Задание студентам на самостоятельную работу.

Дата: 2025-05-21; Просмотры: 5
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

С помощью MS Excel построить графики:

 

1. Полигон распределения частот (абсцисса – значение признака; ордината – число вариант);


2. Гистограмму распределения удачных бросков (абсцисса – значение признака; ордината – число вариант);

 

3. Кумуляту распределения (абсцисса – значение признака; ордината – кумулированные частоты).


´Задача 2.3 [1]. Исследовалась динамика венозного давления ∆вд у 8 больных при эпидуриальной анестезии:

15, 20, 20, 25, 30, 30, 35, 55.

Выявить аномальность числа «55» в выборке для P ≤ 0,05

Критериальная статистика вычисляется по формуле

В нашем случае D 8 =(55-28,75)/11,66=2,25,

что больше табличного D 8 =2,17 для P ≤0,05

 

Вывод: «55» – аномально.

 

X i

d

d2

1

15

-13,75

189,06

2

20

-8,75

76,56

3

20

-8,75

76,56

4

25

-3,75

14,06

5

30

1,25

1,56

6

30

1,25

1,56

7

35

6,25

39,06

8

55

26,25

689,06

M=28,75

SS=1087,50

 

 

δ2 =135,94

 

 

SD=11,66

 

 

D=2,25

 

P≤ 0,05

Dtab=2,17

 

Критические значения статистики Dn

Примечание: Распределение величины Dn получено Карлом Пирсоном (1857 – 1936) и Николаем Васильевичем Смирновым (1910 – 1966). В таблице приведены значения, рассчитанные Н.В. Смирновым и Ф. Граббсом в 1950 г.

´Задача 2.4 [5]. Содержание Ca (мг%) в сыворотке крови клинически здоровых павианов гамадрилов.

 

13,6 12,9 12,3 9,9 12,7 11,7 10,8 10,4 10,9 10,2
14,7 10,4 11,6 11,7 12,1 10,9 12,1 9,2 10,7 11,5
13,1 10,9 12,0 11,1 13,5 11,2 13,5 10,1 14,0 10,0
11,6 12,4 11,9 11,4 12,8 11,4 10,9 12,7 13,8 13,2
11,9 10,8 11,0 12,6 10,0 10,3 12,7 11,7 12,1 13,8
12,2 11,9 11,6 10,6 11,1 10,7 12,3 11,5 11,2 11,5
12,7 10,5 11,2 11,9 9,7 13,0 9,6 12,5 11,6 9,0
11,5 12,3 12,6 12,6 12,8 12,5 12,8 11,4 12,5 12,3
14,5 12,3 12,8 11,7 12,2 12,3 11,6 12,0 13,5 12,5
11,6 11,9 12,0 11,4 14,7 11,3 13,2 14,3 13,2 14,2

Требуется: сгруппировать данные (n = 100) в вариационный ряд (упорядоченные по возрастанию элементы выборки).

1. Устанавливаем величину классового интервала по формуле для выборки объемом 100 и менее единиц

 

= 0,8

 

2. Строим таблицу.

Классы по уровню Ca, мг% 8,6-9,3 9,4-10,1 10,2-10,9 11,0-11,7 11,8-12,5 12,6-13,3 13,4-14,1 14,2-14,9  
Срединные значения классов 9,0 9,8 10,6 11,4 12 ,2 13,0 13,8 14,6  
Частота 2 6 15 23 25 17 7 5 100
Накопленная частота 2 8 23 46 71 88 95 100  

 

3. С помощью MS Excel построим графики:

 

а) Гистограмму распределения Ca в крови (абсцисса – границы классовых интервалов; ордината – частоты вариант);

б) Кумуляту (абсцисса – значения классовых вариант; ордината – кумулированные частоты).

МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ

Величины, отражающие все результаты измерений в распределении, называются центральной тенденцией. Тремя характеристиками центральной тенденции являются: среднее, медиана и мода. Среднее (M) – это среднее арифметическое, которое нахоится путем сложения всех результатов (Σ xi ) и деления полученной суммы на количество результатов (n).

Медиана (Me) – это значение, расположенное в центре распределения и разделяющее все наблюдения на две половины. Мода (Mo) – это величина или категория, которая появляется наиболее часто. Среднее отклонение (более подробно см. ниже) вычисляют по следующей формуле:

´Задача 2. 5 . Каков средний возраст женщин, участвовавших в исследовании? Поскольку мы исключаем из этого анализа мужчин, то должны подсчитать только те результаты в графе возраст, которым соответствует числовое значение 2 в графе пол (номера в этом анализе не нужны; они приведены в качестве справки)

.

 Номер Возраст (xi)
X1 X4
3 17
5 23
7 18
8 32
9 22
10 20
12 18
15 19
п = 9 Σ xi = 206

 

ОЦЕНКА ИЗМЕНЧИВОСТИ

Стандартное отклонение ( standard deviation – SD ) – это один из наиболее часто используемых показателей того, насколько величины отличаются от среднего. Формула для вычисления стандартного отклонения:

 

.

´Задача 2. 6 . Каково стандартное отклонение для количества часов, отработанных в неделю мужчинами?

· Выберите из графы отработанные часы данные по мужчинам (мужчинам в графе пол соответствует числовое значение 1).

· Подсчитайте для этой группы среднее арифметическое М.

· Вычислите отклонение D – отнимите среднее значение от количества часов, отработанных каждым человеком D =( xi – M ),

· Возведите в квадрат каждую из полученных величин D 2 =( xi – M )2.

· Вычислите сумму квадратов отклонений SS = Σ D 2.

· Подставьте эти величины в формулу SD.

 

X1 X7    
Номер Отработанные часы (xi) D D2
1 38 12 144
2 15 –11 121
4 30 4 16
6 35 9 81
11 20 –6 36
13 30 4 16
14 30 4 16
16 10 –16 256
n = 8 Σxi = 208   SS = 686

 

Помимо средней арифметической нередко требуется определить среднее гармоническое, квадратическое, кубическое, а так же их средневзвешенные значения. В приведенных ниже примерах ознакомимся с ними.

Вычисление средней арифметической

способом произведений или основным

´Задача 2.7 [5]. Длина тела личинок щелкуна (мм), отобранных случайным способом в посеве озимой ржи, варьировала следующим образом:

7, 10, 14, 12, 15, 16, 12.

Используя MS Excel, определить:

Формулы: =СРЗНАЧ(А1:А7)

=СУММ(B1:B7)

=B1^2

=КОРЕНЬ(C8/(7-1))

 Длина личинок, мм D D 2
7 -5 28
10 -2 5
14 2 3
12 0 0
15 3 7
16 4 14
12 0 0
M = 12 0 SS = 57
1) среднее арифметическое:

– простое = 12;
2) дисперсию – dispersion или variance:

или (если n<30) ;
3) стандартное отклонение (среднеквадратическую ошибку) – standard deviation

или (если n<30) = 3,09.
           

 


´Задача 2.8 [5]. На свиноферме зарегистрирован опорос 64 свиноматок. От каждой свиноматки получено следующее количество живых поросят:

 8 10 6 10 8 5 11 7
10 6 9 7 8 7 9 11
8 9 10 8 7 8 8 11
7 10 8 8 5 11 8 10
12 7 5 7 9 7 5 10
8 9 7 12 8 9 6 7
8 7 11 8 6 7 9 10
6 7 6 12 8 10 6 11

Используя MS Excel определить:

1) среднее арифметическое (взвешенное (Σ pi = n)):

или = 8,25;

2) дисперсию (при учете весов):

= 3,46;

3) стандартное отклонение:

= 1 , 86 .

 

 
Классы (xi) Частоты (pi) xipi xi2 pixi2
5 4 20 25 100
6 7 42 36 252
7 13 91 49 637
8 15 120 64 960
9 7 63 81 567
10 9 90 100 900
11 6 66 121 726
12 3 36 144 432
  n = Σ pi = 64 Σ xipi =528   Σ pi xi2= 4574

Вычисление средней гармонической

Средняя гармоническая простая:

´Задача 2.9 [5]. 5 доярок в течение 1 часа ручным способом надоили следующее количество молока: 10, 20, 25, 30, 20 – всего 105 л. Сколько времени затрачивает в среднем доярка на выдаивание 1 л молока?

 

М = 105/5 = 21 л . t= 60 / 21 = 2,86 мин. М h =5 /(1/10 +1/20 +1/25 +1/30 +1/20) = 5 /0,273 = 18,31 л t = 60/18,31 = 3 , 23 мин.

Средняя гармоническая взвешенная: .

´Задача 2.10 [5].

Плотность колосьев ржи = (кол-во зерен в колосе) / (длина колоса). Объем выборки – 20 растений

 Длина колосьев 8 9 10 11 12
Кол-во зерен в колосе 36 38 40 41 42
Частота (n = 20) 2 5 10 2 1
Плотность колосьев 4,5 4,2 4,0 3,7 3,5

Средняя плотность колосьев в выборке:

М h= 20 / (2×1/4,5 + 5×1/4,2 + 10×1/4,0 + 2×1/3,7 + 1×1/3,5) = 20 / 5 = 4.

Сравните: М = (2×4,5 + 5×4,2 + 10×4,0 + 2×3,7 + 1×3,5) / 20 = 81/20 = 4,1 .

Вычисление средней квадратической

Применяется при выражении признаков мерами площади

Средняя квадратическая простая ; взвешенная .

´Задача 2.11 [5].

Измерялся – диаметр корзинок подсолнуха в см., n = 10

 Диаметр корзинок (xi) 8 11 13 15 16 17
Число случаев (pi) 1 1 2 3 2 1

Средний размер признака

1×82+1×112 +2×132 +3×152 +2×162 +1×172 =1999. 14,1 см.

Сравните: М = (1×8 +1×11 +2×13 +3×15 +2×16 +1×17) / 10 = 139 /10 = 13,9 см.

Вычисление средней кубической

Применяется при выражении признаков мерами объема.

Средняя кубическая простая ; взвешенная .

´Задача 2.12 [5]. Измерялся диаметр

яиц в мм [полусумма большого и малого диаметров], n = 18 яиц

 Диаметр яиц (xi) 47 48 50 54 56 60
Число случаев (pi) 2 4 6 3 2 1

Средний размер признака

2×473 + 4×483 + 6×503 + 3×543 + 2×563 + 1×603 = 24397;

51 мм.

Вычисление средней геометрической

Применяется при увеличении линейных размеров тела, прироста численности популяции за определенный промежуток времени

Средняя геометрическая

обычно вычисляется с помощью десятичных логарифмов по формуле

.

 

´Задача 2.13 [5].

Живая масса подопытных мышей изменяется с возрастом. Средняя геометрическая недельных абсолютных прибавок массы мышей за первые 9 недель их жизни

lgМ g =7,58895/8 =0,94861,

 

М g = 8,9 г.

 

Сравните: М =77/9 = 9,6 г.

 Возраст мышей (неделя) Живая масса, г, xi Абсолютные недельные прибавки массы, г Логарифм прибавок массы
1 10 - -
2 15 5 0,69897
3 20 5 0,69897
4 27 7 0,84510
5 35 8 0,90309
6 46 11 1,04139
7 58 12 1,07918
8 72 14 1,14613
9 87 15 1,17609
Сумма   77 7,58892

 

Если признак варьируется непрерывно и выборка группируется в интервальный вариационный ряд, то

,

где Qi = x 2 / x 1

lgМ g = 0,93806 / 8 = 0,1173,

 

М g = 1,310 г.

 

Сравните: М i =10,50/8 =1,313 г.

 Возраст мышей (неделя) Живая масса, г, xi Относительные недельные прибавки массы, г, Q Логарифм прибавок массы lgQ
1 10 - -
2 15 1,50 0,17609
3 20 1,33 0,12385
4 27 1,35 0,13033
5 35 1,30 0,11394
6 46 1,31 0,11727
7 58 1,26 0,10037
8 72 1,24 0,09342
9 87 1,21 0,08279
Сумма   10,50 0 ,93806

Используют также следующую формулу: .

´Задача 2.14 [5]. Селекция гибридного хлопчатника за 5 лет позволила увеличить длину волокна с 26,3 мм до 31,0 мм. Определить среднегодовой эффект.

.

М g = 0,1044мм → 10,44% → Среднегодовой эффект: 10,44/5 = 2,1%.

Вычисление коэффициента вариации: .

´Задача 2.15 [5]. На кролиководческой ферме взвешивание 35 животных показало следующий результат:

 3,0 2,7 2,1 1,6 1,2 1,6 2,2
2,1 2,3 1,5 1,1 2,2 2,5 2,4
1,9 2,1 2,3 1,3 1,0 1,8 1,9
1,8 3,2 2,1 2,9 3,0 1,3 1,9
2,6 1,5 2,4 2,7 1,9 2,0 2,6

Сравнить V двух выборок – 35 кроликов и 64 поросят (см. задачу 2.8).

Vкроликов = 27,3%, Vпоросят = 22,5%.

 

Определение медианы

Медиана (Me) – средняя, относительно которой ряд распределения делится на 2 половины (в обе стороны от медианы) одинаковое количество вариант.

,

где: XMe – нижняя граница интервала, в котором находится Ме или полусумма соседних классовых вариант; i – величина классового интервала; n – объем выборки; ps – число накопленных частот, стоящее перед медианным классом; pMe – частота медианного класса.

´Задача 2.16 [5]. (см. Задачу 2.4) Вычислить Ме ряда распределения Са (мг%) в сыворотке крови павианов гамадрилов

Классы по содержанию Са в сыворотке крови Срединные значения классов Частоты (pi) Накопленные частоты (ps)
8,6 – 9,3 9,0 2 2
9,4 – 10,1 9,8 6 8
10,2 – 10,9 10,6 15 23
11,0 – 11,7 11,4 23 46
11,8 – 12,5 12,2 25 71
12,6 – 13,3 13,0 17  
13,4 – 14,1 13,8 7  
14,2 – 14,9 14,6 5  
    100  

Вариант 1. i = 0,8. Величина n /2= 50 находится между ps = 46 и ps = 71.

Границы интервала для (ps = 71) – 11,8 ÷ 12,5 т. е. pMe = 25.

По формуле: Ме = 11,8 + 0,8 (50 – 46) / 25 = 11,93 .

Вариант 2. По формуле: Ме = (11,4 + 12,2) / 2 + 0,8 (50 – 46)/25 = 11,93 .

´Задача 2.17 [5] (см. задачу 2.6). Вычислить Ме ряда распределения численности поросят.

Классы (xi) Частоты (pi) Накопленные частоты

Величина n /2= 32 находится между

ps = 24 и ps = 39.

 

То xMe = (7+8)/2 = 7,5;

pMe = 15.

 

По формуле:

Ме = 7,5 + 1 (32 – 24)/15 = 7,5 + 0,53 = 8,03.
5 4 4
6 7 11
7 13 24
8 15 39
9 7  
10 9  
11 6  
12 3  
  Σ pi = 64

Определение моды

Мода (Mo) – наиболее часто встречающаяся, в данной выборке, величина. Класс с наибольшей частотой называется модальным.

,

где: X ниж – нижняя граница модального класса; i – величина классового интервала; p 1 – частота класса, предшествующего модальному; p 2 – частота модального класса; p 3 – частота класса, следующего за модальным.

 

´Задача 2.18 [5] (см. задачу 2.4). Вычислить (используя MS Excel) Мо ряда распределения Са (мг%) в сыворотке крови павианов гамадрилов.

 

i = 0,8.

По формуле

Мо = 11,8 +0,8 (25-23) / (2×25-23-17) = 11,8+0,16 = 11,96.

 Классы по содержанию Са в сыворотке крови Срединные значения классов Частоты (pi) Накопленные частоты (ps)
8,6 – 9,3 9,0 2 2
9,4 – 10,1 9,8 6 8
10,2 – 10,9 10,6 15 23
11,0 – 11,7 11,4 23 46
11,8 – 12,5 12,2 25 71
12,6 – 13,3 13,0 17  
13,4 – 14,1 13,8 7  
14,2 – 14,9 14,6 5  
    100  


Хи -квадрат

Хи-квадрат (χ2) – это непараметрический статистический показатель, используемый для определения того, отличается ли наблюдаемая частота результатов от ожидаемой частоты. Поскольку для подсчета χ2 необходимы частоты, можно использовать как количественные, так и качественные переменные. Формула для χ2, где О соответствует наблюдаемой (эмпирической) частоте, а Е – ожидаемой (теоретической):

.

Степени свободы df для χ2, где R – число строк, а С – число столбцов в таблице распределения частот, находят с помощью формулы .

´Задача 2.19 [9]. Наблюдается ли различие между уровнем знаний женщин и мужчин? При вычислении χ2 желательно пользоваться таблицами распределения частот, помогающими упорядочить О и Е частоты. В таблице распределения эмпирических частот подсчитываются суммы по столбцам, по строкам и общая сумма n . Чтобы подсчитать значение для каждой клетки в таблице распределения теоретических частот, умножьте сумму всей строки на сумму столбца и разделите полученный результат на общую сумму n. Затем эти величины О и Е используются в формуле для вычисления критерия хи-квадрат

Таблица распределения эмпирических частот ( O)

Пол Низкий Высокий Итого
Женщины 6 3 9
Мужчины 2 6 8
Итого 8 9 п = 17

Таблица распределения теоретических частот ( E)

Пол Низкий Высокий Итого
Женщины (9×8)/17 = 4,24 (9×9)/17 = 4,76 9
Мужчины (8×8)/17 = 3,76 (8×9)/17 = 4,24 8
Итого 8 9 п = 17

 

Х2 Х9      
категория Уровень знаний O Е (O – Е ) (O – Е ) 2 (O – Е ) 2 /Е
Женщины Низкий 6 4,24 1,76 3,11 0,74
2 Высокий 3 4,76 – 1,76 3,11 0,65
Мужчины Низкий 2 3,76 – 1,76 3,11 0,83
1 Высокий 6 4,24 1,76 3,11 0,74

.

В нашем примере R = 2 и С = 2; таким образом, df = 1. Чтобы определить, превышает ли полученная нами величина χ2 (2,95) желаемое критическое значение, мы обращаемся к табл. П 3.З. Критическое значение при df = 1 и уровне значимости 0,05 равно 3,84. Полученная нами величина 2,94 меньше этого критического значения; следовательно, между мужчинами и женщинами отсутствует статистически значимое различие в уровне знаний.

Распределение случайно изменяющихся величин

Формула закона нормального распределения

,

где: f ( xi ) – высота подъема кривой (плотность вероятности для значения xi); е – основание натурального логарифма (2,718); π – число «пи» (3,14159); М – среднее арифметическое; SD – стандартное отклонение.