Геометрический смысл определенного интеграла
План работы:
1. Прочитать теорию.
2. Выписать правила в практическую тетрадь.
3. Выписать в практическую тетрадь решенные примеры.
4. Решить самостоятельно примеры проверочной работы (Чертеж обязательно!!!).
Криволинейной трапецией называют фигуру,
ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке  функции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.
Теорема . Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда, если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок, то S=F(b)-F(a).
|
Криволинейная трапеция
Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:
Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке .
|
Вычисление площадей плоских фигур
| S |
| a |
| b |
| x |
| 0 |
|
Рис..1
|
| y |
1) Если функция 
и непрерывна на отрезке 
, то согласно геометрического смысла определенного интеграла площадь S под кривой 
численно равна определенному интегралу
, 
. (1)
| Рис..2 |
| a |
| b |
| x |
| 0 |
| y |
|
| S |
|
2) Если функция 
и непрерывна на отрезке 
, то отображая ее график относительно оси абсцисc, получим кривую, которая имеет уравнение 
. Последняя функция уже неотрицательна на 
, а площадь под этой кривой на 
, из условия симметрии графиков, равна искомой площади S под кривой 
на 
. Тогда имеем
| y |
| b |
| c |
| a |
|
|
| x |
| Рис. 3 |
| 0 |
| d |
|
, 
. (2)
3) Если функция 
на отрезке 
непрерывна и принимает как положительные
так и отрицательные значения, например, на
и 
, а на 
, то глядя,
на рассмотренные случаи 1) и 2), имеем
. (3)
4) Если на отрезке 
заданы две непрерывные функции 
и 
такие, что 
, тогда площадь S фигуры, ограниченной этими кривыми на отрезке 
, вычисляется по формуле
. (4)
Возможны несколько случав размещения кривых на отрезке 
. Для всех изображенных случаев размещения кривых 
и 
имеет место формула
|
|
|
| a |
| b |
| x |
| y |
| 0 |
| Рис..4 |
| y |
| a |
| b |
| x |
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| y |
| a |
| b |
| x |
| 0 |
Задачи на вычисление площадей плоских фигур
| Задачи на вычисление площадей плоских фигур решают по следующему плану: 1. Делают схематический чертёж по условию задачи. 2. Составляют формулу для вычисления площади полученной фигуры и находят пределы интегрирования из условия задачи. 3. Вычисляют площадь фигуры по составленной формуле. |
Задание 1: Найти площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями: 
Решение
Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c).
Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.
Вершина параболы находится в точке O′(m; n), где
Значит О′(2; 4 вершина параболы.).
Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:
4х-х²=0.
х(4-х)=0.
Отсюда, х=0 или х=4.
Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).
2) y=0 — это ось Ох;
3) х=0 — это ось Оy;
4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.
Площадь построенной криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница.
У нас
f (x)=4x-x²,a=0, b=4.
Следовательно, искомая площадь равна
