Тема 11. Решение простейших тригонометрических неравенств

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида:

Тригонометрические неравенства могут быть решены по следующему общему правилу.

1. Найти область допустимых значений неизвестной (ОДЗ).

2. Записать соответствующее уравнение, заменив знак неравенства знаком равенства.

3. Решить уравнение, полученное в предыдущем пункте.

4. На числовой оси отметить ОДЗ, корнями уравнения разбить ОДЗ на промежутки.

5. На каждом интервале выбрать одну пробную точку и подставить ее в исходное неравенство. Если неравенство выполняется, то данный интервал необходимо включить в ответ. Если неравенство не выполняется, то интервал следует исключить из рассмотрения.

6. Сделать отбор характерных для неравенства точек – корней уравнения и концов промежутков ОДЗ. Если исходное неравенство нестрогое, то корни уравнения следует записать в ответ, в противном случае – отбросить. Концы промежутков ОДЗ проверить подстановкой в исходное неравенство. Подходящие из них включить в ответ.

Решение неравенств с синусами

Неравенства вида sin t < a
0<a<1	-1<a<0
t1 = arcsin a t2 = - П - arcsin a t2 < t < t1 -П- arcsin a<t<arcsin a	t1 = - arcsin a t2 = - П + arcsin a t2 < t < t1 -П+arcsin a<t<-arcsina
Учитывая, что arcSsin(-|a|) = - arcsin |a| и периодичность функции получаем для любого |a|≤1 рещение: - П -arcsin a + 2 П n < t < arcsin a + 2 П n, n Î Z.
Неравенства вида sin t ≥ a
t1 = arcsin a t2 = П - arcsin a t1 ≤ t ≤ t2	t1 = - arcsin a t2 = П + arcsin a t1 ≤ t ≤ t2
Аналогично объединяем два решения: arcsin a + 2 П n ≤ t ≤ П - arcsin a +2 П n, n Î Z.

Решение неравенств с косинусами

Неравенства вида cos t ≤ a
0<a<1	-1<a<0
t1 = arccos a t2 = 2П - arccos a t1 ≤ t ≤ t2 arccosa≤t≤2П-arccosa	t1 = П - arccos a t2 = П + arccos a t1 ≤ t ≤ t2 П-arccosa≤t≤П+arccosa
Учитывая, что arccos(-|a|) = П - arccos |a| и периодичность функции получаем для любого |a|≤1 рещение: arccos a + 2 П n ≤ t ≤ 2 П - arccos a + 2 П n, n Î Z.
Неравенства вида cos t > a
t1 = arccos a t2 = - arccos a t2 < t < t1	t1 = П - arccos a t2 = - П + arccos a t2 < t < t1
Аналогично объединяем два решения: - arccos a + 2 П n < t < П - arccos a +2 П n, n Î Z
Решение неравенств с тангенсами Неравенства вида tg t < a 0<a<1 -1<a<0 t1 = arctg a t2 = - П/2 t2 < t < t1 - < t < arctg a t1 = - arctg a t2 = - П/2 t2 < t < t1 - < t < -arctg a Учитывая, что arctg(-|a|) = - arctg |a| и периодичность функции получаем рещение: - + П n < t < arctg a + П n, n Î Z. Неравенства вида tg t ≥ a t1 = arctg a t2 = t1 ≤ t < t2 t1 = - arctg a t2 = t1 ≤ t < t2 Аналогично объединяем два решения: arctg a + П n ≤ t < + П n, n Î Z.

Пример 1:Решить тригонометрическое неравенство:

Решение

1   Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит Для x Î [0; 2π] решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn, то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где Ответ. где

Задание 1: Решить тригонометрическое неравенство:

1.

2.

Проверь себя!

1. Найти значение выражения

1). arccos 1+arcsin 0

2).arccos(- )-arcsin

3). tg(arctg )

4). sin(arccos )

2. Решить уравнение:

1). sin3xcosx-sinxcos3x=1

2). 2cos2x-5cosx=3

3). tgx-3ctgx=0

4). sin3x-sinx=0

5).2sinx+sin2x=0

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В3

Основная идея решения любого тригонометрического уравнения за-

Тренировочная работа №1