Применение диакоптики к расчету нелинейных электрических це­пей переменного тока с учетом высших гармоник

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 15

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

§ П10.1. Основные положения метода. Напомним, что под диакоптикой понимают расчет сложных схем по частям с последующим согласованием решений и получением решения для схемы в целом. Методы применения диакоптики для расчета сложных раз­ветвленных нелинейных цепей постоянного тока были изложены в § 13.15. Здесь приме­ним ее к расчету цепей переменного тока с учетом высших гармоник.

На рис. П10.1, а изображена обобщенная электрическая цепь, состоящая из линейной и нелинейной частей. Линейная часть представлена линейным пассивным четырехполюс­ником, содержащим элементы с сосредоточенными или распределенными параметрами {или и с теми, и с другими), нелинейная часть — нелинейным, либо резистивным, либо индуктивным, либо емкостным элементом с симметричной, соответственно, вольт-ампер­ной, всбер-амперной или кулон-вольтной характеристикой. На входе четырехполюсника (зажимы тп) действует синусоидальная ЭДС е(/), на выходе нелинейный элемент.

Нелинейная и линейная части схемы соединены в точках с и d. Напряжение u_cJ и ток /₂ являются общими для обеих частей схемы. В напряжении и в токе в установившемся режиме содержатся в общем случае первая и высшие гармоники. Так как ЭДС на входе схемы не содержит высших гармоник, то для любой высшей (А) гармоники {к * 1) схема замещения может быть представлена (см. рис. П 10.1, о) в виде последовательного соеди­нения нелинейного элемента, комплексную амплитуду напряжения А-гармоники на кото­ром обозначим t/_2i, атока /₂*, и входного сопротивления Z_nk на А-й гармонике линей­ного четырехполюсника по отношению к зажимам cd при коротком замыкании на зажи­мах тп (рис. П10.1, б). Сумма падений напряжений по контуру равна нулю:

+/2, = 0. (П10.1)

Из уравнения (П10.1) следуют два основных соотношения, положенных в основу со­гласования решений для линейной и нелинейной частей по высшим гармоникам:

1) модули напряжений U_2k ^и 4* ^л* для любой А*1 гармоники должны быть равны;

2) аргументы этих комплексов должны отличаться на ±180 .

§ ПЮ.2. Вывод расчетных формул связи гармоник напряжений и токов разных частот с углом у₃, Идею метода поясним на примере расчета цепи (см. рис. П 10.1, а) с учетом первой и третьей гармоник, взяв в качестве нелинейного элемента резистор с сим­метричной вольт-амперной характеристикой (рис. П 10.1, в), описываемой гиперболичес­ким синусом

z = ashPu. (ПЮ.2)

Будем считать известными для четырехполюсника его А-маггрицу по первой гармони-

нейшем будут иметь по два или по три индекса. Первый слева индекс (цифры 1 или 2) будет свидетельствовать: ко входу (I) или к выходу (2) четырехполюсника относится эта величина. Второй по порядку индекс: если равен I, то соответствует 1 гармонике, а если 3 — третьей. Третий индекс: если 5, то речь идет о синусоидальной компоненте, а если С— косинусоидальной. Для сокращения записи (уменьшения числа индексов) индекс ам­плитуды т ставить не будем.

Напряжение на выходе четырехполюсника обозначим и₂ и примем его равным

«2 = Un sin cor + U₂3 sin(3cor + у₃).

Здесь {/_2| — амплитуда первой, a U₂₂ — третьей гармоники.

Подставим (П10.3) в (П10.2) и, воспользовавшись формулами § 15.16, запишем ток /₂ на выходе четырехполюсника через бесселевы функции от мнимых аргументов jx = j^U_2i и yy = JpC/23-

‘2 ~ ^21Х sin<01 + /₂|С COSO)/ + /₂J5 sin 3(0/ + /_2Jt- cos 3 со/. (П10.4)

Индекс 215 свидетельствует (читая с конца), что это амплитуда, соответственно, си­нусной компоненты первой гармоники тока на выходе четырехполюсника. Амплитуды токов равны

Комплексная амплитуда первой гармоники тока /₂ (см. рис. П10.1, г)

1₂1 = 2 a а 71 + + 2 f_x cosy₃:;

b sin Уз Л sin уз

V) = arctg—_L -■ ³ = arctg—
a + ocosy₃ a + /| cosy₃

Здесь

f -_^b = <~J hU J x>
a ^o(;»(-jJ|(yx))'

Комплексная амплитуда третьей гармоники тока i₂ (см. рис. П10.1, d);

/₂₃ = /₂₃ е⁷

, _ _ sin уз + A sin2y_s

/₂₃ = 2 а с F₄ ■ v₃ = arctg------------------------------------------ -³-.-J .----------------------- .

cos Уз -/} + /₂ cos2y₃

f .

² c (-j y))J₀(j x)’

f - ^d -

³ C Jq(jx)(-j J_}(j y)'

Таблица П10.1

Функция

F₄ = 7(^C0StPj ~/3 + Л cos2y₃)² + (sin\p₃ + /₂ sin2ц/₃)² =
= tfl + Z? ⁺/з ⁺²Л cosvp₃ -2/₃ (cos^j +/₂ cos2v₃).

Значения функций /₂, /₃ для ряда значений х и у представлены в табл. ПЮ.1.

Рассмотрим соотношения в схеме рис. П10.1, а. полагая величины х = 0(/₂| и у = 01/₂₃ известными. Для схемы замещения по третьей гармонике {рис. П10.1, а) соста­вим уравнение по второму закону Кирхгофа:

^23 ⁺2_лз /₂з ~0-

Здесь 2_л3 = В₃ / А₃ = х_л3 е^?ч>л'— входное сопротивление четырехполюсника по тре­тьей гармонике по отношению к зажимам cd при коротком замыкании на зажимах тп\ В₃

Уравнение (П10.13) свидетельствует, что нелинейный резистор преобразует часть энер­гии, получаемой им от источника ЭДС на входе схемы на частоте о, в энергию на часто­те 3 со, восполняя потери энергии на частоте 3 © в линейном сопротивлении 2_л3 и создавая реактивную мощность на третьей гармонике в цепи, влияя при этом на модуль и аргумент первой гармоники тока и напряжения на входе четырехполюсника.

§ ШО-3. Определение угла цг₃ при резистивном нелинейном элементе ня выхо­де четырехполюсника. Составим уравнение для мгновенных значений тока и напряже­ний по второму закону Кирхгофа для контура третьей гармоники рис. П 10.1, а, эквивалент­ное уравнению (П10.13) для комплексных величие, сначала для сопротивления

Z„₃ = R₃ - . а затем для Z ₃ = R₃ + /3 w L, используя формулы (П10.4)-(П10.6),

3 и С

(П10.9НП10.12).

Продифференцируем уравнение (П10.9) по времени и поделим полученное выраже­ние на Зш:

U23 (cosЗин cos\y₃ -sin3w/ sinц/₃) + Я₃(/₂₃₅ co$3w/ + /_23Г cos3©r) +

(П10.14)

Приравняем нулю сначала синусные, а затем косинусные компоненты этого уравне­ния и изменим у них знаки на противоположные:

*з бзе ~у— у /23S =“^2з s«n ц/₃; - /?₃ /₂з$’•у—7/₂зг =^23 со$у₃.

3 © С Зое

Рис. П10.2

Возведем эти два уравнение в квадрат и сложим:

Учтем, что /_23С ⁺ = (2ас)² F% (см. формулу (П10.12)). Получим (2 а с)² (1+Л²+/з²+2/₂ cosVj-2/з (cos4/₃ + /₂ cos2v₃)).(ni0.15)

Проделав аналогичные выкладки для Z_n3 = /?₃ + j 3<о L, получим

(У₂₃ =(/?₃² +(3o>L)²)(2ac)² (1 + /₂² + /з² + 2 /₂ cosy₃ -2/₃ (cosy₃ + /₂ cos2y₃)). (П10.16)

Формулы (П10.15) и (П10.16) тождественны, они позволяют определить угол v₃, полагая, что значения R-,, —-—, 3w£, а, 0, х. у известны.

ЗшС

Так как косинус функция четкая, то каждое из уравнений имеет формально по два решения (±4/3), но удовлетворять физике процесса при емкостном характере 7_й3 будет Уз <0, а при индуктивном характере Z_n3 у₃ >0.

На рис. П10.2, а и б качественно представлены векторные диаграммы по третьей гармонике при резистивном нелинейном элементе на выходе четырехполюсника: на рис. ПЮ.2, а при емкостном характере Z_t3, а на рис. П 10.2, б при индуктивном. На диаграммах показаны векторы U₂₃, U_ni, /₂₃, углы у₃, v₃, ф_л3 и знаки этих углов.

Составим теперь уравнения, подобные уравнениям (П10.15) и (П10.16), когда вместо нелинейного резистора на выходе четырехполюсника будет нелинейная индуктивность.

§ П10.4. Определение угля у₃ при нелинейной индуктивности на выходе четы­рехполюсника. Положим, что зависимость магнитного поля Н в ферромагнитном сердеч­нике от магнитной индукции 8 описана формулой Н =а_} sh 0] В. В индукции учтем пер­вую и третью гармоники В = В_{ sin со / + В₃ sin(3w/ + ц/₃). Площадь поперечного сечения магнитопровода обозначим 5. длину средней магнитной линии — /, число витков катуш­ки — tv. Обозначим Х| = 0, и у, = 0_t В₃. Тогда напряжение на выходе четырехполюс­ника

со tv S 3 со 5v S .и, ,

и₂ = — ------ *| COSCO/ + —-------------------- у, cos(3 (О I + у₃),

а ток

2 у

i₂ =------- — («а + 6 cosy_}) sin о/ - 6sin у₃ cos<o/) +

w

w

Формула для тока (П 10.18) тождественна формуле для тока (П10.4) в случае нелиней­ного резистора, если в последней а заменить на ^^а' Формулы для (П10.5), (П10.7), IV

Рис. П10.3

(ПЮ.9) тоже будут применимы, формулы для функций /₂, Уз» останутся без из­менений. Различие будет в том. что напряжения первой и третьей гармоник будут теперь косинусоидальными, а не синусоидальными функциями времени. Заметим, что угол ф₃ будет теперь в аргументе В₃, а аргументом U₂₃ будет (90’+ф₃).

Проделав выкладки, аналогичные выполненным в § П10.3, получим уравнение

(при Z„ = i-); (П10.19)

3 со С

и уравнение

(при Z_ni - R₃ + ;3со£). (П 10.20)

Как и в случае резистивного нелинейного сопротивления, уравнения (ПЮ. 19) и (П10.20) будут давать по два решения ( +ф₃ и -ц/₃). Теперь углу ф_л3 >0 соответствует ц/₃ >0 и углу ф_л3 <0 соответствует ф₃ <0.

На рис. П10.3, а качественно показано взаимное расположение векторов В₃ = By е^у 6₂₃ = (/₂₃ е^>(9О*^ч'^з). 0_п3, /₂₃ = /₂₃ е⁷’\ углы ф₃>0, v₃<0 при Ф_лз>0» а на рис. ПЮ.З, б — при ф_дз < 0. В обоих случаях выполнено условие U₂₃ = -l₂₃ Z_n3.

При Ф_л3 >0 угол v₃<0 подсчитан по формуле (П 10.9) при ф₃<0, а при Ф_л3<0 угол v₃ < 0 подсчитывается по формуле (П10.9) в зависимости от величины угла ф_л3 при Ф₃ > 0 или при ф₃ < 0.

§ П10.5. Определение утла ф₃ при нелинейном конденсаторе на выходе четы­рехполюсника. Кулон-вольтную характеристику конденсатора опишем формулой иг = а₂ $hp₂<?• Положим, что заряд q = Ci sinco/ + Q₃ sin(3co/ + ф₃). Теперь угол ф₃ представляет собой аргумент третьей гармоники заряда. Обозначим х₂ = 0₂ Q\ ^и Уг = 02 Qj и определим напряжение на выходе четырехполюсника:

и₂ - Uc ~ + ^2ir cosco/ + (7_23s. sin3cof + U_23C cos3co/. (П10.21)

Амплитуды напряжений U₂\s> ^2U'' UiJS' k'₂₃₍- ^в последнем выражении определя­ются так же, как определялись амплитуды токов /₂|.у, /_2И-, /₂₃,?, /_23Г в § П10.2 по фор­мулам (П10.5) и (П10.6) с тем отличием, что а, х и у в этих формулах надо будет заме­нить, соответственно, на а₂, х₂ и у₂. Справедливы будут и формулы (П10.7)-(П10.10), (П10.12). (П10.13), если в них сделать замену а, х и у на а₂. х₂ и у₂ и определять по ним не /₂₁, v_t, /₂₃, v₃, а (7₂₎, у', (А₃, v₃.

Мгновенное значение тока /₂ теперь будет

= co Q_} cosco/ + 3 co cos(3co/ + ф₃) = ~ x₂ cosco/ + — y₂ cos(3co/ + y₃) = 0. 02 02

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы замещения на третьей гармонике при индуктивном характере сопротивления 2_л3 = R₃ +j 3 со L:

(/_23s- sinco/ + t/₂₃f cos3co/ + R₃ cos(3co/ + ф₃)+ £₃— ------------------------------------------------------------------------- y-> cos(3<o/ + ф₃) = 0.

P? J

После небольших преобразований» подобных проделанным в § П 10.3 и П10.4, полу­чим уравнение для определения угла

/ . \2

(2а₂с)²Г₄² = у² (/?²+ (3со Д)²).

X Р2 J

Теперь функция F% оказалась в левой части формулы (П 10.22), а не в правой, как это было в двух предыдущих параграфах (Г₄ по-прежнему определяется формулой (П10.12)). Теперь vj —это аргумент напряжения {/_2J=c/₂₃ анетока /₂₃ = /₂₃e^yv-'.

По-прежнему из двух формально возможных решений

для угла физике процесса будет соответствовать только одно решение (в рассматриваемом случае при <р_я3 > 0 зна­чение Уз < 0).

На рис. П10.4 качественно построена векторная диа­

грамма, на которой изображены векторы амплитуд третьей

гармоники заряда Qyt^³. тока /₂₃ напряжения (У₂₃ = д/д/гз.У +^23С е⁷‘\

направления их отсчета при у_л3 >0, соблюдая условие й₂з=-4/_я3.

§ П10.6. Последовательность расчета цепи с учетом третьей гармоники при из­вестном несинусоидальном напряжении на выходе четырехполюсника. Последователь­ность расчета рассмотрим на примере. Схема четырехполюсника представлена на рис. П10.5, а. В ней R = 1,576 Ом, С = 1,325 мкФ, /?₂ -20 Ом. Частота f = Ю⁴ Гц. Вольт-амперная характеристика резистора описана формулой i - a shpw. коэффициенты а = 0,0122 А, р = 0,4 В’¹.

Решение. Подсчитываем сопротивление конденсатора на частоте первой и третьей гармоник:

—— = 12 Ом и —-— = 4 Ом. со С 3<о С

По формулам § 4.5 находим коэффициенты A-матриц на частоте первой и третьей гар­

моник:

Определяем входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов cd при коротком замыкании зажимов тп:

Z, j = -^- = 1,576 - 4 / = 4.3 е*^{7 68S}’

Полагаем и₂ = 12,5 sin о/ + 2,5 sin(3o/ + у₃).

Определяем х = р12,5 = 5 и у = р-2,5 = 1.

Подсчитываем слагаемые формулы (ПЮ.15).

При х = 5 и у=] из табл. П 10.1 определяем = 2,5² = 6,25; R} +| —~ I = 4,3² = 18,4875.

I 3 co C J

По формуле (П10.6) коэффициент

с = (-У JyU у)} J_O(J х) = 0,56-27,29 = 15,28;

2 а с = 2-0,0122-15,28 = 0,3729; (2ас)² =0,139.

1+/₂² + /₃² + 2 /₂ cosц/₃ -2 /₃ (cosУз + /₂ со$2ф₃) = 1,7375-1,896 cosц/₃ +0,1613 cos2\у₃.

Подставляем числовые значения всех перечисленных величин в уравнение (ПЮ.15):

6,25 = 2,558 (1,7375 -1,896 cos 4» 3 + 0,1613 cos 2 ц/3)

и определяем из него угол ц/₃, задаваясь несколькими его значениями. Путем интерполя­ции получаем ц/₃ =±110°.

Так как Z_ni имеет емкостной характер, то в соответствии с рис. Л 10.2, а аргумент U_2J принимаем равным ц/₃=-110.

Записываем напряжение на выходе четырехполюсника:

и₂ = 12,5 sin со/ + 2,5 stn(co/ -110 ) В.

Определяем модуль и аргумент тока /₂₃ - 1_2У е^‘\ полагая при подсчете в соответ ствии с векторной диаграммой в формулах для угла v₃ и модуля /₂₃, что ц/₃ = +110 :

sin 110°-0,09447 sin 220° ,,_о .

_v - _arclg--------------------------------------------------------- =138,5 ;

cosllO -0,8536-0,09447cos220

J_2i=2acF₄ = 0,3729 V1 + /₂² + /₃² +2/₂ cos! 10° -2/₃(cos110’ + /₂cos220°) = 0,581 А;

/₂₃ = 0.581 е'¹³⁸⁵’ А.

Напряжение на линейном сопротивлении

O_n3 =^za3 /23 =4,Зе'^у68Л° -0,581 е'^|38>5* = 2.5e^y68S’ В.

Определяем комплексную амплитуду тока /₂₍ первой гармоники на выходе четырех­полюсника, имея в виду, что при х= 5 и>= 1 функция j\ = -0,319, а коэффициент а по формуле (П10.6) равен

По формуле (П10.7)

-0,3)9sinJ 10° , о

у. -arcig---------------------------- = -18,5 ;

1 -0,319-cosl 10

/₂₁ = 2 а о J1 + /|² + 2 cos ц/ з = 2 • 0,0122 • 30,69 • 1,149 = 0,8517;

/₂₁ * 0.86 е“'^,м’ А.

Комплексную амплитуду ЭДС на входе четырехполюсника определим по уравнению ч еты рехпо л юсн и ка:

E = A_t (/₂1 ⁺⁵i Ап =1— + 0,576-12у)-0.8-е"’^18,5' = 14,66 е">⁴⁴¹⁵’ В.

0,4

Комплексная амплитуда тока на входе четырехполюсника

Pl

= 0.05- А-+ (1,0788- j 0.6)- 0.86 е^-7’⁸⁵’ = 1,602-e’^{J 23 7S}’ A.

Зная напряжения и токи первой и третьей гармоник на входе и выходе четырехполюс­ника, по законам Кирхгофа можно определить ток и напряжение любой ветви четырехпо­люсника.

Активная и реактивная мощности на входе

5 = (cos £ /|) + у sin А /ц) = 11-J 4,08;

Векторные диаграммы для третьей и первой гармоник даны на рис. П10.5, бив.

В заключение отметим, что аналогичным путем можно было бы учесть в расчете и пятую гармонику. С этой целью в случае резистивного нелинейного сопротивления в пра­вую часть формулы (П10.3) следовало бы добавить слагаемое U_2S sin(5(i)/ + ф₅), вывести новые формулы для первой, третьей и пятой гармоник тока, более полные формулы для функций /|, /₂, /з, новые формулы для модулей и аргументов комплексов токов

§ П10.7. Последовательность расчета цепи (рис. П10.1, а) с учетом третьей гар­моники при известной синусоидальной ЭДС на входе Ё= Сначала по схеме рис. ГП 0.6, а определим напряжение первой гармоники на выходе четырехполюсника при £

холостом ходе на зажимах cd U_{cd х} = — и подсчитаем входное сопротивление четырех полюсника по первой гармонике по отношению к зажимам cd при коротком замыкании на зажимах тп (рис. П10.6, б)

= ~г ⁼ ^^е-т^{- +} J 1m—.

Л] Л) А,

Для схемы рис. П 10.6, в запишем уравнение в комплексах для определения величи­ны х без учета третьей гармоники (полагая здесь для определенности, что на выходе четырехполюсника резистивный нелинейный элемент):

Здесь

/₂, =2a(-/Ji(Jx)); y = arg£.

Выделим в этом уравнении действительную и мнимую части:

Возведем их в квадрат и сложим для устранения угла (у-ф_Л|).

Получим трансцендентное уравнение относительно х:

После подсчета величины х можно приступить к определению величины у. С этой целью зададимся диапазоном значений у. Этот диапазон в общем случае зависит от того, является ли нелинейный элемент резистивным, индуктивным или емкостным, от степени насыщения нелинейного элемента и от возможности возникновения в цели резонанса на­пряжения на третьей гармонике в НЭ и в четырехполюсни­ке, или от резонанса токов в четырехполюснике.

В случае резистивного НЭ и при значении х = 5 зададим­ся значениями у, равными 1,1,6 и 2, и, подобно тому, как это сделано ранее в § П10.6, подсчитаем значение входного на­пряжения схемы Для трех случаев, когда х 5, у = 1; х “ 5, у ~ 1,6; х = 5, у = 2. По результатам подсчета построим вспо­могательный график зависимости модуля входного напряже­ния 4/] от величины у (см. рис. Ш0.7). Чтобы определить значение у, отложим по оси ординат этого рисунка величину модуля ЭДС на входе цепи и проведем горизонталь. Точка пе­ресечения этой горизонтали с U_t = f (у) даст искомое значе- ниеу.

Если значение напряжения U_} при подсчитанном х и всех трех выбранных значе­ниях у будет превышать величину модуля ЭДС на входе, то это будет свидетельствовать о том. что следует несколько уменьшить х и при тех же значениях у провести новые расчеты.

Приложение ПН