1 / 3 1 2 3

Методические указания к выполнению контрольной работы № 5 для студентов – заочников инженерно – технических специальностей

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Архангельский государственный технический университет

АТОМНАЯ ФИЗИКА

Методические указания
к выполнению контрольной работы № 5
для студентов – заочников
инженерно – технических специальностей

Архангельск

2007

Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией
факультета промышленной энергетики
Архангельского государственного технического университета
29 ноября 2006 года

Составитель:
А.И. Аникин, доц., канд. техн. наук

Рецензент

А.В. Соловьев, доц., канд. техн. наук

УДК 539.1

Аникин А.И. Атомная физика: Методические указания к выполнению контрольной работы № 5 для студентов-заочников инженерно-технических специальностей. – Архангельск: Изд-во АГТУ, 2007. – 38 с.

Подготовлены кафедрой физики АГТУ.

В методических указаниях приведены основные формулы по атомной физике, примеры решения задач, варианты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал.

Предназначены для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.

Ил. 5. Табл. 8. Библиогр. 5 назв.

технический университет, 2007

ВВЕДЕНИЕ

Контрольные работы по физике предусматривают решение задач и помогают закрепить усвоение теоретической части курса. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольной работы, следует разобрать помещенные в настоящем пособии примеры решения задач с подробными пояснениями, а также самостоятельно решить ряд задач из задачников по физике.

При решении задач следует руководствоваться такими правилами.

1. Внимательно прочитать условие задачи, уяснить, какой физический процесс или явление в ней рассматриваются.

2. Записать условие задачи в сокращенном виде, применяя обще-принятые обозначения физических величин. При решении задач следует пользоваться Международной системой единиц (СИ). Все числовые величины должны быть приведены к этой системе. Следует проанализировать, все ли данные, необходимые для решения задачи, приведены в условии. Недостающие данные надо взять из справочных таблиц. Необходимо записывать также и те величины, числовые значения которых не задаются, но о них можно судить по условию задачи. Например, если тело начинает двигаться из состояния покоя, то следует записать, что начальная скорость
υ₀ = 0, если в задаче сказано, что какой-то величиной x можно пренебречь, обязательно следует записать, что x = 0 и т. д.

3. Задачу следует обязательно пояснять чертежом или рисунком (если это возможно), выполняя их аккуратно с помощью чертежных принадлежностей. Обозначения на чертеже и в решении должны быть одинаковыми. Не следует обозначать одну и ту же величину разными буквами, а также обозначать различные величины одними и теми же символами.

4. Решение задачи должно сопровождаться пояснениями. В пояснениях необходимо указывать те основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи.

5. Как правило, задача по физике решается сначала в общем виде, то есть выводится формула, в которой искомая величина выражена через ве-личины, заданные в условии задачи. При таком решении не происходит накопления погрешностей, неизбежных при промежуточных расчетах.

6. Получив решение в общем виде, сделать анализ его размерности. Для этого подставить в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц измерений, провести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине.

7. Произвести вычисления путем подстановки заданных числовых величин в расчетную формулу. Все вычисления рекомендуется выполнять с помощью микрокалькулятора. При вычислениях соблюдать правила приближенных вычислений и округлений.

8. Оценить правдоподобность ответа. Такая оценка в ряде случаев позволяет обнаружить ошибочность ответа.

9. Ответ должен быть записан с определенной степенью точности, соответствующей точности исходных данных.

ОСНОВЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1. Обобщенная формула Бальмера для атома водорода

где – частота излучения, соответствующая переходу электрона с одной стационарной орбиты на другую; R – постоянная Ридберга; с – скорость распространения света в вакууме.

В этой формуле k = 1 для серии Лаймана, k = 2 для серии Бальмера,
k = 3 для серии Пашена, k = 4 для серии Брэкета и т.д. При заданном k число n может принимать все целочисленные значения, начиная с k + 1.

2. Частота излучения водородоподобных ионов, состоящих из ядра и одного электрона:

где z – порядковый номер элемента в таблицах Менделеева.

3. Энергия ионизации атома водорода (водородоподобного иона) – минимальная энергия, которую необходимо затратить, чтобы удалить электрон из атома (водородоподобного иона) в бесконечность.

4. Первый постулат Бора

(n = 1, 2, 3, …) ,

где m – масса электрона; – скорость электрона на п – й орбите; – радиус n – й стационарной орбиты; n – главное квантовое число; h – постоянная Планка.

5. Второй постулат Бора

где – частота излучения, соответствующая переходу атома из одного стационарного состояния в другое; – значения энергии стационарных состояний атома.

6. Соотношение де Бройля, определяющее длину волны микрочастицы, движущейся со скоростью :

или ,

где h – постоянная Планка, p – импульс микрочастицы; –релятивистская масса частицы; m₀ – масса покоя частицы; с – скорость света в вакууме.

Если υ<<c, то допустимо принимать m = m₀, тогда
.

7. Связь импульса p с кинетической энергией микрочастицы:

кинетическая энергия частицы меньше ее энергии покоя –

;

кинетическая энергия частицы соизмерима или больше энергии покоя –

где Е₀ = m₀c² – энергия покоя микрочастицы.

8. Полная энергия микрочастицы

где – частота волны де Бройля.

9. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координат и импульса

ħ; ħ; ħ ,

где Δx, Δy, Δz – неопределенности координат; , , – неопределенности проекций импульса на оси x, y, z; ħ – постоянная Планка h , деленная на 2 .

10.Соотношение неопределенностей для энергии E и времени t

ħ,

где ΔЕ – неопределенность энергии; Δt – интервал времени.

11.Уравнение Шредингера для стационарных состояний, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени:

где – волновая функция, зависящая только от координат x, y, z; m – масса микрочастицы; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в единичном объеме (плотность вероятности)

где – плотность вероятности; dW – вероятность нахождения микрочастицы в элементе объема .

Уравнение Шредингера для микрочастицы, находящейся в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l c бесконечно высокими «стенками», имеет следующее решение:

где – нормирующий множитель; n – квантовое число.

Частица, находящаяся в «потенциальной яме», может иметь только квантованные значения энергии

12.Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сферических координатах

Пример 1. Определить длину волны, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера.

Дано: k = 2 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n = 5 – номер орбиты, с которой перешел электрон; .

Найти: .

Решение. Третья спектральная линия в серии Бальмера соответствует переходу электрона с пятой орбиты на вторую. Частота излучения , возникающего при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую (рис.1), определяется обобщенной формулой Бальмера для водорода

где R – постоянная Ридберга; c – скорость распространения света в вакууме.

Так как , то, делая подстановку, получим

Выполним анализ размерности полученного выражения

Анализ размерности показывает, что полученная единица является единицей длины.

Подставим числовые значения и

выполним вычисления Рис. 1

нм.

Ответ: нм.

Пример 2. Энергия возбужденного атома водорода 0,85 эВ. Вычислить длину волны де Бройля для электрона в этом состоянии атома.

Дано: Дж; кг; .

Найти: .

Решение. Электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. В соответствии со вторым законом Ньютона

где e – элементарный заряд; r – радиус орбиты электрона; υ – скорость движения электрона по орбите; m – масса покоя электрона; – электрическая постоянная.

_____________________

* Электрон-вольт – внесистемная единица измерения энергии и работы;

Кинетическая энергия электрона

Потенциальная энергия отрицательно заряженного электрона в поле положительно заряженного ядра является отрицательной и равна

где – кинетическая энергия.

Полная механическая энергия электрона определяется выражением

Таким образом, . Так как кинетическая энергия электрона во много раз меньше его энергии покоя , то можем использовать уравнение классической механики, определяющее связь импульса p с кинетической энергией

Найдем длину волны де Бройля

где h – постоянная Планка.

Выполним проверку размерности

Полученная единица измерения соответствует искомой величине.

Подставив числовые значения, получим

Ответ:

Пример 3. Электрон обладает кинетической энергией МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?

Дано: МэВ = 1,63 Дж; МэВ =
= 8,16 Дж; кг; м/с.

Найти: .

Решение. Длина волны де Бройля для микрочастицы определяется по формуле

где h – постоянная Планка; p – импульс микрочастицы.

Пусть р₁ – импульс электрона в начальном состоянии, р₂ – импульс электрона в конечном состоянии. Тогда

, , а .

Найдем энергию покоя электрона

где m₀ – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме.

Так как кинетическая энергия соизмерима с энергией покоя электрона, то при решении задачи необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае связь импульса с кинетической энергией частицы определяется формулой

Импульсы электрона в начальном и конечном состояниях равны соответственно

и .

Вычисления показали, что практически . Учитывая это, найдем отношение длин волн де Бройля

Анализ размерности полученного выражения показывает, что отношение величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.

Выполним вычисления

Ответ: .

Пример 4. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальную энергию электрона , находящегося в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 5 .

Дано: м; ; кг.

Найти: .

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса в случае одномерной задачи позволяет оценить неопределенность импульса электрона

, (1)

где неопределенность импульса; неопределенность координаты; постоянная Планка h, деленная на 2 .

Так как ширина «потенциальной ямы» равна l, и электрон находится в этой «яме», то неопределенность его координаты равна (рис. 2). Потенциальная энергия электрона внутри «ямы» равна нулю, следовательно, его полная механическая энергия Е равна кинетической . За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», .

Связь импульса p с кинетической энергией электрона для нерелятивистского случая имеет вид (учитываем, что по условию задачи )

где m₀ – масса покоя электрона.

Выразим полную энергию Е в виде

Из этого уравнения видно, что энергия электрона тем меньше, чем меньше его импульс. Неопределенность значения импульса равна . Минимальное значение импульса электрона должно быть не меньше , то есть . Учитывая это, можем записать

Сделав подстановку из уравнения (1) с учетом того, что , придем к уравнению

Следовательно, минимальная энергия электрона

Анализ размерности убеждает, что ответ правдоподобен, так как энергия действительно измеряется в джоулях:

Подставим числовые значения в конечную формулу и выполним вычисления (оцениваем лишь порядок вычисляемой величины)

Ответ: .

Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с непроницаемыми «стенками». Ширина «ямы» l = 37,8 эВ. Определить, на каком энергетическом уровне находится электрон. Чему равна плотность вероятности обнаружения электрона в середине «ямы»?

Дано: ; ; ; .

Найти: n; w.

Решение: Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний. Для рассматриваемой одномерной задачи это уравнение имеет вид

где координатная часть волновой функции, зависящая только от x; Е – полная энергия электрона; U – потенциальная энергия электрона; постоянная Планка h, деленная на 2π.

Электрон находится в «яме», где его потенциальная энергия
(рис. 3). За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», . Электрон не может проникнуть за пределы «ямы», поэтому вероятность его обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности волновой функции следует, что должна быть равна нулю и на границах «ямы»:

В пределах «ямы» уравнение Шредингера имеет вид

. (1)

Это уравнение, описывающее дви-жение электрона в одномерной «потенциальной яме», удовлетворяется при ди-скретных значениях энергии электрона

где n – квантовые числа, определяющие энергетические уровни электрона.

Выразим из этой формулы n:

Анализ размерности правой части полученного выражения показывает, что n – величина безразмерная, и это соответствует действительности.

После подстановки числовых значений, данных в условии задачи, получим

Решение дифференциального уравнения (1) для рассматриваемой задачи имеет вид

Коэффициент А находим из условия нормировки

В результате интегрирования получаем , следовательно:

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях x от стенок «ямы» для рассматриваемой задачи равна

Выполним анализ размерности (выражение под знаком sin безразмерное):

Полученная единица соответствует искомой величине.

Вычислим значение w при n = 2 для
x = l/2:

Такой результат означает, что в состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине «ямы». Зависимость плотности вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от стенок «ямы» приведена на рис. 4.

Ответ: n = 2; w = 0.

Пример 5. Пси-функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние частицы от силового центра, 0 м – константа. Найти значение коэффициента А и наиболее вероятное расстояние r_вер частицы от центра.

Дано: ; а = 1,0 м.

Найти: А; r_вер.

Решение. Движение микрочастицы в центральном силовом поле (например, движение электрона в поле положительно заряженного ядра) описывается уравнением Шредингера в сферических координатах. По условию задачи функция зависит только от r и не зависит от углов и . В этом случае уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид

где r – расстояние микрочастицы от силового центра; m₀ – масса покоя микрочастицы; – постоянная Планка h , деленная на 2 ; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.

Перепишем уравнение Шредингера, выполнив дифференцирование в первом слагаемом:

Решение этого дифференциального уравнения по условию задачи имеет вид

Коэффициент А найдем из условия нормировки пси-функции, которое для рассматриваемой задачи запишем в виде

где dV - элемент объема в сферических координатах .

Интеграл в полученном выражении равен (табл. 6 приложения), следовательно:

и .

Выполним анализ размерности полученного выражения

Анализ размерности подтверждает правдоподобность ответа. Действительно, квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности обнаружения микрочастицы

где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема .

Так как размерность , то размерность .

Выполним вычисления

Вероятность нахождения микрочастицы на расстоянии между r и r+dr от силового центра в любом направлении определяется формулой

Следовательно, плотность вероятности

Из формулы видно, что плотность вероятности обращается в нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при . Наиболее вероятное расстояние r_вер частицы от силового центра найдем из условия, что при r = r_вер плотность вероятности должна быть максимальна. Для этого исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную и приравняем ее к нулю

; .

Это равенство выполняется при r = 0; ; r = a. Первые два решения соответствуют минимумам функции . Следовательно, наиболее вероятное расстояние микрочастицы от силового центра .

Ответ: ; r_вер = 1,0 .

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К

где dn_E – количество свободных электронов в единице объема металла (концентрация электронов), энергии которых заключены в пределах от Е до E + dE; m₀ – масса покоя электрона.

2. Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

где n – концентрация электронов проводимости в металле.

3. Температура вырождения (температура Ферми)

где энергия Ферми при Т = 0 К; k – постоянная Больцмана.

Температурой вырождения Т _F называют температуру, ниже которой проявляются квантовые свойства электронного газа. Если T >> , то поведение системы частиц подчиняется классической статистике.

4. Температурная зависимость удельной электрической проводимости собственных полупроводников

где множитель, мало изменяющийся с изменением температуры; ширина запрещенной зоны.

Пример 7. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n₁ и цезии n₂ , если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны и

Дано: ; .

Найти: n₁/n₂.

Решение. Уровень Ферми при абсолютном нуле определяется выражением

где постоянная Планка h, деленная на 2π ; масса покоя электрона; количество свободных электронов в единице объема металла.

Используя эту формулу, запишем соотношения, определяющие концентрации n₁ и n₂ свободных электронов в литии и цезии:

; .

Выполним анализ размерности

Полученный результат соответствует действительности.

Найдем отношение концентраций свободных электронов

Подставим в это выражение числовые значения и выполним вычисления

Ответ:

Пример 8. Найти относительное количество ΔN/N свободных электронов в металле, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на η = 2,0%. Температура металла Т = 0 К.

Дано: Т = 0 К; η = 0,02 (2,0%).

Найти: ∆N/N.

Решение. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К имеет вид

где d n_E – концентрация свободных электронов, энергии которых заключены в пределах от Е до Е + dE; m₀ – масса покоя электрона; ħ – постоянная Планка h, деленная на 2π.

Концентрацию свободных электронов в металле найдем путем интегрирования