С переменными во времени параметрами

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 20

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

§ 18.1 Элементы цепей. Электрические цепи с переменными во вре­мени параметрами — это электрические цепи, в состав которых входят резистивные, индуктивные и емкостные элементы, изменяющиеся во времени (если в состав цепи входит хотя бы один изменяющийся во вре­мени элемент, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей).

Угольный микрофон — пример изменяющегося во времени резистив­ного элемента (рис. 18.1, о). Сопротивление его является функцией зву­кового давления, оказываемого мембраной на порошок графита. Индук-

тивная катушка с незамкнутым ферромагнитным сердечником, который выдвигается из катушки и вдвигается в нее (рис. 18.1, б), — пример пе­ременного во времени индуктивного элемента. Конденсатор, пластины которого раздвигаются и сдвигаются, не соприкасаясь (рис. 18.1, в), — пример емкостного элемента, изменяющегося во времени. Две индуктив­ные катушки Д и 1₂ (Р^ис- 18.1, г), взаимное расположение которых меняется во времени (например, если одна из них вращается вокруг своей оси, перпендикулярной рисунку), — пример взаимной индуктивности, меняющейся во времени.

Изменение параметров цепи во времени может происходить под дей­ствием внешней механической силы или чисто электрическим путем.

Параметр цепи может изменяться во времени периодически и непе­риодически. Рис. 18.2, a-в иллюстрирует несколько различных периоди­ческих законов изменения параметров.

§ 18.2 Общие свойства электрических цепей. Несмотря на то что цепи с переменными по времени параметрами являются линейными це­пями (описываются линейными дифференциальными уравнениями), они обладают свойствами, сближающими их с нелинейными цепями.

Переменные во времени элементы цепи, подобно нелинейным элемен­там, являются генераторами высших гармоник тока и напряжения. В силу этого в цепях с переменными параметрами протекают токи не только тех частот, которые имеют источник вынуждающей силы и переменная со­ставляющая изменяющегося во времени параметра, но и токи множества других частот.

Благодаря этому в цепях с переменными параметрами при наличии в их составе индуктивных и емкостных элементов могут возникать резо­нансные явления на высших и низших гармониках при отсутствии гар­моник данной кратности у источника ЭДС.

Обратим внимание на то, что амплитуды отдельных гармоник тока в цепях с переменными параметрами линейно зависят от амплитуд ос­тальных гармоник (в нелинейных цепях аналогичная зависимость нели­нейна).

Наряду с этим цепи с переменными во времени параметрами облада­ют линейными свойствами, принципиально отличающими их от нелиней­ных цепей. В них амплитуды гармоник тока и напряжения пропорцио­нальны амплитуде вынуждающей силы. Другими словами, если ЭДС

источника увеличить вдвое, то и амплитуды токов и напряжений увеличатся вдвое. В цепях с нелинейны­ми элементами, где имеет место насыщение, такой пропорциональности, как известно, нет.

Ранее отмечалось, что изменяющиеся во времени элементы цепи являются генераторами высших гар­моник, Убедимся в этом на простейшем примере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из источника

постоянной ЭДС Е и резистора R, сопротивление которого изменяется во времени в соответствии с кривой (рис. 18.2, б):

R(t)~ Rq (1 - к sin coz), А<1.

По закону Ома, ток в цепи

Известно, что функция 1/(1 -х) при |х|<1 может быть разложена в степенной ряд:

(18.3)

Роль, которую играет х в (18.3), в (18.2) выполняет к sin со t. Поэтому при к < 1

—-— = 1 + к sin a>t + к~ sin² со / + к³ sin³ со/ + .... (18.4)

Е/Яо

Воспользуемся известными из тригонометрии формулами:

sin² а = 0,5 (1-cos 2 а), sin³ а =-0,25 sin За+ 0,75 sin а,
sin⁴ а =0,375-0,5 cos2a + 0,125 cos4a

и объединим слагаемые правой части ряда (18.4) с аргументами одина­ковой кратности. В результате получим

= (1 + 0,5 к¹ + 0,375 к⁴ +...) + (к + 0,25 к³ +...) sin со / - Е//?о

- (0,5 к² + 0,5 к⁴ +...) cos 2 со t -(0,25 к³ +...) sin 3со/.

Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен источ­ник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротивление резис­тора изменяется по закону синуса с частотой со, ток имеет и высшие гармоники (частоты 2со, Зсо). Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента к, но линейно зави­сят от ЭДС Е.

Обратим внимание также на то, что при к * 0 постоянная составляю­щая тока в цепи (рис. 18.3) не равна т. е. в схеме наблюдается своеобразный выпрямительный эффект.

Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во времени параметрами, доставляется не только источниками ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками (например, ме­ханическими двигателями), которые совершают работу при изменении параметра (параметров) цепи.

Какую долю энергии доставляет источник ЭДС, а какую дает внешний источник, совершающий работу при изменении параметра, для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать применительно к конкретным условиям. Доля энергии, доставляемая внешним источни­ком, может составлять в одном предельном случае нуль, в другом — 100%.

Отметим различие в определении напряжения от тока или тока от напряжения для элементов одинаковой физической природы для двух случаев:

§ 1.1 да величина, характеризующая этот элемент (сопротивление, индуктивность, емкость), является функцией времени;

§ 1.2 да она является нелинейной функцией тока или напряжения на нем.

Для резистивного элемента в первом случае u_R = R(t) i, во втором — «_Л=^(0-

Для индуктивного элемента в первом случае потокосцепление

dq(u_c) du_{c 4} du_c

du_c dt ^{диф c} dt ’

§ 1.3 Расчет электрических цепей в установившемся режиме. Если переменный параметр изменяется во времени периодически, пре­терпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода рас­чета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют исходя из законов коммутации и периодичности процесса.

Если же переменный параметр изменяется так, что его можно пред­ставить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких сину­соидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гар­монического баланса.

Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен в § 15.46. Основные его положения и здесь те же. По­следовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье

i = /₀ + /jj sin со/ + /₁₂ cosco/ + /₂₁ sin 2со г + /₂₂ cos2©/ + ....

Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, урав­нение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содер­жит несколько неизвестных (/₀, /_п, /₁₂, /₂₁, /₂₂), ^н0 является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелиней­ных цепей). Далее решают систему линейных уравнений относительно Л» Ап Аг» ^21» Лг-

Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющую­ся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону.

Пример !67. В схеме на рис. 18.4, а ЭДС Е источника ЭДС и индуктивность L катушки постоянны, а сопротивление резистора R(f) меняется в соответствии с рис. 18.4, в. Определить закон изменения тока в установившемся режиме.

Совместное решение двух последних уравнений дает

С ^а^~^{сРг х}).

’ |__еРП«ФН’

С₂ — ~о + С| е^{;1 т}; а = ————.

Л₂ Л,

В первом интервале времени

i^EjRi +С| е^л\

во втором

i-E/R₂ + С₂ с⁷’^{2 (}'^-х).

Кривая / = /(/) показана на рис. 18.4,6.

Пример 168. В схеме на рис. 18.4, г ЭДС е = Е + Е„, sin(o>/ + \j/), L = Z-o (1 + к sin to /) (к < 1), сопротивление R не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока.

Решение. В дифференциальное уравнение

R i +—(L /') = Е + Е_т sin(w t + ф)

подставляем ток

i = /₀ + /ц sin со / + /_]2 cosw / + /₂₁ sin 2 о/ + /₂₂ cos 2 со/. (18.12)

Выделив постоянную составляющую, получим уравнение

RIq-E. (18.13)

Равенство коэффициентов при sin со/ в обеих частях (18.11) после подстановки в него (18.12) и деления на R дает

/_п -а /₁₂ “0,5 к а /_2! = —— совц/.

R

Приравняв коэффициенты при cosw/ (после деления на /?), получим

£ а /)! + /₁₂ - 0,5 к а /₂₂ = -а к /₀ + ——sin ц/;

R

при sin2со/

а А /₁₍ +/₂₎ - 2 о /₂₂ = 0;

при cos2со/

Q к /]₂ + 2 а !2\ + 1⁼ 0’

о — со Z.q ] R .

Из (18.13) следует, что в схеме на рис. 18.4, г постоянная составляющая тока 1q не зависит от переменных составляющих индуктивности и ЭДС. Однако постоянная состав­ляющая потокосцепления, равная Lq /_о +0,5 A L_o /_и, зависит от амплитуды первой гар­моники переменного тока.

Это свойство в известном смысле напоминает первое из свойств нелинейных элемен­тов с симметричными характеристиками, описанное в § 15.17.

Запишем решение уравнений (18.14)-(18.17):

Л1 - 2 л2~' ------------------ ’ ^21 “ 7 Л1 ” ^v Лз» ^22 ^{= v} Л I “ 7 ^)2 >

а+(3 а

.. Е_т К, • , , 1 + 4 а² -0,5 а² к²

М = —— cosvp; /V = —sin у - а W_o; а =---------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- ;

Я R 1 + 4 а²

ак _о а(1 + 4а²-а² к²) 2а² к

7= , , ,; Р = —------------------------- 5--------- ; ^v =------------- г-

1+4а² 1 + 4а² 1 + 4а²

Изменяя постоянную ЭДС £ в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.

§ 1.4 Параметрические колебания. Возникающие в электрических цепях без источников ЭДС и источников тока незатухающие колебания, обусловленные периодичес­ким изменением индуктивности или емкости системы, называют параметрическими. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при периодическом изме­нении параметра либо за счет энергии, вносимой в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота первой гармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты изменения параметра.

На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных усло­виях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит из катушки индуктивно­стью L, нелинейного резистора, ограничивающего амплитуду колебаний /?(/) = Rq + к i²,

и конденсатора, емкость которого изменяется во времени: С = С_о - AC cos2 (at, ЬС[С§ <к 1, (Предположение, что <к I, принято только для облегчения решения.)

Сначала рассмотрим случай, когда емкость конденсатора изменяется механическим путем.

Внешняя сила, совершающая работу при изменении емкости конденсатора, доставля­ет в цепь энергию. Эта энергия равна потерям в активном сопротивлении. По второму закону Кирхгофа,

В соответствии с формулой (18.3) последнее слагаемое представим так:

Подставим в это уравнение i -a sin со t-b coscat, разобьем его на синусные и коси­нусные составляющие частоты со (высшими гармониками пренебрежем) и решим отно-

сительно квадрата амплитуды тока а² +Ь² = А²:

Условием возникновения колебаний в этом случае является

ДС 2/?₀ "Ч-1Ч- ■ Q VZ/cT

Качественно поясним сущность процесса поступления энергии в цепь при изменении емкости конденсатора во времени. Энергия, запасенная в электрическом поле конденса­тора емкостью С с зарядом ±д на пластинах, = $²/(2С). Если при неизменном q емкость изменить на ДС (ДС/С « 1), то энергия станет равной

2(С + ДС) 2С< С)

Приращение энергии

Верхняя кривая на рис. 18.5, в изображает изменяющийся по синусоидальному зако­ну во времени заряд q. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения емкости во вре­мени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а прямоугольным). Ког­да заряд q проходит через максимум, то емкость почти скачком уменьшается (ДС <0), когда через нуль, то емкость почти скачком возрастает (ДС > 0).

Уменьшение емкости соответствует раздвиганию пластин конденсатора, а увеличе­ние — их сближению. Поэтому, чтобы при q~q„ емкость почти скачком уменьшить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженного конденсатора притягива­ются друг к другу. Следовательно, для того чтобы раздвинуть пластины, внешний источ­ник энергии должен затратить работу на преодоление сил их притяжения. Эта работа пе­реходит в энергию электрического поля конденсатора. За период изменения q энергия кон­денсатора дважды возрастает на величину

Сближение пластин (увеличение С) происходит при q = 0, когда силы, действующие на пластины (силы поля), равны нулю. Поэтому при сближении пластин внешняя сила не совершает работы.

Поступление энергии в параметрическую цепь при изменении параметра цепи назы­вают накачкой энергии. Рис. 18.5, в качественно поясняет также, почему частота колеба­ний на схеме в рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения параметра (емкости). Если емкость стала бы изменяться во времени в соответствии с пунктирной кривой (рис. 18.5, в), то энергия в этом случае в цель не доставлялась бы (не накачивалась), ибо сколько энергии доставит в цепь внешний источник при уменьшении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при ее увеличении. Накачка энергии в цепь может происходить не только при изменении емкости, но и при изменении индуктивности во времени.

§ 1.5

Параметрические генератор и усилитель. В параметрических генераторе (ПГ) и усилителе (ПУ) емкость варьируют не механическим, а электрическим путем — изме­няя емкость диода (варикапа), находящегося в запертом состоянии. На рис. 18.6, а в ПГ зажимы ab закорочены, а в ПУ к зажимам ab подключен источник сигнала частотой о_с (показано штриховой линией). Источник постоянной ЭДС Е_о запирает диод.

«и г

Накачка энергии осуществляется от источника синусоидального тока j_H частотой о)_н и амплитудой /_нот. Часть этого тока (ток /,) амплитудой /,_да проходит через Л и £ и со­вместно с Е_о образует падение напряжения на диоде:

^и д = -£о -£'| ~^£'7Т al

(кривая 1 на рис. 18.6, б). Чтобы диод был заперт, это напряжение должно быть отрица­тельным. Диод будет заперт, если

Зависимость емкости р—л-персхода С_д‘' от напряжения на диоде д_в иллюстрируется кривой 2 (рис. 18.6, б). а изменение емкости С_д во времени — кривой / (рис. 18.6, в). Среднее за период значение емкости С_д обозначим С,.

Схема замещения параметрического генератора для частоты параметрических колеба­ний о>_р = (о_н/2 * 1 //l С| изображена на рис. 18.6, г. Вносимая генератором накачки (ис­точником синусоидального тока) на частоте t>_H энергия компенсирует потери в активном сопротивлении R на частоте w_p. Этот процесс можно трактовать как уменьшение актив­ного сопротивления колебательного контура г₃ до нуля (ср. с ламповым генератором § 16.6, в котором = R- М S/С). Амплитуда установившихся колебаний определяется энерге­тическим балансом.

Если допустить, что глубина модуляции емкости С_й т I, то, составив дифферен­циальное уравнение для колебательного контура LRC_a (зажимы ab на рис. 18.6, а короткозамкнуты);

Ri + L + — Г л dt = O
dt Cj ¹

‘‘При и_л <0 основную роль играет барьерная емкостьр—и-перехода, обусловленная перераспределением зарядов у границы областей с различным характером проводимости. При > 0 основную роль играет диффузионная емкость р—и-перехода. Она обусловле­на перераспределением зарядов в базе. В схеме на рис. 18.6. под С_д поднимается барь­ерная емкость.

получим два уравнения (синусная и косинусная компоненты):

При работе схемы (см. рис. 18.6, а) в качестве ПУ генератор накачки настраивают на такой режим, при котором вносимая им энергия уменьшает активное сопротивление кон­тура г, не до нуля (как это было в случае с ПГ), а до г, « R. Параметры Ln С, подби­рают так, чтобы ф_с = 1 С) . При этом источник сигнала (источник ЭДС f_c частотой ф_с) вызовет ток /_с=—.

^гэ

Отношение выходного напряжения (на индуктивном элементе) к входному достаточно велико — схема работает в качестве усилителя.

§ 1.6 Исследование устойчивости периодических режимов работы линейных электрических цепей с переменными во времени параметрами. Методику рассмотрим на примере цепи на рис. 18 .7, а, содержащей источник синусоидальной ЭДС Е_т cos&i. резистор /?, конденсатор С и изменяющуюся во времени индуктивность L(t) = Lq (I - т cos 2 cut), полагая, что т « 1.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для электрического заряда q кон­денсатора в периодическом режиме работы, имея в виду, что ток i = dq/ dt, напряжение на конденсаторе и₍;=$/С, а потокосцепление индуктивности равно произведению £(/) di

Первое слагаемое уравнения (18.19) заменим двумя слагаемыми:

,, . d²q dl(t) dq _ndq q _

4(z) —+ —— — + /? ~г + ~: = E_m со$фл

dt¹ dt dt dtC

Затем объединим два слагаемых с первой производной dqldt и придем к уравнению (18.21):

,.,'d²q (о dL{t)\dq ¹ г

^L(z)72^{+ я + + = COS(OZ}

dr \ dt J di C

Поделим уравнение (18.21) на L(t}:

₂

d q dt dq I _ £„ costo/

Ti²* L{() ~di ⁺ L{t}'c^q~ L(t)

Положим, что заряд q получил малое приращение д<? и стал равен <? + △?. Составим уравнение движения для возмущенного состояния:

_R , dL(t)

⁺ ₌ (18 23)

dt² L(t) dt L(t)C * L(t)

Вычтем из уравнения (18.23) уравнение (18.22). Получим уравнение (18.24) для при­ращения заряда Д^:

В уравнении (18.28) от времени / перейдем к безразмерному времени т = со/, домно-

*²П to² ₂

жив ,2 на и поделив затем все уравнение на со . Получим уравнение, называе* ^а' со

мое уравнением Матье:

d²x\

—+ 16 6 cos2t) т| = 0. dx¹

®о и 0_V — некоторые числа. Периодический режим работы схемы рис. 18.7, а окажется неустойчив, если малое приращение Zty будет стремиться неограниченно возрастать во времени. Если уравнение для приращений может быть сведено к уравнению Матье, то устойчивость периодического процесса к малым возмущениям в линейных цепях с переменными во времени параметрами определяют с помощью семейства кривых рис. 18.7, б, построенных на основании теории функций Матье.

Решение уравнения Матье может быть записано в виде:

П = С, е^дТф(т) + С₂е ^и*ф(-т).

Здесь С;,Сг — постоянные; и — характеристический показатель, являющийся действи­тельным или мнимым числом; ф(т) — периодическая функция по t или 2 т. Решение неустойчиво, если g действительно, и устойчиво, если ц мнимое.

Периодическое решение уравнения Матье записывают с помощью функций Матье. При малых b функции Матье представляют собой ряды по степеням Ь, умноженные на синусы и косинусы аргументов, кратных т. Уиттекером*’ вычислены собственные значения пара­метров**’, соответствующих функции Матье а_с„ и а#, (w = I + 3).

Зависимости собственных значений параметров функций а_с„ = /(б) и a_s>, = /(b) при трех значениях п, являющиеся граничными кривыми для трех областей неустойчивости (они заштрихованы), построены в прямоугольной системе координат а и Ь на рис. 18.7. б. Кривые исходят из точек на оси абсцисс, для которых а ~ 1, 4,9. Если при некоторых зна­чениях коэффициентов а и b в уравнении Матье изображающая точка на рис. 18.7, б ока­жется в какой-либо из заштрихованных областей, то периодический режим работы окажется неустойчив к малым возмущениям. Физически это объясняется тем, что энер­гия, доставляемая в цепь источником ЭДС и модулятором индуктивности, будет превы­шать тепловые потери в резисторе. В тех случаях, когда уравнение для приращения не может быть сведено к уравнению Матье, необходимо будет обратиться к уравнению Хил­ла. Однако исследование устойчивости в этом случае существенно усложняется (см. кни­гу Уиттекера и Дж. Н. Ватсона, книгу Т. Хаяси [32] или книгу В.А. Тафта «Электрические цепи с переменными параметрами» (М.: Энергия, 1968).

§ 18.7. Исследование устойчивости периодических режимов работы нелинейных электрических целей переменного тока с помощью функций Матье. На рис. 18.8 изоб­ражена электрическая цель, содержащая источник синусоидальной ЭДС Е„ sin(co I + у),

нелинейную индуктивность НИ, вебер-амлерная характерис­тика которой описана формулой / = ashp\p, конденсатор емкостью С и резистор R (схема ранее была рассмотрена в § 15.58; она при определенных соотношениях параметров имеет У-образную ВАХ). В установившемся режиме работы при потокосцеплении ц/ = %, sin а>1 первая гармоника тока в цели sin<oz = 2 a (-J Jj (у Р Ч'да)) sin со/. Если потокосцепление V

получит малое приращение Дф, то ток в цепи станет равным z = ash(P <Р„ sin со/+ Др Y).

*' Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. — М.: Физматгиз, 1961.

“’Под собственными значениями параметров, соответствующих функциям а_С)1 и понимают значение а при заданном значении Ь.

в котором в данном случае

2 / .

О = АО Р %,>-(— ] (4(/ Р %,) * 14(/ р S',) );

от² С V ю J к 2 )

16 b = J₂ (jр р₀ (/ р Ч-„) J₂ (J 0 Т„).

(О² С \ G> J

Далее учтем следующее.

L Энергия на возрастание возмущения в линейной и нелинейной цепях, рассмотрен­ных выше, доставляется в цепь от разных источников. В первом случае от внешнего ис­точника модуляции и от синусоидального источника, во втором — от синусоидального ис­точника питания схемы. Кроме того, в линейном случае уравнение составлено относительно а в нелинейном — относительно Это привело к тому, что знаки коэффициента b в уравнении Матье в этих двух случаях различны: в линейном случае b > 0, в нелиней­ном— д<0 (так как J₂(/AP^<F)<0.

2. В нелинейном случае коэффициент а может принимать значения от 0 до 2,2, а коэффициент | b | — от 0 до - 0,2. В линейном случае при Ь > 0 в этом диапазоне изме­нения а и b левая кривая первой области неустойчивости рис. 18.7, б описывается функ­цией а_с1 = 1 - 8 6, а правая кривая — функцией д_т1 = 1 + 8 b (см. § 3.6 [32]). Изменение знака коэффициента Ь в нелинейном случае по сравнению с линейным при b > 0 приве­дет к тому, что в указанном диапазоне изменения а и b левая кривая рис. 18.7, <5 будет описываться функцией а_л1, а правая — функцией o_d, сама же первая область неустой­чивости останется неизменной и ею можно пользоваться и при b < 0, откладывая по оси ординат модуль Ь.

3. Физически неустойчивость работы на падающем участке ВАХ цепи рис. 18.8 объяс­няется тем, что флюктуация Др 4^х приводит к появлению постоянных составляющих и второй гармоники в токе и магнитном потоке НИ. Нелинейное взаимодействие первой и второй гармоник потока, зависящее от их амплитуд и фаз (см. § 15.18), приведет к росту «постоянной» составляющей потока и возникновению отрицательной дифференциальной индуктивности НИ по «постоянным» составляющим потокосцепления и тока.

Рассмотрим пример. Вебер-амперную характеристику НИ схемы рис. 18.9 для мгновенных значений величин опишем формулой:

i = ashpy = 0.0067 sh 62.8 %

угловая частота со = 314с‘’. R - 10 Ом, С = 73.6 мкФ. ВАХ НИ по амплитудам первых гармоник U_m-f(I_m\ где

= 5р%„

В точке / рис. 18.9 Р = 2, J_o<2 Р = 2,28, J₂(j Р 4>_w) = -0,69; а, = 0,1322, by = -0,005.

Точка а,, | Ь_у | на рис. 18.7, б находится в незаштрихованной области — режим устой­чив.

на в цепь рис. 18.7, а при модуляции индуктивности по закону £(/) = L₀(\-m cos2<oz) и

2 д

при протекании тока по цепи i - !„ sin(cof - v) за один период Т =--------------------------------------------------------------------------------- . (Ответ:

Г , 2 ^ю

г AC/') i nt А i

Г--------- di =-------- 2--— sin2v.) 10. Определите, будет ли устойчив периодический режим

*2 4 л

о

работы схемы рис. 18.7, а если 4о=1Гн, С = 0,25 мкФ, R - 2 Ом, т = 0,1, со = 1. 11. Из­ложите последовательность действий при исследовании устойчивости периодических про­цессов в линейных электрических цепях с изменяющимися во времени параметрами. 12. Запишите уравнение Матье, поясните, как к нему можно перейти от уравнения для мгновенных значений величин и как можно исследовать устойчивость с помощью кривых рис. 18.7, б. 13. Поясните, почему метод исследования устойчивости периодических про­цессов в нелинейных цепях переменного тока путем придания небольшого скачкообраз­ного возмущения потокосцеплению или заряду предпочтителен по сравнению с методом придания возмущений амплитудам синусной и косинусной составляющих первых гармо­ник этих величин (как в § 17.4)? 14. Изложите последовательность действий при иссле­довании устойчивости периодических процессов в нелинейных цепях переменного тока путем сведения уравнения для приращений к уравнению Матье.

ЛИТЕРАТУРА

Учебники

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. — 11-е изд. — М.: Гардарики, 2005; Электромагнитное поле. — 9-е изд. — М.: Сардари- ки, 2001.

2. Демирчан КС., Нейман Л.Р, Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3 т. — 4-е изд. — СПб.: СП, 2003.