,

если y2=1, то x2=5+1=6.

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

Ответ: (−1;−6) и (6;1)

Метод алгебраического сложения

Теория:

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

Пример:

Решить систему уравнений {x2−y2=21 x2+y2=29
Решение.

Сложим уравнения.

{x2−y2=21 x2+y2=29+21 2x2=50

Решим полученное уравнение с одной переменной.

2⋅x2=50|:2x2=25x=±5

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

x2+y2=29

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.

Ответ: (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и

Метод введения новых переменных

Теория:

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Рассмотрим второй способ на примере.

Пример:

Решить систему уравнений {xy(x+y)=6 xy+(x+y)=5
Решение.

Введём новые переменные xy=u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

{uv=6 u+v=5

Решением системы являются две пары чисел:

Вернёмся к переменным x и y и решим системы методом подстановки, тогда:

Ответ: (1;2) и (2;1)

Графический метод

Теория:

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

1. строим график первого уравнения;

2. строим график второго уравнения;

3. находим точки пересечения графиков (координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений).

Пример:

Решить систему уравнений {x2+y2=9 y−x=−3
Решение.

1. Построим график уравнения x2+y2=9.

Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 3.

2. Построим график уравнения y=x−3 (выразили y).

Это прямая, для построения которой найдём две точки (0;−3) и (3;0).

3. Окружность и прямая пересекаются в точках A и B.
Точка A имеет координаты (3;0), а точка B — координаты (0;−3).

Пары чисел (3;0) и (0;−3) являются решениями обоих уравнений системы, а значит, и решениями системы уравнений.

Ответ: (3;0) и (0;−3).