Инерционное (апериодическое) звено 1 – го порядка

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Передаточная функция (1 стр 1)

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы:

x _вх(t) = X_m cos(wt) = X_m e ^jwt .

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму:

x _вых(t) = Y_m cos(wt+j) = Y_m e ^j(wt+j) .

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возмем произвольное, считая помеху f(t) равной нулю:

(T₂² p² + T₁ p + 1) x _вых(t) = (k₁ + k₂ p) x _вх(t) .

Подставим сигналы в уравнение движения:

T₂²(jw)² X _вых e ^j(wt+j) + T₁(jw) X _вых e ^j(wt+j) + X _вых e ^j(wt+j) = k₁ X_вх e ^jwt + k₂(jw) X_вх e ^jwt .

Найдем отношение выходного сигнала ко входному:

.

Вывод 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа s на комплексную частоту jw, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Вывод 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывет изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующих видах:

W(jw) = A(w) e ^jj(w), или W(jw) = P(w) + j Q(w) ;

где: W(jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ);

• A(w) - модуль частотной передаточной функции - находится как отношение модулей числителя и знаменателя (АЧХ):
• j(w) - фаза частотной передаточной функции - находится как разность аргументов числителя и знаменателя (ФЧХ):
• P(w) и Q(w) - вещественная и мнимая части частотной ПФ. Для их нахождения необходимо избавиться от мнимости в знаменателе, умножением на сопряженную знаменателю комплексную величину. Логарифмические ЧХ - ЛАЧХ & ЛФЧХ Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям: L(w) = lg |W(jw)| = lg A(w), [лог]; j(w) = arg(W(jw)), [рад].

2. Математич. описание идеальных звеньев. (2 стр. 2-3)

Безынерционное звено

	x2( t) = Kx1( t), в операторной форме X2( p) = KX1( p)
		Передаточная функция . Комплексный коэффициент передачи , то есть , . В логарифмическом масштабе .   ЛАЧХ безинерционного звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на расстоянии . ЛФЧХ совпадает с осью абсцисс.

Интегрирующее звено

Идеальным интегрирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу входной величины.

; ,

	; ; . , при , при , при ,
		То есть в логарифмическом масштабе ЛАЧХ – прямая линия. ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую проходящую с наклоном и пересекающую ось абсцисс при частоте, равной обратной величине постоянной времени звена. ЛФЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на .

Дифференцирующее звено

Идеальным дифференцирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна скорости изменения входной величины.

; ;

.

	; ; ; .
		при , ; при , ; при , .

3. Математич. описание реальных звеньев 1 порядка. (5 стр. 3-8)

Реальные динамические звенья представляют собой соединения из элементарных звеньев.

Инерционное (апериодическое) звено 1 – го порядка

Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое звено, связь между выходом и входом определяется линейным заданным уравнением 1 – го порядка вида:

, где Т – постоянная времени инерционного звена. ( 1 )

При ступенчатом изменении входного сигнала и при пул. Начальных условиях решение уравнения ( 1 ) может быть представлено в виде:

В операторной форме

, , , .

;

при . , ;

при , ;

при - прямая с наклоном ;

при .

Реальное дифференцирующее звено 1 – го порядка

Это звено, у которого связь между выходной и входной величиной определяется уравнением вида:

,

где Т – постоянная времени звена

K – коэффициент усиления звена

Рассмотрим переходный процесс в таком звене при и

При этих условиях решение может быть записано в виде

, то есть при ступенчатом изменении входного сигнала выходная величина изменяется по экспоненциальной кривой.

Реальные дифференцирующие звенья применяются как средство корректирования переходных процессов, например, стабилизирующий трансформатор, дифференцирующие мостовые схемы и другое.

В операционной форме ;

, ,

, .

при , , , ,

, , , ,

, , , ,

Таким образом ЛАЧХ представлена в виде 3-х составляющих:

1-я – представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне

2-я – прямая, имеющая наклон и пересекающая ось абсцисс при .

3-я – представляется двумя асимптотами, сопрягающимися при причём до асимптоты совпадают с осью абсцисс, а после имеют отрицательный наклон .

Реальное форсирующее звено 1 – го порядка

Это звено, у которого связь между выходом и входом выражается уравнением вида:

при и

Решение может быть представлено в виде

при

Реальное форсирующее звено наряду с реальным дифференцирующим звеном применяется как средство для корректирования, улучшения переходных процессов.

В операторной форме:

,

при , , , ,

, , , ,

, , , ,

,

5.Передаточные ф-ции и ЧХ при различных соединениях звеньев. (3 стр. 12-14)

Последовательное соединение звеньев

Дано: W 1 (р), W 2 (р), L 1 ( ω ), L 2 ( ω ), φ1(ω), φ2(ω) L (ω) = ? φ(ω) = ?

Известно, что W ( р) = W ₁ (р)· W ₂ (р) переходя к АФЧХ, p = j ω :

,

A( ω ) = A ₁ (ω)·A₂(ω), φ ( ω ) = φ₁(ω) + φ₂(ω),

переходя к логарифмическому масштабу

.

таким образом ,

.

Рассмотрим пример:

Согласно-параллельное соединение звеньев

Дано: W 1 (р), W 2 (р), L 1 ( ω ), L 2 ( ω ), φ1(ω), φ2(ω) L(ω) = ? φ(ω) = ?

W (р) = W ₁ (р) + W ₂ (р), (1)

. (2)

Bскомые ЛАЧХ и ФЧХ нахо­дятся путем добавления поправочных ординат к характеристикам 2-го звена, т.е., опять-таки, к характеристикам звена ЛАЧХ, которое идет выше.

При малых L _П, φ_П искомые характеристики будут, очевидно, сов­падать с характеристиками того звена ЛАЧХ, которое проходит выше.