Причины возникновения странных аттракторов в нелинейных элек­трических цепях переменного тока

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Странные аттракторы — обобщенное наименование непериодических для мгновенных значений величин странных колебаний, возникающих в различных физических системах (в нашем случае электрических) под воздействием периодической вынуждающей силы. В литературе (да н в данной книге тоже) их называют по-разному, например, непериодичес­кие, или многопериодические, почти периодические колебания, автомодуляция, хаос, ди­намический хаос, стохастические колебания и т. п. Но наиболее подходящим обобщаю­щим наименованием для них является, по-видимому, «странные аттракторы». В настоя­щем Приложении показано, какие физические явления лежат в основе (являются причи­ной) возникновения различных типов странных аттракторов, как подойти к определению параметров электрических схем, при которых эти колебания возникают, а также вопросы устойчивости странных аттракторов при нелинейных элементах схем различной физичес­кой природы. Частично эти вопросы применительно к нелинейному емкостному элементу рассматривались в § 15.71. Но начнем с сопоставления странных аттракторов с наиболее известным и близким к ним типом колебаний — с автоколебаниями.

§ П9.1. Сопоставления автоколебаний (АК) в электрических пенях с источниками постоянной ЭДС и странных аттракторов (СА) в электрических цепях с синусоидаль­ными источниками ЭДС. Каналы действия нелинейной неявно выраженной обратной связи. Между двумя разновидностями колебательных процессов СА, с одной стороны, и АК, с другой, есть сходство, но, однако, значительно больше существенных различий.

Напомним, что для возникновения и устойчивого существования АК-процессов — процессов периодических — необходимо:

1) наличие в схеме источника постоянной ЭДС или тока, нелинейного элемента и обрат­ной связи;

2) в АК-системах релаксационного типа используют нелинейный резистивный элемент, который имеет ВАХ S- или //-образной формы (см. рис. 17.3. б и 17.6, б}, и в схеме дол­жен быть один накопитель энергии (L или Q. Для возбуждения колебаний параметры схемы выбирают так, чтобы изображающая точка оказалась на падающем участке ВАХ НЭ. Об­ратная связь в рассмотренных в книге примерах проявлялась в том, что напряжение на НЭ управляло процессом зажигания и гашения неоновой лампы в схеме на рис. 17.3, б или процессом прямого и обратного скачка тока в схеме на рис. 17.6, а с туннельным диодом;

3) при автоколебаниях почти гармонического типа в схемах должен быть управляемый нелинейный резистивный элемент и два накопителя энергии (обычно £ и С). В этом случае на ВАХ НЭ, взятого отдельно от схемы, падающий участок отсутствует, а неустой­чивость создается явно выраженной электрической или магнитной обратной связью (см., например, рис. 16.5, пример 164);

4) в АК-системах. дающих напряжение на выходе в виде меандра (§ 15.56), элемент­ная база иная: нелинейный индуктивный элемент и два транзистора. В них линейные эле­менты L и С отсутствуют. Период колебаний определяется временем перемагничивания сердечника нелинейной индуктивности, а обратная связь проявляется в том, что процесс перемагничивания сердечника управляет работой транзисторов.

Теперь перечислим условия, при соблюдении которых в нелинейных цепях перемен­ного тока могут возникать и устойчиво существовать СА-проиессы для мгновенных зна­чений величин непериодические.

1. В этом случае набор НЭ более широк - СА могут возникать, когда НЭ имеют рези­стивный, индуктивный и емкостный характер и являются управляемыми и неуправляемы­ми.

2. На вольт-амперных, вебер-амперных и кулон-волътных характеристиках НЭ. взятых отдельно от схем, падающие участки во всех случаях отсутствуют.

3. Как правило, явно выраженная обратная связь (магнитная или электрическая) при возникновении СА отсутствует.

4. Падающие участки на вольт-амперных, вебер-амперных, кулоя-вольтных характе­ристиках, используемых в схемах нелинейных элементов, создаются нелинейной неявно выраженной обратной связью. Она осуществляется физическими процессами, происходя­щими либо в самом нелинейном элементе, либо в схеме в целом.

5. СА возникают, когда изображающая точка оказывается на падающем участке вольт- амперной, вебер-амперной или кулон-вольтной характеристики НЭ или всей схемы, не при­крытом восходящими ветвями этих характеристик.

6. Если СА возникают при относительно небольших насыщениях нелинейных элемен­тов, то высшие гармоники выражены слабо и можно говорить об огибающей процесса. Если в процессе колебаний достигаются большие насыщения и резко выражены высшие (низшие) гармоники, то процесс будет иметь хаотический характер и про огибающую про­цесса говорить затруднительно.

Рассмотрим упомянутые выше физические процессы, за счет проявления которых на вольт-амперных, вебер-амперных, кулон-вольтных характеристиках, используемых НЭ или в схемах в целом, возникают падающие участки.

В качестве первого назовем влияние переменной составляющей магнитной индукции на постоянную составляющую индукции при неизменной за период вынуждающей силы составляющей напряженности магнитного поля (см. § 15.17). Сходные процессы между соответствующими величинами имеют место в схемах с нелинейными конденсаторами и в схемах с нелинейными резисторами.

В качестве второго физического процесса назовем процесс возникновения постоянной составляющей в токе, протекающем через нелинейный резистивный элемент с симметрич­ной вольт-амперной характеристикой при воздействии на него двумя гармониками напря­жения, частоты которых находятся в соотношениях 1:2 (см. § 15.18), а в более общем слу­чае как ———. где к и р — целые числа больше нуля) при отсутствии на НЭ постоянной 2 р + 1 составляющей напряжения. Сходные процессы имеют место и в схемах с нелинейными индуктивными и емкостными нелинейными элементами.

Отметим, что второй физический процесс может проявляться в виде двух разновид­ностей, взаимно исключающих друг друга. Так, в цепях с нелинейной индуктивностью он может проявляться, когда амплитуды первой и второй гармоник магнитной индукции в сердечнике индуктивной катушки соизмеримы по величине либо когда различаются, на­пример. на два порядка (но тогда соизмеримыми оказываются напряженности магнитно­го поля первой и второй гармоник в сердечнике катушки за счет возникновения режима резонанса напряжения по второй гармонике [20. с. 297)). Кроме того, в ряде схем возмож­но возникновение колебаний, когда либо первый, либо второй процесс возникает при на­личии в схеме неявно и явно выраженной обратной связи [20, с. 51-54].

В качестве третьего физического процесса назовем процесс в схемах с нелинейным индуктивным или емкостным элементом с симметричной соответственно вебер-амперной или кулон-вольтной характеристикой, при котором в схемах могут возникать несколько следующих друг за другом режимов резонанса напряжения и резонанса тока на одной и той же частоте источника питания схемы при изменении величины входного напряже­ния. В результате входная вольт-амперная характеристика схемы приобретает S-образную форму.

Приходится считаться и с тем, что первый и второй физические процессы могут сопровождать друг друга, и тогда трудно определить, действие какого из них является решающим.

Первый физический процесс, лежащий в основе действия внутренней нелинейной неявно выраженной обратной связи (ННОС) в схеме с нелинейным конденсатором был рассмотрен в §15.72.Такой же канал действия ННОС, но в схеме с управляемой нелиней­ной индуктивностью рассмотрен в Приложении § П9.2, а в § П9.3 — в схеме с нелиней­ным резистивным элементом.

Проявление второго из перечисленных физических эффектов, лежащего в основе дей­ствия второго канала ННОС, проиллюстрировано в § П9.4. Проявление третьего физичес­кого процесса, лежащего в основе третьего канала действия ННОС, проиллюстрировано в § П9.5.

В заключение отметим, что СА могут возникать и при субгармонических колебаниях в цепи (см. § 15.69).

§ П9.2. Странные аттракторы в цепи с управляемой нелинейной индуктивнос­тью. В схеме рис. П9.1, а к источнику синусоидальной ЭДС Е_т sin(c>/ + v) подключены нелинейная индуктивность, конденсатор С и резистор /?_р = /?_н + 2 R\ (/?_н — резистивная нагрузка). Цепь управления индуктивностью образована источником постоянной ЭДС E_Q, катушкой с числом витков w₀ и сопротивлением Rq. Направление намотки катушек на сердечник показано на рис. П9.1, а. Площадь поперечного сечения его обозначена S, а длина средней магнитной линии — 1. Положительные направления отсчета токов ц и /₀, постоянной В_о и переменной составляющей В_т sin со/ магнитной индукции показано на схеме стрелками.

Аппроксимируем зависимость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н гиперболическим синусом Н = ashp#, высшие гармоники не учитываем. Запи­шем уравнение по закону полного тока для левого сердечника:

6 ^wi ⁺ 'о ‘♦'о ^{= а} /Р( До ⁺ sin <о /) (П9.1)

и для правого

й W| -i₀ w₀ =а /shP(-B₀ + В_т sin со/). (П9.2)

Уравнение (П9.1) сложим с уравнением (П9.2), получим формулу для первой гармо­ники тока

= —chptf₀ J.QpB^sinco/. (П9.3)

»■]

Из уравнения (П9.1) вычтем уравнение (П9.2). Получим

4> н>₀ = <х /shp/?₀ J₀(J р В_т]. (П9.4)

Из (П9.4) следует, что

/₀= —shp5₀ J_O(; PB_W). (П9.5)

И'О

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи переменного тока:

2 W] S —В_т sin со/ + /| Я_р + — Jq dl = Е„, sin(co/ + v).
d t

Рис. П9.1

В уравнение (П9.6) подставим ток /, из (П9.3) и выделим в полученном выражении синусные и косинусные компоненты, возведем их в квадрат, сложим для устранения угла v, и полученное уравнение разрешим относительно ch 0 #₀:

Здесь

2a0Z _с_ 2aZpfl_p (j £„

м'|² S W² С со w² $ 2 w и»] 5

При параметрах А - 2.2, F = 0,054, Gl F = 0,3675 на рис. П9.1, б по формуле (П9.7) построим зависимость 0 B_Q от Р В„. Нижняя ветвь кривой на этом рисунке соответству* ет знаку минус перед корнем в формуле (П9.7), верхняя — знаку плюс. Используя зависи­мость 0£_о от Р В_т рис. П9.1, б по формуле W₀/a = sh0B_o J₀(y 0 5_т) на рис. П9.1, в, строим зависимость Р В_о = /(Я₀/а). Замечаем, что на этой зависимости в диапазоне значений Н_о / a - 30-76 имеется падающий участок, не прикрытый восходящей ветвью кривой (при указанных значениях параметров восходящая ветвь только начинает образо­вываться’¹). Опишем падающий участок уравнением прямой

0£_o="-*—.

Составим уравнение для цепи управления:

(П9.11)

и исследуем, будет ли устойчиво положение рабочей точки на падающем участке характе­ристики р5₀= на рис. П9.1, а.

В установившемся неколебательяом режиме работы

(П9.12)

’’Деформация зависимостей 0S_o=/(0 5_m) и = sh05_o J_Q(J 0 B_m) = f($ B_m) при изменении параметра А от 0,5 до 5, параметра F в диапазоне от 0.054 до 0,151 и ве­личины С / F в интервале от 0,1 до 0,3675 с целью экономии места здесь не приведена, с ней можно ознакомиться в § 2,2-2,7 [25].

Если катушки iv, нелинейной индуктивности в схеме рис. П9.1, а будут соединены не последовательно, а параллельно, то результирующее резистивное сопротивление в цепи у^

переменного тока будет равно , где /?, —это резистивное сопротивление одной катушки а R_n — сопротивление нагрузки. В этом случае параметры A, F, G в форму­ле (П9.7) будут равны

. 0£„, _с 2а0/ _ 2а/0(Я_н+0,5

^А ~----------- 7Г’ ~' ° =---------------------------------------- ?-----------

о W₁ S _W|² S с/ С со wf S

Пусть ток io получил приращение Д>о флюктуационного происхождения и стал ра­вен /₀+Д<₀. Приращению Д/_о ^по уравнению (П9.12) соответствует приращение △р5₀ = -к ^А,° ^W° . По уравнению (П9.11) составим уравнение для приращений:

а I

_2^Sk _{= 0}

а/p dt

Алгебраизируем его и получим характеристическое уравнение (П9.14)

£_ДоР + /?о=0. (П9.14)

2 к Wq S

Здесь £_л0 =-------------- ²— представляет собой отрицательную дифференциальную индук-

^м а I р

тивность для малых приращений Д/_о и Д0Я_о. Корень уравнения (П9.14) положителен; следовательно, положение рабочей точки на падающем участке характеристики рис. П9.1, в неустойчиво, и в цепи начнется автомодуляция или хаос (см. осциллограмму напряжения на нелинейной индуктивности на рис. П9.1,г). Огибающая колебаний имеет релаксационный характер. Нелинейная неявно выраженная обратная связь осуществляет­ся в схеме через реагенты В_о и В_п, в соответствии с уравнениями (П9.3), (П9.5), (П9.7).

§ П9.3. Хаос в диодной схеме выпрямления. На рис. П9.2, а изображена простей­шая диодная схема выпрямления. В ней на частоте порядка I МГц при работе диода на начальном участке его ВАХ (утолщенная линия на рис. П9.2, б) и при определенных параметрах схемы (значениях L, R и амплитуде синусоидальной ЭДС Е_т sin(w t + <p)) воз­никает хаос (рис. П9.2, в). Хаос возникает потому, что первая гармоника напряжения на диоде sin <о / так влияет на постоянную составляющую напряжения на диоде U_Q, что дифференциальное сопротивление диода /?_до, посчитанное по приращению постоянной составляющей напряжения на диоде Д»о ^и соответствующему приращению постоянной составляющей тока через диод Дг₀(т. е. /?_до = Ди₀/Д/₀), при определенных значениях параметров оказывается отрицательным.

При анализе процессов в схеме используем схему замещения (рис. П9.2, г). В ней диод представлен параллельным соединением резистивной ветви, ВАХ которой описана фор-

i_R =5(с^Аи-1)

и емкостной ветви, дифференциальная емкость которой описана формулой С_л = А е^аи.

В исследовавшейся схеме высокочастотный диол имел следующие параметры: 5 = ЗЮ~⁸А; д = 17,4В"¹; А = 3,88- 1О"¹⁰ А с/В; а = 0,528 В“'.

Полагаем, что напряжение на диоде и « U_o + U_m sin © t. Высшие гармоники в первом приближении не учитываем.

Разложим функции е°" и е^А" в ряды по функциям Бесселя от мнимого аргумента и определим ток i:

i = iR +

i₍- - A e^aU(> - At^au <aU_m J₀(j a U_m)cosco t.

Подставим ток i и напряжение и в дифференциальное уравнение:

и+ Ri+ L~ = Е_т sin(co/ + (p). (П9.17)

dl

Выделим из (П9.17) уравнение (П9.18) для постоянных составляющих

Uq^-R В^^иЧ^Ьи_т}-\=0. (П9.18)

Уравнение для синусных и косинусных составляющих первой гармоники:

+ ^R 1п,п -<aL/_mC- = E_ni coscp;
^LI_mK + R /_тС = Е_т sincp.

Здесь — амплитуда резистивной, а /_от(— амплитуда емкостной составляющей тока через диод:

Возведем уравнение (П9.19) в квадрат и сложим. Получим уравнение, которое дает связь Uq, U„, и Е„:

«Л, + Л U-al /_м-)² +(« i 1_яК + Я/,,)² = £². (П9.21)

Зависимость токов l_mR и 1„_с <>^т амплитуды напряжения U_m на диоде изображена на рис. П9.2, д. По уравнению (П9.18) при R = 200 Ом на рис. П9.2, е построена зависи­мость U„ от U_o при работе на начальном участке ВАХ диода. Из рисунка видно, что кривая сначала круто поднимается вверх, затем рост U_m становится незначительным . Ис­пользуя рис. П9.2, е, построим график зависимости отношения между прира­

щениями в функции от U_Q (на рис. П9.2, ж).

После этого исследуем устойчивость периодического режима работы схемы, для чего положим, что Uq получило малое приращение Дц₀ и стало равным U_o + Дн₀ и что си­нусоидальное напряжение на диоде при этом стало равным (U_т +6U„)sin(<иt + Ду), где Д1/„ « U_m и А\р <к л.

Слагаемые Ri и L— уравнения (П9.17) тоже получили приращения. Приращения di

всех слагаемых (П9.17) выразим через приращения Ди₀. Получим дифференциальное уравнение относительно приращений’’.

’’Подробнее о приращениях см.: Бессонов JI.А. Аномальные режимы работы диодной схемы выпрямления // Радиоэлектронные устройства и системы обработки информации. М.: МИРЭА, 1996.

После алгебраизации его характеристическое уравнение относительно приращений принимает вид:

В нем дифференциальное сопротивление диода для малых приращений постоянных составляющих напряжения и тока

R , ¹

^до Д/'о ь В е^{д и}° F ’

где

Г = J_Q(J b U_m)-\~{~j Jjjb

дс/₀

а дифференциальная емкость диода для малых приращений

При работе на начальном участке ВАХ диода отношение приращений Ы1_т1&и₀ до­статочно велико (см. рис. П9.2, ж) для того, чтобы функции F и /?_до оказались отрица­тельными. Хаос возникает при условии |£/Я_до|> RC^q. Движения в системе при воз-

_в , R

никновении хаоса могут быть различными в зависимости от значения слагаемого 1 +-------------------------------------------

Ядо

в уравнении (П9.22). При прочих равных условиях хаос начнется при некотором минимальном Е_тХ и прекратится при некотором максимальном Е_т2. Величина Е„_} обус­ловлена тем, что ток, протекающий по резистивной ветви схемы замещения диода (см. рис. П9.2, г), сначала очень мал (см. рис. П9.2, д) и влияние отрицательного /?_до в токе i еще не может проявиться. При некотором значении Е„₂ хаос прекратится ,так как отно­шение MJ_m/bU₀ при этой ЭДС становится недостаточным для того, чтобы /?_до стало меньше нуля.

§ П9.4. Хаос, обусловленный нелинейным взаимодействием нулевой, первой и второй гармоник. Схема, приведенная на рис. П9.3, а, образована линейным резистором R, линейным конденсатором С. нелинейной индуктивностью и источником синусоидаль­ной ЭДС Е„ sin(w t + v). В этой схеме взаимодействие первой и второй гармоник магнит­ной индукции в сердечнике нелинейной индуктивности вызывает появление постоянной составляющей индукции при отсутствии постоянной составляющей в напряженности маг­нитного поля. Режим работы цепи при этом может быть либо устойчивым, либо неустой­чивым — тогда в цепи возникает хаос. При возникновении хаоса в токе и в индукции появятся медленно изменяющиеся постоянные составляющие.

На рис. П9.3, б показаны вольт-амперные характеристики элементов схемы по первой гармонике: конденсатора (прямая /), нелинейной индуктивности (кривая 2), резистора (прямая 3) и всей схемы (кривая 4).

Осцилограмма хаоса в схеме рис. П9.3, а представлена на рис. П9.3, в, где и — вход­ное напряжение, i — ток, и/ — напряжение на нелинейной индуктивности.

При анализе процессов в схеме положим, что нелинейная индуктивность имеет w витков при длине средней магнитной линии сердечника / и его площади поперечного сечения S. Кривая намагничивания ферромагнитного материала сердечника описана фор­мулой

tf=ash0S, (П9.25)

где Н — напряжение магнитного поля, а В — магнитная индукция.

Полагаем, что

В = B_Q + 5_)m sin о l + В_2т sin(2 <о/ + q>). (П9.26)

e

Рис. П9.3

Подставим индукцию В по формуле (П9.25) в формулу (П9.24) и из полученного вы­ражения определим постоянную Н_о, а также синусные и косинусные составляющие пер­вой и второй гармоник напряженности магнитного поля, а по ним, используя закон пол­ного тока, синусные и косинусные компоненты тока первой и второй гармоник:

= sh р В_о Jq(j р ) J₀(j Р U_2a) + 2 ch 0 B_Q J₂(j р Л_1л,) (-J J,(j Р В_2т)) sin _Ф. (П9.27) а

В установившемся нехаотическом режиме работы Н_о-О (конденсатор постоянный ток не пропускает). Из формулы (П9.27) следует .что

2 А
thP В_о = —Sincp;

Л = Л(-7 Р j (П9.28)

В ⁼ Р &\т ) Р ^2«)-

Формула (П9.28) позволяет определить РЯ_О через Р^1_т. Р В_2т и угол ф. В даль­нейшем для более компактной записи уравнений обозначим

Р В\т = х, Р В_2т = у, р B_Q = г.

Ток i = + i₂. Здесь i_} — первая, а /₂ — вторая гармоника тока i:

2 а / , .

/] --------- (n, sin со t + т_} cosco/);

2а/, . _ . .

i₂ -- («2 ^Sin 2 co I + т₂ cos 2 со /);

«j = CchZ -shZ- Psincp, = DshZ со$ф,
C = Jo{jy){-jJ\(j x)\ D-i^j (j y))((- j J,(j x))-(j Jj(j x)));

= chZ • Л coscp-shZ Csin2 ф, m₂ = chZ ■ F sin<p + shZ (G со$2 ф + Л/),
= Jq (j x) (~jJ_}(J y)\ G = J₂(j x) J₂{j y\ M =J₀(j y) J₂(j x)

Затем для схемы на рис. П9.3, а составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

(П9.34)

где v — потокосцепление нелинейной индуктивности, равное w 5 В. Продифференцируем уравнение (П9.34) по времени , подставим в полученное выражение индукцию В по формуле (П9.26) и токи и i₂ по формулам (П9.30) и (П9.31). Выделим из полученного уравнения синусные и косинусные компоненты первой и второй гармоник. Затем все сла­гаемые уравнений для первой гармоники поделим на коэффициент при х = р B_im, а все слагаемые уравнения для второй гармоники на коэффициент при у - Р В_2т.

Получим два уравнения (П9.35) для синусных и косинусных составляющих первой гармоники:

-х+Г| 77?_t +х₍ч = -esinv, г_} + х_С) т_} = ecosv, (П9.35)

где

_п2а/р . 1 2а/р _{л с} Р .

Л =Л--------- х_п ~ —--------------- т—, е = Е_т----------------

а ж² 5 1оС_ои>²$ сои-5

а также два уравнения (П9.36) для синусных и косинусных составляющих второй гармоники

х₍-₂ п₂ - г₂ т₂ - у sin ф, х^₂ /я₂ ^{+ г}2 ^п1 ~ ~У со$Ф»

^,ас _п а/р . 1 а/р

r₂- R----------- —, х_Г2 --------------------- г—.

со w² S 2 со С о w² 5

Введение обозначений г,, х_С1> г₂, х_С2 привело к тому, что все величины в (П9.35) и (П9.36) стали иметь нулевую размерность. Возведем в квадрат левые и правые части уравнений (П9.35) и сложим их.

Получим (-х-Г] +Х(ч Л))² +(Г] И| +х_С| /Л])² = е² или

х² - х (х_п И| - г, лц) + (г² + х²)) (и² + т²) = е². (Г19.37)

Подставим в (П9.37) выражения для z?| и /Ир После небольших преобразований получим

х² - 2х(С х*! ch с- D shz (х₍-, sin ф cosq) +
+ (Г)² +х*,)(С² ch²z + £>² sh² z-D C sh2 z) = e².

Аналогичные выкладки по отношению к уравнению (П9.36) дают

(r₂² + x²_Ci) ( F ch² z + sh² z (G² +A/² + 2G Л/cos_V) + sh2z F(A/-G)sincp = >-². (П9.39)

Выразим ch²r, sh2z. sh²z, chz, shz через thz:

u2 । ^2thr

ch z = -——sh2z =------------------- —,

1-thz l-th²z

и подставим соответствующие функции в уравнения (П9.38) и (П9.39)

2thz . _ . ] ₂

------ — (M - G) sin <p I = y. 1- th²z------- J

Рассмотрим, как можно выявить возникновение устойчивого периодического процесса, для которого характерно наличие в магнитном потоке нелинейной индуктивной постоян­ной составляющей, первой и второй гармоник при отсутствии постоянной составляющей в напряженности магнитного поля.

Будем последовательно задаваться значениями х в диапазоне примерно от 1,5 до 4. При каждом выбранном значении х величине у будем последовательно придавать значения 0,2,0,4,... (у < х). Подставляя эти значения хиу в уравнение (П9.41), путем прогонки на ЭВМ выясняем для каждого сочетания х ну, при каком значении угла ср будет возможно удовлетворить уравнению (П9.41). После выявления совокупности возможных сочетаний значений х, у, <р, при которых уравнение (П9.41) удовлетворяется, по уравнению (П9.40) для каждого сочетания х и у определяем величину е, а по ней — амплитуду ЭДС на входе цепи.

Хаос в цепи рис. П9.3,а возникает, когда величина сопротивления конденсатора по

меньше величины сопротивления нелинейной индуктивности

по первой гармонике при малом токе через нее, при небольшом сопротивлении R (см. рис. П9.3, б) и при значении х, находящемся в диапазоне, примерно, от 1,6 до 4,

Для определения диапазона значений параметров схемы С, со, R, а, 0 и величин х, при которых в цепи возникает хаос, надлежит обратиться к § 18.7. В нем рассмотрена мето­дика исследования устойчивости периодических режимов работы нелинейной цепи рис. 18.7, а (такой же, что и цепь рис. П9.3, а), когда вольт-амперная характеристика цепи была Л'-образна. В соответствии с этой методикой дифференциальное уравнение нелиней­ной цепи по отношению к малому возмущению потокосцепления нелинейной индуктив­ности было сведено к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с изменяющимися во времени параметрами (к уравнению Матье):

—у- + (а +16 b cos 2 т) т| = 0. dt

Затем использовался график областей устойчивых и неустойчивых решений уравне­ния Матье, представленный на рис. 18.7, в.

Устойчивость определялась по значениям коэффициентов а и Ь, зависящих от всех па­раметров схемы рис. 18.7,0 (а следовательно, и рис. П9.3, а), дана выражениями (П9.41) и (П9.36) § 18.7. Эта методика полностью применима и к определению условий возник­новения хаоса рассматриваемого типа.

§ П9.5. Автомодуляция, обусловленная резонансными явлениями в электриче­ской цепи при неизменной частоте источника питания. На рис. П9.4, а изображен ли­нейный четырехполюсник, на входе которого— источник синусоидальной ЭДС, на выхо­де — нелинейный индуктивный элемент, вольт-амперная характеристика которого L/₂ = /(/₂) представлена на рис. П9.4. б. Четырехполюсник представлен Г-схемой. Сопро­тивление первой ветви его Z_t = R_K + j Х_ъ где Х_} = ш L., сопротивление второй ветви —

третьей ветви — Z₃ - -j Х₃, X_t - Х₃ = 20 Ом, /?_t = R₂ = 2 Ом. Модуль емкостного сопротивления Х₂ = 100 Ом. Сопротивлению Х₂ на рис. П9.4, а соответствует прямая на рис. П9.4, б, а сопротивлениям Я, и R₂— прямая R₂. Подсчитаем параметры А, В, С. D четырехполюсника (см. формулы 4.35) на частоте источника питания:

Л = 1 + -^ = 0,1 у; 5 = Z,+Z₂+^2- = 12 + 20,2 J;

^z i ^Z3

С = —= 0,05; Ом; D = 1+ ^ = 6 + 0,1; Ом.

Z₃ Z₃

t/,B

a 6

в г д

Рис. П9.4

Цифрами 1-8 на ВАХ нелинейного индуктивного элемента U₂ - JV2) ^на рис. П9.4, б обозначены точки, которым соответствуют одноименные точки на S-образной входной ВАХ всей схемы изображенной на рис. П9.4, в. Подсчеты соответст­

вующих друг другу значений Ц и проводились по формулам Ц = А 0₂ + В /₂ и /₁ = С U₂ + D 1₂. Результаты подсчетов Ц и /, и соответствующие им значения 0₂ и /, а также численные значения модуля сопротивления нелинейного индуктивного элемента

jX_t = по первой гармонике записаны в табл. П9.1.

¹ 2

Линейный четырехполюсник преобразовал монотонную ВАХ нелинейной индуктивно­сти рис. П9.4, б в S-образную ВАХ всей схемы рис. П9.4, в. Поясним, почему зависимость

Таблица П9.1

4/₍ = /(/]) приобрела 5-образную форму Дело в том, что в интервале точек 0—1—2 на ВАХ 4/₂ = /(^г) полное сопротивление второй ветви, равное Z₂ + j X _L , остается по модулю достаточно большим (400 + 270 Ом) и не может помешать возникновению режима резо­нанса напряжений как бы последовательно соединенных первой и третьей ветвей схемы (суммарное сопротивление ветвей / и 3 примерно равно 4 Ома). В точке 3 на рис. П9.4, б сопротивление второй ветви равно 2 + /120 Ом. В режиме соответствующем точке 4 вто­рая и третья ветви находятся в состоянии, близком к режиму резонанса токов, поэтому входной ток /₁ уменьшился. В режиме, соответствующем точке 5, во второй ветви возни­кает резонанс напряжений, сопротивление ее снижается примерно до 2 Ом, а модуль вход­ного сопротивления схемы примерно до 20 Ом. Точка 6 на ВАХ U₂ = f(Jz) соответствует сопротивлению второй ветви около (2 + 20 у) Ом, а входное сопротивление всей схемы ока­зывается примерно равным (2 + 10у) Ом. Таким образом, при подъеме входного напряже­ния с нуля в схеме последовательно возникают три следующих друг за другом различных резонансных режима на частоте источника ЭДС.

Одновременно с изменением величины тока /₂ возникает Л^г-образная вольт-амперная характеристика второй ветви и 5-образная вольт-амперная характеристика всей

схемы Z7i(/_t). Падающий участок Л'-характеристики соответствует падающему участку 5-характеристики. Так как работа на падающем участке У-характерисгики отдельно взятой второй ветви неустойчива, (см. § 18.7), то неустойчивой оказывается работа и всей схемы рис. П9.4,п на падающем участке характеристики Ц(/₍). Если величина входного напря­жения в примере окажется в интервале (4,5 +7,2) В, то в схеме возникнет автомодуля­ция (рис. П9.4, г). При АМ рабочая точка перемешается по падающему участку характери­стики /|(/₂), причем увеличение тока по характеристике сопровождается уменьшени­ем тока /₂ (см. табл. 1 и рис. П9.4,д; цифры 1-8 на нем соответствуют цифрам 1-8 на рис. П9.4, б и в), поэтому между огибающими амплитуд токов н <₂ на рис. П9.4, г име­ется сдвиг фаз, зависящий от параметров цепи рис. П9.4, а и величины U_v При АМ изме­няются не только значения амплитуд, но и мгновенные значения фаз токов q и i₂.

Далее рассмотрим, почему в симметричной выпрямительной схеме может возникать «странный» режим работы.

§ П9.6. Аномальный режим работы симметричной мостовой выпрямительной схемы. Схема изображена на рис. П9.5, а. К синусной или в виде меандра ЭДС e(t) при­соединены резистор Л₍, управляемая нелинейная индуктивность НИ, выпрямительный мост, на выходе которого нагрузка Л_н и шунтирующий ее конденсатор С.

Вебер-амлерная характеристика нелинейной индуктивности симметрична и близ­ка к идеально прямоугольной (рис. П9.5, б). Вольт-амперные характеристики диодов тоже близки к идеально прямоугольным (рис. П9.5. в).

а б

Рис. П9.5

Аномальный режим рассматриваем в данном параграфе при разомкнутой цепи управ­ления НИ (так, что НИ работает в режиме неуправляемой НИ).

Осциллограмма нормального режима при синусоидальной ЭДС e(t) дана на рис. П9.6, а, а аномального — на рис. П9.6, б. Цифрой / на них обозначена ЭДС е(/), циф­рой 2 — напряжение на выходе выпрямительного моста, цифрой 3 — ток /, через НИ и резистор Я].

В интервале 0 + /| ток = 0, а_я1 = 0, поэтому

^~- = £-и_с(0)е’^//Л"^г

Интегрируя это уравнение по времени и учитывая, что Т = -4% при / = 0, получим закон изменения потокосцепления на интервале 0 + /,:

4'^£/ + R_HCw_r(0)(e"'^/^^r-l)-4'_Jn. (П9.44)

При I = потокосцепление Т = поэтому из (3) следует

2 = Е г, + Я_н С и_с (0) (е'^/1/Л*^r -1).

Поделив обе части (П9.45) на Е т, получим

Uk М2) С)

Е т т Е т

В интервале времени от до т напряжение на диоде w_ai = О, Ч⁷ =Ч^?_Я)= const, а ток

Обозначим а = 1 + /Л„ и запишем уравнение (П9.42) для этого интервала времени

При t = т напряжение на конденсаторе «_г(т) = «<-(0). Из (П9.49) следует:

1__е V W

Среднее за полпериода значение выпрямленного напряжения на емкости м_Гср опре­делим, проинтегрировав по времени обе части уравнения (П9.42) за полпериода т:

(П9.52)

После интегрирования в (П9.53) запишем выражение для М(-_Ср^;

_ 2>Р„ + Л, С МО) С ‘ )

"Сер ~ ⁵------------------------------ ----------------------------------------- ----------------------------------------- -----------------------------------------

В силу симметрии процессов а первом и втором полупериодах формула (П9.54) спра- всдлива и для второго полупериода.

Пояснения к возникновению асимметричного режима работы сопроводим рис. П9.9. Асимметричный режим возникает, когда конденсатор в первом полупсриодс будет разря­жаться через резистор /?_и достаточно медленно, так что интеграл от напряжения на не- }dV . , линейной индуктивности за полупериод 0-^т (вольт-секундная площадь ]——-dt) о

окажется меньше 2У_т, при этом потокосцепление нс достигнет величины +%„ и станет равным к ^<¥_т {к < 1).

В этом случае конденсатор будет продолжать разряжаться на /?_н и во втором полупе­риоде до времени /₂, при котором потокосцепление уменьшится на величину к (этот процесс происходит при меньшем w_c-(0, чем в первом полупериоде), потокосцепление

окажется равным производная —— станет равной нулю и при /₂ <2т t 4 \

тор в интервале времени /₂т2х начнет заряжаться от напряжения u_c(i₂) ^д0

Процесс зарядки конденсатора вновь описывается уравнением (П9.48):

Решение этого уравнения

_е /«.Янг*

При t = 2 т и₍' становится равным

«с(0) = ~

[__с Чгас'/?!<’

При неизменных параметрах Я_н, С. Я|, увеличение Е или появление тока в цепи управления НИ, а также при изменении какого-либо одного параметра (Я_н, С, /Jt, T_w)

при неизменных £ и т, появляются пики тока неравной амплитуды и в первом, и во вто­ром полулериоде; при дальнейшем увеличении любого параметра пики тока /₍ в обоих полупериодах выравниваются и в цепи управления устанавливается симметричный режим работы.

§ П9.7. Математический критерий возникновения хаоса. Хаос может возникать во многих областях физики, механики, химии, биологии, медицины. Это вызвало потребность в разработке общего чисто математического критерия определения условий возникнове­ния хаоса в системах самой различной природы, не выясняя причины, почему он возни­кает. Обобщенный математический подход к хаосу используется в синергетике (37], в те­ории катастроф [35], в теории хаоса [36]. В синергетике рассматривают роль коллектив­ных эффектов в процессе самоорганизации процессов природы. В основу ее положены три основных положения :

1) принцип подчинения (учет основных эффектов за счет членов уравнений, содержа­щих малые параметры);

2) принцип самоорганизации (последовательности фазовых переходов в системе при изменении управляющего параметра);

3) предположение о том, что при добавлении к линейной недиссипативной системе небольших нелинейностей регулярные движения в ней будут продолжать существовать.

В основу рассмотрения хаоса и различных сложных движений в нелинейных систе­мах положено логистическое уравнение. Оно может быть одномерным и двумерным. В одномерном уравнении

» X х„ (1 - х„) (П9.56)

под х„ понимают состояние системы в п интервале времени, под х_н+1 — состояние сис­темы в п + I интервале; X— некоторый параметр. Величина х в этом уравнении может изменяться в интервале 0-1, потому уравнение (П9.56) называют также преобразованием отрезка 0-1 в себя.

Двумерное логистическое уравнение может быть записано, например, в такой форме

’ 1 - а + У>,, где у,,^ = 0 х„.

Логистическое уравнение (П9.56) было известно давно, интерес к нему возрос после появления работы Фейгенбаума [38]. В ней подмечены некоторые закономерности бифур­кационных процессов (процессов ветвления). При параметре X уравнения (П9.56), нахо­дящемся в интервале 1 < X < 3, в системе, описываемой уравнением (П9.56), имеются две

состояние равновесия устойчиво.

Процессы перехода от одного типа движения к другому могут быть описаны в прямо­угольной системе координат x^+i = /(х„). Например, на рис. П9.10, а кривая построена по уравнению (П9.56) при X - 2. Прямая ((х_я>1 - х„) описывает периодический процесс, на ней находятся точки равновесия. Стрелками показан процесс перехода от х„ к х„₊| и от x_w+J к х„ в этом типе движений. При X = 3 стационарный режим неустойчив, но воз­никает устойчивый бицикл, он окружает точку равновесия (см. рис. П9.10, б). В интерва­ле 3<Х<4 возникают многопериодические и хаотические движения (см., например, рис. П9.10, в, на котором показана начальная часть процесса при Х = 3,5). Каждый по­следующий тип движения от одной бифуркации, с которой он начинается, до последую­щей бифуркации, которой соответствует большее X и новый тип движения, имеет удвоен­ный период по сравнению с предыдущим типом движений.

Удвоение периода будет происходить до значения Х= 3,5694. Вблизи этого значения X отношение разности параметров (Х_я+| - Х„) двух последующих типов движений в раз­ности параметров (X„-X„_j) двух предыдущих типов движений при приближении к хаосу будет стремиться к величине 1/5,, где 5 = 4,66320.

^<iti

Х_я — Х„_(

а б

в г

Рис. П9.10

Число 8 называют числом Фейгенбаума. Если в некоторой системе, описываемой урав­нением (П9.56), параметр X может достигать значений, при которых соотношение (П9.58) выполнено, то в системе возникнет хаос. В системе координат х = /(X) в интервале значений 2,9<Х<4 можно построить бифуркационную диаграмму (см., например, рис. П9Л0, г), показать на ней ветвление кривой состояний, а также области притяжения при малых возмущениях состояний случайными помехами.

Вопрос о том, насколько сценарий возникновения хаоса, предложенный Фейгенбаумом для недиссипативных слабонелинейных систем, может быть применен к реальным дисси­пативным существенно нелинейным системам, остается открытым — это было отмечено еще в (37). Как было показано в гл. 15 и в данном Приложении П9, возникновение хаоса и других нежелательных процессов зависит от многих факторов. Изменением одного парамет­ра X учесть все эти факторы вряд ли возможно. В реальных нелинейных системах, рассмот­ренных в книге, при приближении к непериодическим процессам и во время их существо­вания, последовательного удвоения периода по Фейгенбауму не наблюдалось.

Приложение П10