Тема 2. Показательная функция, её свойства и график

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Историческая справка

В письмах немецкого философа, физика – изобретателя и математика Г.Лейбница (1646-1716) к голландскому учёному Х.Гюйгенсу (1629-1695), датированных 1679г., можно найти использование (без пояснений) переменной величины в показателе степени.

Начиная IIX века европейские математики, ещё не имея строгой теории действительных чисел, изучали отдельные свойства показательной функции. В IX веке после того как в математики упрочилось понятие предела и было введено понятие степени с действительным показателем, удалось строго обосновать и свойство показательной функции.

В биологии есть законы, которые можно описать с помощью показательной функции. Например:

1. Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону: N = N₀e^kt

Ещё по этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.

2. Закон органического затухания: подобен размножению, происходит с той же скоростью и по тем же условиям, но происходит в обратную сторону.

3. Закон выравнивания: он тоже описывается показательной функцией и присутствует при таких процессах, как разрушение адреналина в крови и уменьшение количества радиоактивных веществ, выводимых почками.

Эти законы доказывают нам, что показательная функция имеет большое практическое значение в биологии, а особенно в таких её разделах, как экология и медицина.

В физике тоже есть величины и законы подчиненые показательной функции:

1. Например процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: T = T₀+ (100 - T₀)e^-kt - это пример процесса выравнивания, который в физике также можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

2. Также широко применяется показательная функция при описании процессов ядерной физики:
Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t₀ называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса: m = m₀(1/2)^-t/t₀ , где m₀ - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например распадается по закону: M = M₀e^-kt, используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли (радий распадается нормально за время равное возрасту Земли).

3. В ядерных реакциях: скорость разветвлённо-цепного процесса в
газовой фазе в начальных стадиях (вплоть до выгорания 30-40% газа) выражается формулой: , где k - константа скорости реакции активного центра с исходным веществом, [А] - концентрация исходного вещества, w₀ - скорость зарождения цепей, f и g - соответственно эффективные константы скорости разветвления и обрыва, e - основание натурального логарифма, t - время.

4. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды
поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила
света I определяется по формуле: I = I₀e^-ks , где s – толщина слоя,
k – коэффициент характеризующий мутную среду.

Показательная функция, её свойства и график

Определение: Функцию у=а^х, где а>0, а≠1, называют показательной функцией.

Свойство 1: Область определения показательной функции у=а^х – множество R всех действительных чисел.

Свойство 2: Множество значений показательной функции у=а^х – множество положительных чисел.

Свойство 3: Показательная функция у=а^х является возрастающей, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.

Пример: Построить графики функции у=2^х, у=( )^х

Составим таблицы:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у=2х				1	2	4	8

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у=( )х	8	4	2	1

Схематично построим графики:

Задание 1: Построить графики функции у=3^х, у=( )^х

у= ( )х

Проверь себя!

Решить графически уравнение: (построив графики функций левой и правой части уравнения на одном чертеже и определив точку их пересечения)

1.

2.