Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.
42.Теорема о непрерывных функциях
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если 
.Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.
.Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева (справа) если f(x0)=f(x0 – 0) (f(x0)=f(x0+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х0 означает непрерывность слева и справа одновременно.
Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если
Обратите внимание, где стоит квантор 
, это важно.
Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х0, то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет разрыв .
Теорема о непрерывности сложной функции.Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
,что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <
Обратите внимание на следующие детали:а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));
б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором 
в предыдущей строке и взаимного уничтожения 
. Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.
Теоремы о непрерывных функцияхПерейдем к доказательству важнейших теорем о непрерывных функциях.Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.Доказательство.Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:
Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.
1Деление отрезков пополам.
Разделим отрезок [a, b] пополам. Середина его будет точка 
. Тогда возможны такие варианты:а) 
. В этом случае, взяв 
, теорему можно считать доказанной.
б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].
в) 
В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].
Проделаем такую же процедуру с отрезком [a1, b1], получив отрезок [a2, b2], затем то же самое с отрезком [a2, b2], получив отрезок [a3, b3] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(an)<0 и f(bn)>0.
Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и . Тогда 
m<C<M сÎ<a,b> f(c)=C.
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что 
x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.
Доказательство.Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.
Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.
1.Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка xÎ[a,b], что f(x)>A.Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда 
, что f(xn)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {xn}Î[a,b] и удовлетворяющую свойству f(xn)>n.
2.Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {xn} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса з нее можно выделить сходящуюся последовательность {xn}, т.е. 
. В силу замкнутостиотрезка [a, b] точка cÎ [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).
1.Сведение к противоречию.Т.к. согласно п.1 
, то, переходя к пределу k®¥получим 
т.е. f(c)=+¥, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение. <
Вторая теорема Вейерштрасса.Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x1, x2 принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].
пример
Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция 
непрерывна в произвольной точке x = a.
Решение.
Условие непрерывности по Гейне можно записать в виде
где Δx и Δy − малые приращения, показанные на рисунке 3. Для заданной функции справедливы следующие соотношения в точке x = a:
Следовательно,
Вычислим предел.
43.точка разрыва функции и их классификация
Определение: Точка 
,в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
1.функция 
определена в точке и ее окрестности;
2.существует конечный предел функции в точке ;
3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 
называется точкой разрыва функции. Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределы 
и 
, такие, что 
, то точка называется точкой разрыва первого рода.
Пример
Функция 
в точке 
имеет разрыв первого рода, так как
, а 
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Пример