Тема 8. Решение однородных относительно sinx и cosx тригонометрических уравнений

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним	(?) Делим обе части уравнения на , , Затем применяем метод введения новой переменной.
	Уравнение , не является однородным. Но А это уже однородное тригонометрическое уравнение.
	Если (или ) входит множителем во все члены уравнения, то уравнение можно решать методом разложения левой части на множители, если в правой нуль.

и уравнений, приводимых к ним

Уравнение вида asinx + bcosx = c , a ² + b 2≠0

1) А это уже однородное тригонометрическое уравнение второй степени относительно и . (?) Делим на
2) а) ОДЗ: б) ОДЗ: ОДЗ уравнения б) уже, чем ОДЗ уравнения а). Поэтому необходимо проверять, не являются ли числа , корнями данного уравнения.
3) , где , . Тогда ,
Решений нет	, . Если , , то находится из условия или Если , то Если , то

Задание 4: Решить тригонометрическое уравнение:

1. ;

2. ;

3.

Тема 9. Решение тригонометрических уравнений

методом группировки и разложения на множители

Пример1 : Решить тригонометрическое уравнение

2 sin x cos 2x – 1 + sin x – 2cos 2x = 0

Решение:

Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:

2 cos 2x (sin x – 1) + (sin x –1) = (sin x – 1)(2 cos 2x + 1).

Уравнение (sin x – 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений (sin x – 1) = 0,

2 cos 2x+ 1 = 0.

a) sin x – 1 = 0, sin x = 1, x = + 2 Пn, n Î Z;

б) 2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = - , 2x = ± + 2Пn, nÎ Z, x = ± + Пn, nÎ Z

Ответ : x = + 2Пn, nÎ Z, x = ± + Пn, nÎ Z

Пример 2: Решить тригонометрическое уравнение: sin x + cos x = 1 .

Решение: Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

Пример 3: Решить тригонометрическое уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Решение : cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,

sin x · cos x – sin ² x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение:

cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Решение : cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Задание 1: Решить тригонометрическое уравнение:

1. sin x – sin 2x = 0

2.

3.

4.

Тема 10. Решение тригонометрических уравнений,

решаемые с помощью формул сложения, понижения степени и другим

Пример 1: Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Решение: Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = + πk , kÎZ

x = + , kÎZ

Ответ: x = + , kÎZ

Задание 1: Закончить решение:

по формуле

или

……………………………………………..

Задание 2: Решить тригонометрическое уравнение:

1.

2.

3.

4.