Тема 3. Решение показательных уравнений

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Задание 1: Выбрать показательное уравнение:

1) 4^х=64 3) 64⁴=х

2) 4х=64 4) х⁴=64

Теорема:Если а^х=а^в, где а>0, а≠1, то х = в

Задание 2: Пользуясь теоремой, заполнить таблицу:

№	Показательное уравнение	ответ
1	2х=23	х=3
2	5х=56	х=….
3	4х=42	х=….
4	9х=81 (9х=92)	х=2
5	7х=243	х=….
6	2х=32	х=….
7	6х=	х=….

Пример: Решить показательное уравнение:

1) 4^3х+15=1 2) 5^2х-7=

Решение: Решение:

4^3х+15=4⁰ 5^2х-7=5^-3

3х+15=0 2х-7=-3

3х=0-15 2х=-3+7

3х=-15 2х=4

х= х=

х=-5 х=2

Ответ: х=-5 Ответ: х=2

Задание 3: Решить самостоятельно и выбрать правильный ответ:

1) 6^2х+5=216

2) 3^х-4=

3) 7^4х=1

а) х=-1 б) х=0 в) х=1

Задание 4: «Иди по стрелке»

(Раздели полученный результат на 2 и получи оценку

Задание 5: Пользуясь свойствами, заполнить таблицу:

№	пример	Используемое свойство	результат
1	6х-2		6х-2=
2	4х+1
3	(32)х
4	5х+4
5	23х		23х=(23)х=8х
6	9х·92
7

Пример: Решить показательное уравнение:

3^х+2+3^х=90

Решение:

3^х·3²+3^х=90 t=9

Пусть 3^х=t,t>0 3^х=9

t·3²+t=90 3^х=3²

9t+t=90 х=2

10t=90 Ответ: х=2

t=

t=9

Задание 6: Найти ошибку в решении показательного уравнения:

3^х+2-5·3^х=36

Решение:

3^х·3²-5·3^х=36 t=9

Пусть 3^х=t,t>0 3^х=9

t·3²-5·t=36 3^х=3³

9t-5·t=36 х=3

4t=36 Ответ: х=3

t= , t=9

Задание 7: Заполнить таблицу:

№	уравнение	Расписать по формуле	t=….	Найти t	х=….
1	3х+2+3х=90	t·32+t=90	3х=t	t·32+t=90 9t+t=90 10t=90 t= t=9	t=9 3х=9 3х=32 х=2 Ответ: х=2
2	2·5х+2-10·5х=8	2·5х·52-10·5х=8	5х=t	2·t·52-10·t=8 2·t·25-10·t=8 50t-10t=8 …….
3	4х+1+4х=320
4	3х+4·3х+1=13
5	7х+2-14·7х=5

Пример: Решить показательное уравнение:

2^х-1+2^х=6

Решение:

+2^х=6

Пусть 2^х=t,t>0 t=

+t=6 t=4

+t=6 2^х=4

2^х=2²

1t+2t=12 х=2

3t=12 Ответ: х=2

Задание 8: Дорешать самостоятельно:

1) 3^х-3+3^х-1=10

Решение:

Пусть 3^х=t,t>0

10t+9t=270, 10t=270, t= , t=27, 3^х=27, 3^х=3³, х=….., Ответ: х=……

2) 5^3х+3·5^3х-2=140

Решение:

5^3х+3· =140

Пусть 5^3х=t,t>0

t+ =140

Ответ: х=……..

Задание 9: Решить показательное уравнение:

1) 2^х+2^х-3=18

2) 8·2^х-1-2^х=48

Пример: Решить показательное уравнение:

3^х+1-4·3^х-2=69

Решение:

3^х·3¹-4· =69

Пусть 3^х=t,t>0 t=

t·3¹-4· =69 t=27

3t- =69 3^х=27

3^х=3³

27t-4t=621 х=3

23t=621 Ответ: х=3

Задание 10: Проанализировать решение и найти ошибку:

2^х+1 + 2^х-1 +2^х = 28

Решение:

Пусть 2^х =t, t > 0

t=

t=8

2^х =8

2^х =2⁴

6t+t=56 х = 4

7t=56 Ответ: х = 4

Задание 11: Решить показательное уравнение:

1) 10·5^х-1 +5^х+1 = 7

2)7^х+2 +4·7^х-1 = 347 Ответ записать в виде таблицы:

3) 4·3^х-1 +3^х+1 = 117

Пример: Решить показательное уравнение:

9^х +8·3^х –9 = 0

Решение:

(3²)^х+8·3^х –9 = 0

(3^х)²+8·3^х –9 = 0

Пусть 3^х =t, t > 0

t² +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t_{1,2= =}

t₁= t₂=

t₁= 1 t₂= -9, не уд., так как t>0

3^х = 1

3^х =3⁰

х=0

Ответ: х=0

Задание 12: Проверить решение, удалить посторонний корень и записать ответ: 4^х –2^х –12 = 0

Решение:

(2²)^х–2^х –12 = 0

(2^х)²–2^х –12 = 0

Пусть 2^х =t, t > 0

t² – t –12 =0

а=1, b=-1, с=-12

t_{1,2= =}

х₁= х₂=

t₁= 4 t₂= -3

2^х = 4 ……..

2^х = ….. Ответ: х=……

Задание 13: Решить показательное уравнение и стрелками сопоставить правильный ответ:

Проверь себя!

Решить показательное уравнение:

1.

2.

3. 4·3х+2+5·3х+1-6·3х =5

4.

5.