2. Двоичная система счисления

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 5

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет имени И.И.Ползунова»

УДК 65.011.56

Лузев В.С. Тарасов А.В. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "информатика" Часть 3 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ /Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2011. -12 с.

Факультет пищевых и химических производств Кафедра технологии хранения и переработки зерна Лузев В.С., Тарасов А.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ИНФОРМАТИКА"

Часть 3 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры технологии хранения и переработки зерна. Протокол N 9 от 03.04.11 г.

Оглавление

Лабораторная работа №5 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ........................... 2

Контрольные вопросы............................................................................ 10

Литература............................................................................................... 10

Задания к лабораторной работе............................................................. 10

Барнаул 2011

Лабораторная работа №5 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления - принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два клас­са: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счис­ления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена табл. 1, содержащая наименования некоторых позици­онных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Таблица 1. Некоторые системы счисления

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления:

А_пА_п-1А_п-2 ... А_ьА0,А-ъА-2 =

А_пВ^п + А_п-1Б^п-1 + ... + А₁Б¹ + А₀В⁰ + А_-1Б^-1 + А_-2В^-2 + ...

(знак «точка» отделяет целую часть числа от дробной; знак «звездочка» здесь и ниже используется для обозначения операции умножения). Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными. При­меры (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

23,43(₁₀) = 2*10¹ + З*10° + 4*10^-1 + З*10^-2

(в данном примере знак «З» в одном случае означает число единиц, а в другом - число сотых долей единицы);

692(₁₀) = 6* 10² + 9*10¹ + 2.

(«Шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в сте­пени один, плюс два»).

1101(₂)= 1*2³ + 1*2²+0*2¹+ 1*2°;

112(₃) = 1*3²+ 1*3¹ +2*3°;

341,5(₈) =3*8²+ 4*8¹ +1*8° +5*8^-1;

А1Р4(₁₆) = А*16² + 1*16¹ + Р*16° + 4*16^-1.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадца­тиричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже про­демонстрирован.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с осно­ванием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. По­лученное при этом частное необходимо вновь разделить на В - остаток даст сле­дующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отде­ляющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необхо­димо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим зна­ком и т. д.

Отметим, что кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления существуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наибо­лее известным примером непозиционной системы является римская. В этой систе­ме используется 7 знаков (I, V, X, Ь, С, Б, М), которые соответствуют следующим величинам:

1(1) V(5) Х(10) Ь(50) С (100) Б(500) М(1000)

Примеры: III (три), Ь1Х (пятьдесят девять), (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь исторический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

2. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятич­ной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перево­да целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока част­ное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной по­следовательности, образуют искомое двоичное число. Например:

25 : 2 = 12 12 : 2 = 6

6 : 2 = 3 3 : 2 = 1

1 : 2 = 0 Таким образом

25(10)=11001(2).

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умно­жить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной {периодической) двоичной. Например:

0,73 • 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 • 2 = 0,92 (целая часть 0 ),

0,92 • 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 • 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

В итоге

0,73(ю) =0,1011...(2).

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно; производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл. 2.

И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИС-

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой инте­рес.

Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры ком­пьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцате-ричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста - гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную произво­дится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умно­жений на 8. Например, переведем число 58,32(10):

58 : 8 = 7 (2 в остатке),

7 : 8 = 0 (7 в остатке).

0,32 • 8 = 2,56,

0,56 • 8 = 4,48,

0,48-8=3,84,...

Таким образом, 58,32(ю) =72,243... (8)

(из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в дру­гой).

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную про­изводится аналогично.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного пре­образования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого вос­пользуемся табл. 3 чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представ­ленных в других системах счисления.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьме­ричный эквивалент. Например:

11011001= 11011001, т.е. 11011001(₂) =331(₈).

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триа­дой».

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры - «двоичные тетрады»:

1100011011001 = 1 1000 1101 1001, т.е. 1100011011001(₂)= 18Б9(₁₆).

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестна-дцатеричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

0,1100011101(₂) =0,110 001 110 100 = 0,6164(₈),

0,1100011101(₂) = 0,1100 0111 0100 = 0,С74(₁₆).

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем - сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целы­ми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатиричной систем в вычислительной технике и программировании.

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами. Для приме­ра табл. 4 иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.

Рассмотрим еще один возможный способ перевода чисел из одной позицион­ной системы счисления в другую - метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основания, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший осно­вания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. На­пример, число 114(10):

114 - 2⁶ = 114 - 64 = 50,

50 - 2⁵ = 50 - 32 = 18,

18 - 2⁴ = 2,

2 - 2¹ = 0.

Таким образом, 114(10) = 1110010(2).

114 - 1 • 8² = 114 - 64 = 50, 50 - 6 • 8¹ = 50 - 48 = 2, 2 - 2 • 8° = 2 - 2 = 0. Итак, 114(ю)= 162(8).

Таблица 4 Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе

Сложение Умножение

Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления: 2

Пример 2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счис­ления:

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В

ДРУГУЮ.

Правила перевода целых чисел

Результатом является целое число.

1. ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - В ДВОИЧНУЮ И ШЕСТ-НАДЦАТЕРИЧНУЮ:

а. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

Ь. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекраща­ется, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

с. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответст­вии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

<1 формируется результирующее число: его старший разряд - полученное по­следнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, млад­ший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счис­ления:

_123 \16_ 112 7

7 В - р езультир ующе е чи сло. Таким о брав 123=7В₁₆.

2. ИЗ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ - В
ДЕСЯТИЧНУЮ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПОЛНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

ЧИСЛА ПО ФОРМУЛЕ.

Пример 4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления. Имеем:

13₁₆ = 1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19. Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:

10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19. Таким образом, 10011₂ = 19.

3. ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ:

а. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно до­полняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

Ь. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

10011₂ = 0001ШИ₂

Д Т1 ервая тетрада - младшая цифра числа вторая тетрада - старшая цифра числа

В соответствии с таблицей 0011₂ = 11₂ = 3₁₆ и 0001₂ = 1₂ = 1₁₆. Тогда 10011₂ = 13₁₆.

4. ИЗ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ:

а. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в со­ответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

Ь. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления. По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 = 00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Результатом является всегда правильная дробь.

1. ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - В ДВОИЧНУЮ И ШЕСТ-НАДЦАТЕРИЧНУЮ:

а. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

Ь. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является стар­шей цифрой получаемой дроби;

с. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

(I процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен ну­левой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

е. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой. Имеем:

Д847 2

1,694 _^ *0,б94 2

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, посколь­ку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.

Таким образом, 0,847 = 0,1101₂.

Пример 9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

Д847 16

13,552 —► Д552
^ 16

О, Б 8 О - р езультир ующ ее число

В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,Б8Б₂.

2. ИЗ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ - В

ДЕСЯТИЧНУЮ.

В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем ко­эффициенты а! принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.

Пример 10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012. Имеем:

0,1101₂ = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 +1*2^-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125. Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана. Таким образом, 0,1101₂ = 0,8125.

Пример 11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,Б8Б₁₆. Имеем:

0,Б8Б₁₆ = 13*16^-1 + 8*16^-2 + 13*16^-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 =

0,84692.

Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

Таким образом, 0,Б8Б₁₆ = 0,84692.

3. ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ:

а. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

Ь. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример 12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадца-теричную числа 0,11012. Имеем:

0,1101₂ = 0,1101₂ В соответствии с таблицей 1101₂ = Б₁₆. Тогда имеем 0,1101₂ = 0,Б16.

Пример 13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадца-теричную числа 0,0010101₂.

Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незнача­щий ноль: 0,0010101₂ = 0,00101010₂. В соответствии с таблицей 0010₂ = 10₂ = 2₁₆ и 1010₂ = А₁₆. Тогда имеем 0,0010101₂ = 0,2А₁₆.

4. ИЗ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ:

а. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соот­ветствии с таблицей;

Ь. незначащие нули отбрасываются.

Пример 14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.

По таблице имеем 2₁₆ = 0010₂ и А₁₆ = 1010₂. Тогда 0,2А₁₆ = 0,00101010₂. Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат:

0,2А16 = 0,00101012.

ПРАВИЛО ПЕРЕВОДА ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ

Отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются.

Пример 15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестна-дцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запя­той.

Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби: 19,847 = 19 + 0,847.

Как следует из примера 2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 3.9 0,847 =

0,Б8Б₁₆. Тогда имеем:

19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,Б8Б₁₆ = 13,Б8Б₁₆.

Таким образом, 19,847 = 13,Б8Б₁₆.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТ­ВИЙ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ

Пример 16. Сложить двоичные числа 11012 и 110112. Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разря­ду номер 1: номера разрядов:

5 4 3 2 1

+ 1 1 0 1 1 1 0 1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

Ь. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 -единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

с. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

(. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

е. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 -единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

1 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и ре­зультата:

1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13; 11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27; 101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2¹ = 32 + 8 = 40. Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 17. Сложить шестнадцатеричные числа 1 С₁₆ и 7В₁₆. Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разря­ду номер 1:номера разрядов:

2 1

+ 1 С

7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает пре­образование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а. разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

Ь. разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 - единица переноса.

Таким образом:

1 С

+ 7В 9 7

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и ре­зультата:

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Правила вычитания

Пример 18. Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112. Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитае­мое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1: номера разрядов:

3 2 1

- 1 0 1

1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже: а. разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;

Ь. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и непо­средственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10 - 1 = 1;

с. третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:

1 0 1

- Л1

1 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результа­та. По таблице имеем::

101₂ = 5;

112 = 3;

10₂ = 2.

Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 3.19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число

7В16.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитае­мое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

2 1

- 9 7

7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а. разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и непо­средственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 - В16 = 23 - 11 = 12 = С16;

Ь. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была заня­та в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8166 - 716 = 116.

Таким образом:

9 7

- 7_В 1 С

Для проверки результата используем данные из примера 3.17. Таким образом, вычитание выполнено верно.

Правила умножения

Пример 20. Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂. Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разря­ду номер 1:

номера разрядов:

3 2 1 * 1 0 1 1 1

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый раз­ряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ =

1012;

Ь. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формиро­вания значения числа в позиционных системах счисления;

с. для получения окончательного результата складываем результаты преды­дущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. таблицу): 101₂ = 5;

112 = 3;

1111₂ = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пример 21. Умножить шестнадцатеричное число 1 С16 на шестнадцатеричное число

7В16.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разря­ду номер 1:

номера разрядов:

2 1

* 1 С

7 В

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый раз­ряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

Ь. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 7₁₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформи­ровано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счис­ления;

с. для получения окончательного результата складываем результаты преды­дущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = Б74₁₆.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведе­ния, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования пол­

ного значения числа: 1С16 = 28; 7В₁₆ = 123;

Б74₁₆ = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = Б74₁₆.

Контрольные вопросы

1. Какие системы счисления называют позиционными, а какие — непозицион-
ными? Приведите примеры.

2. Что называется основанием системы счисления?