Теория оптимального управления экономическими системами: математические основы оптимизации. Многокритериальная оптимизация (особенности оптимизации экономических систем).
Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя:
-формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления;
-определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления;
-определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств.
Если управляемый объект или процесс является детерминированным, то для его описания используются дифференциальные уравнения. Наиболее часто используются обыкновенные дифференциальные уравнения вида 
. В более сложных математических моделях (для систем с распределёнными параметрами) для описания объекта используются дифференциальные уравнения в частных производных. Если управляемый объект является стохастическим, то для его описания используются стохастические дифференциальные уравнения.
Реальное поведение объекта или системы всегда отличается от программного вследствие неточности в начальных условиях, неполной информации о внешних возмущениях, действующих на объект, неточности реализации программного управления и т.д. Поэтому для минимизации отклонения поведения объекта от оптимального обычно используется система автоматического регулирования.
Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечеткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные. Задача оптимального управления
Сформулируем задачу оптимального управления:
· Уравнения состояния: (1).
Уравне́ние состоя́ния — уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др. Уравнение состояния можно написать всегда, когда можно применять термодинамическое описание явлений. При этом реальные уравнения состояний реальных веществ могут быть крайне сложными.
· Граничные условия 
, 
(2).
граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.
· Минимизируемый функционал: 
.
здесь 
— вектор состояния 
— управление, 
— начальный и конечный моменты времени.
Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени 
, которые минимизируют функционал.
Вариационное исчисление
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления. Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа. Функция Лагранжа 
имеет вид: 
, где 
— граничные условия. Лагранжиан 
имеет вид: 
, где 
, 
, 
— n-мерные вектора множителей Лагранжа.
Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:
· стационарность по u: 
, (3)
· стационарность по x, уравнение Эйлера: 
(4)
· трансверсальность по x: 
, 
(5)
Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент.