Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три предыду­щие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой отра­жение от разомкнутого конца линии второй падающей волны.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет в соответствии со схемой замещения рис. 12.4, о, только вместо 2 м_п1 = 2 и в схеме будет напряжение 2 м_п2 = -2 и.

Вторая отраженная волна имеет и_о2 = -и, i_o2 = i- Результирующее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, г) есть резуль­тат наложения четырех волн:

«п| ⁺ «»| + «п2 + "о2 = “ ⁺ “ - “ - “ ⁼ °;

'nl+'ol⁺'n2⁺'o!='-'-' ⁺ ' = °.

Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и ток вдоль всей линии равны нулю — линия приобретает такое же состояние, какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется до бесконечно, так как Rq и G_o были приняты равными нулю. В действительности бла­годаря наличию сопротивления и утечки G_Q колебательный процесс постепенно затухает и вдоль линии устанавливается режим, соответству­ющий установившемуся процессу в линии при постоянном напряжении.

В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута, поэтому отраженные волны имели такую же прямоугольную форму, как и падающие.

Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не похожую на форму падающей волны, если в состав нагрузки на конце линии вхо­дят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае, если в месте перехода с одной линии на другую есть сосредоточенные индуктивнос­ти и (или) емкости.

§ 12,8. Переходный процесс при подключении источника посто­янного напряжения к двум последовательно соединенным линиям прн наличии емкости в месте стыка линий. Пусть первая линия име­ет длину /, и волновое сопротивление Z_B1, вторая линия — длину /₂ и Z_b2 *Z_B>. Напряжение источника ЭДС равно и (рис. 12.5, а). В месте стыка линий есть сосредоточенная емкость С.

а б

Рис. 12.5

Требуется определить форму волны, проникающей во вторую линию, характер изменения тока через сосредоточенную емкость, а также резуль­тирующее распределение напряжения и тока вдоль первой линии при движении по ней отраженной от стыка линий волны.

Переходный процесс начинается с того, что от генератора по первой линии распространяется падающая волна с прямоугольным фронтом "п! =* ^И 41 =

Для определения характера изменения токов и напряжений, когда па­дающая волна дойдет до стыка линий, обратимся к схеме замещения с сосредоточенными параметрами рис. 12.5, б. В этой схеме нагрузка образована двумя параллельными ветвями — емкостью С и волновым сопротивлением второй линии Z_b2.

Две параллельные ветви появились в схеме замещения потому, что в исходной схеме рис. 12.5, а падающая волна, дойдя до места стыка ли­ний, встречает два пути для своего дальнейшего распространения: пер­вый путь — через емкость С, второй путь — по второй линии с волно­вым сопротивлением Z_b2.

Расчет переходного процесса в схеме рис. 12.5, б дает:

(12.31)

(12.32)

(12.33)

(12.34) (12.35)

Характер изменения /₂, /₃, /_{ и и₍ в функции от времени изобра­жен на рис. 12.6, а-г. В первый момент после подхода волны к месту стыка линий напряжение падает до нуля, так как незаряженный конден­сатор для этого момента времени представляет собой как бы короткое замыкание.

Начальное значение тока через конденсатор равно 2u/Z_B). Затем конденсатор заряжается, напряжение на нем растет, а ток через него уменьшается. Ток ь в схеме замещения представляет собой ток элект­ромагнитной волны, распространяющейся по второй линии; напряжение волны, распространяющейся по второй линии, равно /₂ Z_b2.

Для получения отраженной волны напряжения, распространяющейся по первой линии в направлении от стыка линий к генератору, из ординат кривой рис. 12.6, г нужно вычесть соответствующие ординаты напряже-

		n

ния падающей волны и затем перенести полученную кривую на линию, зная скорость отраженной волны.

На рис. 12.7, а, б изображены, соответственно, отраженные волны на­пряжения и тока.

Эпюра распределения напряжения и тока вдоль первой и второй ли­ний для момента времени, когда отраженная от стыка волна дошла до середины первой линии, представлена, соответственно, на рис. 12.7, в, г.

Перепад тока ef в кривой рис. 12.7, г равен току через конденсатор для данного момента времени. По второй линии волна продвинулась на рас­стояние, вдвое большее, чем прошла отраженная волна по первой линии. Это объясняется тем, что первая линия — кабельная, а вторая — воздуш­ная. Скорость продвижения волны по воздушной линии — 300 000 км/с, а по кабельной — около 150 000 км/с (формула для скорости и движе­ния волны по линии и входящие в нее А_о и С_о приведены в § 11.10).

Пример 130. В схеме на рис. 12.5, a Z_e] = 50 Ом; Z_b2 =400 0m; ^=100 км; С ~ 5,62 мкФ; /] = 60 км; и = 10 кВ. Первая линия — кабельная, вторая — воздушная. По­строить эпюры распределения волн напряжения и тока вдоль линий для момента време­ни, когда распространяющаяся по второй линии волна дойдет до конца второй линии.

Реш е ние. По формуле (12.35) р =--------------------- 50 + 400-------------------------------------------------------------------- -4000 с^-1.

50-400-5,62-10"⁶

Ток падающей волны по первой линии /_п =«/Z_e1 = Ю⁴/50-200 А.

По формуле (12.33), /₂ = 44,5(1 +8 е“^4000/) А. (Рис. 12.6, в.)

= «2.2 = 17750(1-е’⁴⁰⁰⁰') В. (Рис. 12.6, г.)

По условию, падающая по второй (воздушной) линии волна должна дойти до конца второй линии. Расстояние /₂ = 100 км она пройдет за время

t = 1₂ /и = 100/300000 = 1/3000 с.

За это время отраженная от стыка волна пройдет по первой кабельной линии рассто­яние, в два раза меньшее.

Графики распределения и и / вдоль линии изображены на рис. 12.7, а, б.

Перепад ef на рис. 12.7, б равен току /3 при / = 1/ЗОООс; м = 400е^-4/3 = 106 А.

Отрезок gf равен току i₂ при / = 1/3000с; = 44,5(1-e"^4/j = 32,7 А,

Отрезок мп на рис. 12.7, а равен напряжению и_с при t = 1/3000с; и₍-= 13,05 кВ.

В рассмотренном примере электрическая цепь, содержащая линию с распределенными параметрами, подключалась к источнику постоянного напряжения.

Однако часто встречаются цепи, в которых ЭДС источника изменяет­ся по синусоидальному закону во времени. Если длина линии с рас­пределенными параметрами и частота синусоидальной ЭДС таковы, что время пробега волны по линии (/ = / /и) много меньше периода перемен- ( ¹

него тока Г, например составляет величину порядка I — =• — 11, то при исследовании первых стадий переходного процесса в первом грубом приближении можно принять, что линия подключается к источнику по­стоянной ЭДС, которая равна амплитуде синусоидальной ЭДС (расчет на наиболее тяжелый случай). Если же время пробега волны по линии со-

— -г — L часть периода, то при расчетах учи

тывают изменение ЭДС источника при перемещении падающей волны по линии.

При отключении нагрузки или ее части в линиях также возникают переходные процессы. Расчет их производят на основании принципа наложения, включая в размыкаемую ветвь источник тока, который дает ток, равный и противоположно направленный току в размыкаемой ветви.

Результирующие волны тока и напряжения на всех участках линии находят наложением на волны тока и напряжения, которые были на ли­нии до отключения ветви, волн тока и напряжения, продвигающихся от места размыкания в остальные участки линии.

При подключении в каком-либо месте линии новой ветви токи и на­пряжения в этой ветви находят методом эквивалентного генератора, а токи в остальных участках линии — методом наложения.

§ 12.9. Линия задержки. Подлинней задержки, применяемой в им­пульсной технике, понимают устройство, которое включают между ис­точником сигнала и нагрузкой, служащее для задержки поступления сиг­нала в нагрузку на некоторое заданное время /₃. В простейшем случае

(при малом t₃) линию задержки выполняют в виде куска коаксиального кабеля длиной /. Он создает задержку h =//и_ф. Если хотят получить относительно большое г₃, то используют цепочку из каскадно соединен­ных одинаковых фильтров низкой частоты (см. рис. 5.1, а)_у выбирая па­раметры L и С фильтров так, чтобы полоса частот сигнала Оч-со_с нахо­дилась 1*__полосе прозрачности фильтра и чтобы а)_с<©_2> где со ₂ =у/2 /LC — частота среза фильтра. Параметры фильтра согласуют с нагрузкой R_H - ^2 L/C. Время задержки Г₃ ~ п (db/с/св)_ш=0 = п у/2 L С. Содержание, вкладываемое в термин «время задержки» (ВЗ) линии и четырехполюсника, различно. ВЗ линии — это время прохождения ли­нии электромагнитной волной. ВЗ, оказываемое четырехполюсником, — это время, отсчитываемое от момента поступления сигнала на вход че­тырехполюсника до момента, когда напряжение на выходе его нарастает от нуля до некоторого определенного значения, скажем до 0,5 от ампли­тудного, при относительно небольшом изменении формы сигнала по срав­нению с входным. Физически это время обусловлено переходным про­цессом в самом четырехполюснике и нагрузке. Выведем записанную формулу для /₃.

В § 9.5 было показано, что передаточная функция четырехполюсника /₀ = 1\ во времени, должна обладать двумя свойствами:

1) модуль i K( j ю)|= const (в частности, равен единице);

2) аргумент $0 to) = -со .

Применительно к фильтру K(j со) - 1/е* = l/(e^fle'^A). Сопоставление характеристик фильтра с характеристиками четырехполюсника для зоны прозрачности дает

|К(усо)|=1/е^в =1, А = -Ф(<о) = со/;.

Для фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а) в зоне прозрачности b = arccos А = arccos(l - со² £ С)

нелинейно зависит от со. Для определения времени задержки приближенно заменим эту нелинейную зависимость прямой с угловым коэффициентом, равным | , т. е. ло-

ложим b = со --------

Тогда время задержки, создаваемое одним фильтром,

- = (- ^db Ю ₌

^G 'l>Lo ~ rf(l-co² LC} da

—............................ (-2 со L С) *-------- -L— (-2 со L С) = у/2 LC.

Vl-(l-co² LC)² a-J2LC

Если каскадно соединены л фильтров НЧ, то время задержки в п раз больше: = п у/2 L C.

Если сигнал, проходящий через четырехполюсник, представляет собой короткий импульс, то его частотный спектр весьма широк и четырехполюсник, в отличие от линии с распреде­ленными параметрами, нс в состоянии пропустить без затухания колебания всех частот. В этом случае можно только условно говорить о времени задержки, понимая под ним ус- db '

редненную производную —, подсчитанную для основной части частотного спектра. da

§ 12.10 Использование линий для формирования кратковременных импульсов.

На рис. 12.8, а изображена схема, позволяющая формировать прямоугольные импульсы тока в нагрузке Я_н. В схеме имеется источник постоянного тока / и три линии. При размыка­нии ключа от источника тока / по первой линии длиной /₍ с волновым сопротивлением Z₈ распространяется прямоугольная падающая волна тока //2 и волна напряжения / Z_e/2. Дойдя до узла а, волна частично пройдет во вторую и третью линии и частично отразится. Для определения волн, проходящих во вторую и третью линии, служит схема замещения на рис. 12.8, б. Из нее следует, что /₂ = / /4 и /_} = //2.

По второй линии распространяется волна U_z = /₂ Z_B, по третьей — 0,5 Z_B.

Волна U2, Дойдя до конца второй линии, где включена нагрузка /?_и = Z„. поглощается в ней без отражения.

Волна дойдя до короткозамкнутого конца третьей линии, отразится от него с пе­ременой знака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна напряжения -/₀ • 0.5 Z₈ = -/ Z„ /2, дойдя до узла а, вызовет токи /₂ = /{=-/ /4 в первой и второй линиях в соответствии со схемой замещения (рис. 12.8, в). Волна тока Г_} поглощается без отражения в сопротивлении Z_B, шунтирующем источник тока. Как только волна тока 1’₂ дойдет до конца второй линии, импульс тока в нагрузке Л_н прекратится, поскольку токи /₂ и /₂ равны по величине и противоположны по знаку. Прямоугольный импульс тока через нагрузку появится через время (/, +/₂)/и и протекает в течение времени 2/₃/и, равного удвоенному времени движения волны по линии длиной /j.

До сих пор в гл. 12 рассматривали переходные процессы в линии, используя метод наложения падающих и отраженных волн, продвигающихся по.линиям без затухания (так как было принято, что Rq = <7_о = 0 ). Теперь рассмотрим, как рассчитывают переходные процессы с учетом /?₀ и G_o.

§ 12.11 Исходные положения по применению операторного мето­да к расчету переходных процессов в линиях. В линии с распределен­ными параметрами ток / и напряжение и являются функциями времени и расстояния от начала линии, т. е. i = i(x, и = и(х, Г). Току i(x, t) со­ответствует операторное изображение /(х, /?), а напряжению u(xj) — операторное изображение (7(х, р).

Кроме того, имеют место соотношения

L₀(5/5z) z(x, t) = L_q p /(x, p)\ G^dldt) u(x, f) = G₀ p U(x, p).

Имея это в виду, запишем уравнения (11.1) и (11.4) в операторной форме:

-------- = Z_o Я*, рУ, (12.36) ах

(12.38)

(12.39)

Уравнения (12.36) и (12.37) отличаются от уравнений (11.7) и (11.8) тем, что j (а заменено на комплексную частоту р. Из (12.36) и (12.37) следует, что

/(*> Р) =

На рис. 12.9 изображена линия длиной /, нагруженная на Z_H(p). На­пряжение в начале линии — (7|(р), в конце линии — ^₂(р)- Напряже­ние генератора U_T(p). Внутреннее сопротивление генератора— Z_r(p); х — расстояние текущей точки на линии от начала линии. Операторное

Обозначим а - ; Ь = -^г-;

^Zh(P)

чения в (12.52) и (12.53). Получим

Поделив числитель на знаменатель формулы (12.55), получим изоб­ражения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной на расстояние х от начала линии:

(/(х, р) = U_r(p) (F_}(p) е~^ух + F₂(p) - F₃(p) _е-^у(2/+х) -

- F_A(p) е’^у(4/-^х> + F₅ е"^у(4/+х) + F₆(p) е’^у{б/-х) -.,.).

Аналогично для тока:

К*, р) = <F\(P) е'" - 5(Р) е'^т(2'~ - F₃(p) е'¹"²'"’ +

2>(Р)

+ F₄(p) e’^Y(4/-^x) + F_{s е}-^у(4/+х) - F₆(p)е-^у{61^ -

Здесь

Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12.56) и (12.57) с учетом того, что t/_h Y, Z_r, Z_B и Z₂ являются функциямир, в общем случае оказывается довольно громоздким делом. Поэтому ог­раничимся рассмотрением лишь нескольких задач.

§ 12.12 Подключение линии без потерь конечной длины /, разом­кнутой на конце, к источнику постоянного напряжения. В этом слу­чае Rq =G_o =0 ив соответствии с (12.44) и (12.45)

у = Ру /LqCq =р/и; Z_B =7^о/С₀; Ц(р)^С/ / р.

Обозначим время прохождения волной расстояния / через т₀ (т₀ =//и) и время х/и через т. Тогда из (12.52) следует, что

р ch р т₀ р

Поделив почленно числитель на знаменатель, получим

U(x,р) = — + е^-'’*²’’"” --е'^р<л+ е“^/,(4'»*’> + ...).

^Р (12.58)

В соответствии с теоремой смещения в области оригиналов (см. § 8.40) от (12.58) перейдем к функции времени

_W(x,r) = i/ (1 (/-т) + 1(г-(2 т₀-т))-
-1(/-(2 т_о+т)) + 1О~(4 т₀+т)) ^—...).

Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке запи­сано как сумма падающих и отраженных волн напряжения (что совпада­ет с решением, полученным в § 12.7 волновым методом), не затухающих по амплитуде. Каждое слагаемое решения вступает в действие, когда аргумент соответствующей единичной функции становится 0.

§ 12.13 Подключение линии без искажения конечной длины 7, разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения I/. В этом случае

/?0 / - Go / Со - 5, у — (р + 6) >/Aq Cq — (р + 5) / и; Z_e — -^Lq/Cq.

Из (12.52) следует, что

... . U сЩр + 6) (I - х»

^U(X '^P}-p ch((p _{+ 5})VZ^/) ⁼

_ £ ch(p + 5) (т₀-т) ₌ £ _e ^(F *^S)(T°~^T)-ье'^(р*^8)(т,|~^т)

Р Ch(/? + 5)T₀ р _e(/’*S)r_{|1 +е}-(/>+8)т„

Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к функции времени:

и(х, t) = (7(е"^5т 1(г - т) + е“^(2тц-т)51(/ - (2 т₀ - т))-
__е-(2г_о+х)8 ](,_(2т₀+т))-е-^(<и,>“^т)8 1(7-(4 т₀-т))+ ...).

Падающие и отраженные волны теперь затухают по амплитуде по экспоненциальному закону в зависимости от пройденных ими расстоя­
ний. Установившееся значение напряжения в конце линии при t -> а> в соответствии с п. 5 § 8.40:

lim pU(l,p) = ----------- ^,^Ch ° --------------------------- --------------------------- =.--------------------------- (12.62)

p-о ch(S С_о /) ch / Ло у1с₀/^

§ 12.14 Подключение бесконечно протяженного кабеля без индук­тивности и утечки к источнику постоянного напряжения V. Полага­ем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположены друг к другу (поэтому £₀ -0) и его изоляция между проводами очень хорошая (С?_о*О). Тогда согласно (12.44) и (12.45) y^RC р; Z_B -^R/C р. Обозначим а = х <JRC и учтем, что Ц(р) -U/р.

По (12.52) и (12.53)

Функция

(в нашем случае z = х <jRC /2 Л = а/2Л ) представляет собой интег­рал ошибок Гаусса (рис. 12.10, а).

Решение для напряжения и тока:

Отметим, что решение, полученное в предположении, что у кабеля Z_o = Go ^s 0’ имеет два недостатка:

1) напряжение и ток передаются от точки к точке не с конечной, а с бесконечно большой скоростью;

2) ток в начале линии в момент включения достигает бесконечно боль­шого значения (в действительности он ограничивается хотя и малым, но конечным сопротивлением источника питания).

3) 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки к источнику постоянного напряжения. Полагаем G_o = 0 и из формул (12.44) и (12.45), обозначив v = y/LC; b = R$l2L_Q, определим

у = yl(RQ + р L_Q) рС₀ = -^р⁷ +2Ь р\ и

Изображение напряжения в начале линии Ц (0, р) -U / р. В соответ­ствии с формулами (11.37) и (11.38) изображение напряжения и тока в точке, удаленной на расстояние х от начала линии,

... X

U(x,p) = — е
Р

Для определения тока /(х, /) как функции времени / и расстояния х (для t >х/и = т) воспользуемся табличным соотношением:

где Jq (у b Nt² — т²) — бесселева функция нулевого порядка от мнимо­го аргумента. Значения ее приведены в табл. 15.1. Следовательно,

В соответствии с (12.65) на рис. 12.10, б изображена зависимость

'(у) = ДЬ I) = /(~1 . fa U£_o J ! ^0

Из рисунка видно, что при малых х (малых R_Q х/(2 и Д_о)) ток i, по­лучив большой начальный толчок, уменьшается во времени. При боль­ших значениях х ток / после скачка сначала возрастает, а затем умень-

шается. Так как для линии с распределенными параметрами, у которой

Возьмем частную производную от i(x,t) (см. (12.65)) по х, подста­вим ее в (12.66) и учтем также напряжение, обусловленное скачком тока на фронте волны. В результате получим

где J_} — функция Бесселя первого порядка от мнимого аргумента (см. табл. 15.1). Слагаемое е"^Лх/и в (12.67) соответствует скачку тока на фронте волны. На фронте волны в точке х в момент х/у ток равен 1с~ —

U ~ е ^u , а в соседней точке х + Дх в тот же момент времени ток еще отсутствует. Поэтому напряжение, вызванное скачком тока на фрон­

те волны,

, с. pi _hx Ьх

------ i(x, i) ^{х &х} = - 0 + —- ° - е ^и = U е ^и . у С_о * у С_о

Вопросы для самопроверки

§ 1.1 каких допущениях на первом этапе изучения рассматривают переходные про­цессы в линиях с распределенными параметрами? Какими дифференциальными уравне­ниями описывают эти процессы? 2. Как понимать, что аргументами функций,, являющих­ся решением, оказываются (z-x/и) и (г + х/и)? 3. Как показать, что для линии без потерь характер изменения и или i падающей волны а любой точке линии повторяет характер изменения и и i в начале линии, но с запозданием во времени? 4. Как согласовы­вают переходные процессы в линиях с распределенными параметрами с переходными про­цессами в нагрузке на конце линии? 5. Обосновать методику составления схем замеще­ния для исследования волновых процессов, когда волна дойдет до нагрузки. 6. Как из временных графиков напряжения и„ на нагрузке и тока i_H в нагрузке получить графики отраженных волн и₀ и i₀ на линии? 7. Какова идея расчета переходных процессов в ли­нии с распределенными параметрами при отключении нагрузки или части ее? 8. Охарак­теризуйте стадии волнового процесса при подключении разомкнутой на конце линии дли­ной / к источнику постоянного напряжения, полагая сначала для линии /?о =Gq =0, а затем, что линия является линией без искажения. 9. Как от уравнений для мгновенных значений тока и напряжения перейти к уравнениям, записанным для операторных изоб­ражений этих величин? 10. В каком случае в качестве линии задержек используют линию с распределенными параметрами, а в каком — каскадное соединение фильтров ИЧ? 11. Объясните идею формирования кратковременных импульсов с помощью линии с рас­пределенными параметрами. 12. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15.17.

Глава тринадцатая