Раздел 1. Элементы теории функций комплексного переменного
Экзамен МАТАН
Раздел 1. Элементы теории функций комплексного переменного
1. Понятие комплексного числа. Геометрическое изображение комплексного числа.
2. Формы записи комплексных чисел.
3. Действия над комплексными числами: сложение и вычитание.
4. Действия над комплексными числами: умножение и деление.
5. Действия над комплексными числами: возведение в степень.
6. Действия над комплексными числами: извлечение корня.
7. Основные элементарные функции комплексного переменного.
8. Дифференцирование функции комплексного переменного.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Понятие функций нескольких переменных. Геометрическое изображение. Способы задания функции.
2. Предел и непрерывность функций двух переменных.
3. Частные производные. Производные высших порядков.
4. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.
5. Производные сложных и неявных функций.
6. Линеаризация функции в окрестности точки. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Дифференциал.
7. Линии уровня функции. Градиент. Производная по направлению.
8. Экстремумы функций двух переменных.
Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной действительной переменной
1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
2. Понятие неопределённого интеграла. Основные свойства. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.
3. Метод замены переменных, метод интегрирования по частям в неопределённых интегралах.
4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Метод неопределённых коэффициентов.
5. Интегрирование иррациональных функций.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
7. Определённый интеграл. Геометрический смысл.
8. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем значении.
9. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.
10. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
11. Вычисление площадей плоских фигур и длины дуги кривой с помощью определённого интеграла.
12. Вычисление объёма тела вращения и площади поверхности вращения с помощью определённого интеграла.
13. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
14. Несобственные интегралы от разрывной функции.
15. Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем цилиндрического тела, площадь поверхности вращения.
16. Механические приложения двойного интеграла: масса, координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции плоских неоднородных тел.
17. Криволинейные интегралы первого рода. Основные свойства. Способы вычисления.
18. Криволинейные интегралы второго рода. Основные свойства. Способы вычисления.
19. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина.
Раздел 4. Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши. Геометрический смысл.
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Метод Бернулли.
5. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения.
7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения.
8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.