Коефіцієнт еластичності

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Для характеристики впливу регресора Х на залежну змінну Y в моделі використовують коефіцієнт еластичності K_E. Припустимо, що величина y залежить від х і ця залежність описана функцією . Приріст незалежної змінної визначає відповідну зміну залежної змінної – _. З погляду економічних досліджень важливим є питання, як вимірювати вплив зміни одного фактора на інший. Як відомо, одним із показників реагування y на зміну x служить похідна

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу. Однак в економіці цей показник незручний у використанні, оскільки він залежить від вибору одиниць виміру. Наприклад, якщо розглядати функцію попиту S на певний продукт від його ціни Р, вимірюваної в гривнях, то можна побачити, що значення похідної

за кожної ціни залежить від того, в яких одиницях вимірюють попит на цей продукт: у кілограмах, центнерах, тоннах тощо. Відповідно значення похідної будуть вимірюватися в кілограмах на гривню, центнерах на гривню або тоннах на гривню, отже, за одного й того ж значення ціни похідні будуть різними. Тому в загальному випадку для виміру чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці вивчають зв’язок не абсолютних змін х та y ( ), а їх відносних чи процентних змін.

Визначення. Коефіцієнт еластичності – межа відношення зміни однієї ознаки в процентах до зміни іншої на 1%:

.

Коефіцієнт еластичності характеризує відносну зміну залежної змінної за зміни пояснювальної змінної на 1%. У загальному випадку буде неперервною функцією від . Наприклад, якщо залежність попиту y від доходу x визначена функцією , то можна визначити таким чином:

.

Таким чином, коефіцієнт еластичності в цьому випадку є сталою величиною.

Якщо залежність y від x визначена лінійною функцією , матимемо

.

Тобто в цьому випадку є функцією від х.

Приклад виконання розрахунків

Потрібно дослідити залежність обсягів реалізації продукції Y підприємства від його кредиторської заборгованості X протягом року на основі даних його фінансової звітності (табл. 5).

Таблиця 5

У ході роботи необхідно:

1) визначити вид зв’язку між заданими показниками;

2) розрахувати оцінки параметрів за допомогою МНК;

3) виконати аналіз якості побудованої моделі та оцінок її параметрів;

4) розрахувати прогнозне значення залежної змінної та довірчі інтервали прогнозу;

5) визначити коефіцієнт еластичності.

Розв’язування

1. Специфікація моделі

У цьому прикладі слід розглянути зв’язок між двома показниками – обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю підприємства, отже, маємо парну регресію. Позначимо залежну величину – обсяг реалізації продукції – буквою y, а незалежну величину– кредиторську заборгованість –
через х. Залежність між наведеними показниками зобразимо графічно у вигляді точкового графіку (рис. 5). Очевидно, що в цьому випадку зв’язок між розглядуваними показниками близький до лінійного. Емпіричне рівняння матиме вигляд

.

Рис. 5. Точковий графік залежності між змінними

2. Визначення параметрів вибраного рівняння

Розрахуємо значення коефіцієнтів за формулами

, .

Для виконання потрібних обчислень слід поетапно розрахувати величини , , для кожного спостереження а також .

Обчислимо

=0,7542,

= 0,7858.

Розрахунки значень інших величин подано в табл. 6. На основі встановлених значень одержимо

, .

Отже, емпіричне лінійне рівняння парної регресії (економетрична модель залежності між обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю) за визначеними має вигляд .

Таблиця 6

Номер спосте-реження
1	0,42	0,54	-0,33	-0,25	0,11	0,08	0,18
2	0,37	0,47	-0,38	-0,32	0,15	0,12	0,14
3	0,66	0,65	-0,09	-0,14	0,01	0,01	0,44
4	0,71	0,83	-0,04	0,04	0,00	0,00	0,50
5	0,83	0,76	0,08	-0,03	0,01	0,00	0,69
6	0,57	0,5	-0,18	-0,29	0,03	0,05	0,32
7	0,69	0,72	-0,06	-0,07	0,00	0,00	0,48
8	0,75	0,84	0,00	0,05	0,00	0,00	0,56
9	0,88	0,93	0,13	0,14	0,02	0,02	0,77
10	0,99	1,11	0,24	0,32	0,06	0,08	0,98
11	1,01	0,94	0,26	0,15	0,07	0,04	1,02
12	1,17	1,14	0,42	0,35	0,17	0,15	1,37
	9,05	9,43	0,00	0,00	0,62	0,55	7,45

3. Аналіз якості моделі

3.1. Перевірка загальної якості рівняння регресії

Загальну якість рівняння регресії оцінюють, визначаючи коефіцієнт детермінації за формулою

або .

Обчислимо значення , відповідні значення (розрахуємо їх як ), суми , , . Усі результати занесемо в табл. 7. На основі цих даних матимемо:

Відомо, що дозволяє визначити, наскільки добре емпіричне рівняння регресії узгоджується зі статистичними даними, тобто наскільки реальні значення відхиляються від побудованої лінії регресії. Для розглядуваного прикладу з рис. 5 можна побачити, що точки, відповідні реальним спостереженням, розташовані дуже близько від лінії регресії, отже, отриманий результат є цілком закономірний. Зробимо висновок: на 89% зміна обсягів реалізації продукції визначена зміною кредиторської заборгованості підприємства і лише на 11% такі зміни пов’язані з іншими (не врахованими в даній економетричній моделі) факторами.

Таблиця 7

Номер спостереження
1	0,4910	-0,2948	0,0869	0,0490	0,0024	-0,2458	0,0604
2	0,4469	-0,3390	0,1149	0,0231	0,0005	-0,3158	0,0998
3	0,7027	-0,0831	0,0069	-0,0527	0,0028	-0,1358	0,0185
4	0,7469	-0,0390	0,0015	0,0831	0,0069	0,0442	0,0020
5	0,8527	0,0669	0,0045	-0,0927	0,0086	-0,0258	0,0007
6	0,6233	-0,1625	0,0264	-0,1233	0,0152	-0,2858	0,0817
7	0,7292	-0,0566	0,0032	-0,0092	0,0001	-0,0658	0,0043
8	0,7822	-0,0037	0,0000	0,0578	0,0033	0,0542	0,0029
9	0,8969	0,1110	0,0123	0,0331	0,0011	0,1442	0,0208
10	0,9939	0,2081	0,0433	0,1161	0,0135	0,3242	0,1051
11	1,0116	0,2257	0,0510	-0,0716	0,0051	0,1542	0,0238
12	1,1527	0,3669	0,1346	-0,0127	0,0002	0,3542	0,1254
	9,4300	0,0000	0,4856	0,0000	0,0597	0,0000	0,5453

Оскільки , обчислимо значення парного коефіцієнта кореляції та перевіримо його статистичну значущість. Матимемо . Коефіцієнт кореляції є додатний, оскільки маємо пряму залежність між змінними х та у, що видно з рис.5.

Для перевірки статистичної значущості r виберемо статистичний критерій . Обчислене значення порівняємо з табличним значенням, вибраним за заданим рівнем значущості a і степенями вільності , на основі чого зробимо висновок стосовно прийняття гіпотези про значущість (незначущість) коефіцієнта кореляції:

.

Якщо a = 0,05, , то табличне значення

= 2,228; .

Оскільки , приймемо гіпотезу про статистичну значущість розрахованого для розглядуваного прикладу коефіцієнта кореляції.

Загалом проведений аналіз якості побудованої лінії регресії дає підстави вважати дану модель якісною, а тому її можна застосовувати для подальших досліджень.

3.2. Перевірка статистичної значущості оцінок параметрів економетричної моделі

Для перевірки нульової гіпотези за альтернативної гіпотези виберемо як статистичний критерій випадкову величину

( ).

Для розрахунку та застосуємо формули

, .

Обчислимо :

0,0773 × 0,99763 0,0771.

Визначимо :

0,0773 × 1,2662 0,09786.

Тепер обчислимо спостережене значення вибраного статистичного критерію для кожного коефіцієнта:

1,56 , 9,016.

Як відомо, розраховані t-статистики мають розподіл Стьюдента (t-розподіл) із степенями вільності.

За вибраного рівня значущості та кількості степенів вільності матимемо таке:

= 2,228, .

Нагадаємо, що коли , слід прийняти гіпотезу про те, що , і, навпаки, ( ), якщо . Тобто область прийняття гіпотези, за якою , визначена інтервалом

Отже, матимемо

1,56 .

Таким чином, для оцінки параметра приймемо гіпотезу .

Статистична незначущість коефіцієнта вказує на те, що всі інші фактори, не враховані в розглядуваній регресійній моделі, не роблять значного впливу на залежну змінну.

Аналогічно перевіримо статистичну значущість параметра :

9,016 .

Як бачимо, оцінка параметра є статистично значуща, що свідчить про істотний вплив на залежну змінну вибраної незалежної.

Отже, на цьому етапі аналізу побудованої економетричної моделі (перевірка статистичної значущості оцінок параметрів ) можна визначити модель як якісну, оскільки статистично значуща оцінка параметра вказує на значний вплив вибраного фактора на залежну змінну, тоді як усі інші невраховані фактори (статистично незначуща оцінка параметра ) не впливають істотно на зміну значень y.

3.3. Визначення довірчих інтервалів для оцінок параметрів економетричної моделі

Довірчі інтервали обчислимо за такими формулами:

- для :

- для : ,

де визначимо за допомогою таблиці за заданою надійністю g = 1-a і кількістю степенів вільності .

Виберемо рівень надійності та, враховуючи, що кількість степенів вільності дорівнює = 12 – 2 = 10, отримаємо = 2,228. Отже, довірчі інтервали для оцінок параметрів визначені такими межами:

,

аналогічно для матимемо

,

,

.

4. Прогнозування значень залежної змінної

Здійснимо прогноз обсягів реалізації продукції на наступний період часу залежно від кредиторської заборгованості, яка в січні наступного року запланована на рівні 1,25 млн. грн. Скористаємося визначеною залежністю між зазначеними показниками:

.

Найбільш грубою оцінкою такого прогнозу буде визначення однієї точки для значення (точковий прогноз):

Зобразимо прогнозовані результати поряд із реальними значеннями спостережень (рис.6).