36 37 38 39 40 41 42 / 97 42 43 44 45 46 47 48 49

С распределенными параметрами

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 15

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

§ ПЛ. Основные определения. В данной главе рассмотрены основы теории установившихся процессов в электрических цепях, содержащих линии с распределенными параметрами.

Электрическими линиями с распределенными параметрами называют такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функциями времени и пространственной координаты.

Эффект непрерывного изменения тока и электрического напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными в пространстве продольными и поперечными элементами (рис. 11.1, а).

На рис. 11.1, а изображен участок линии с распределенными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии.

Сопротивления Z_lfZ₂,Z₃,... называют продольными, в них включены сопротивления прямого и обратного проводов; сопротивления Z₄, Z₅, Z₆,... называют поперечными.

В результате утечки тока через сопротивление Z₄ ток /₂ Аналогично, ток /₃ * i₂ и т. д. Напряжение между точками а и b не равно напряжению между точками с и d и т. д.

7ГТГ7777ТГ77777777777777777777Г7ТГ7777

Рис. П.1

В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих Друг Другу участков линии длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины. Участок линии на рис. 11.1, а однороден, если Z, = Z₂ = Z₃ =... и Z₄ - Z_s = Z₆ -....

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны или поперечные сопротивления неодинаковы.

Кроме того, линии с распределенными параметрами можно подразделить на две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных линиях с распределенными параметрами продольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них токов.

Кроме электрических диний с распределенными параметрами существуют и магнитные линии с распределенными параметрами. Под магнитными линиями с распределенными параметрами понимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней (см. § 14.24).

В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления самих магнитных стержней, образующих магнитную линию, а поперечные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии.

Примером нелинейной электрической линии с распределенными параметрами является электрическая линия передачи высокого напряжения при наличии между проводами линии тихого электрического разряда (явление короны на проводах). В этом случае емкость между противостоящими друг другу участками линии является функцией напряжения между этими участками.

Примером нелинейной магнитной линии с распределенными параметрами является линия, образованная параллельно расположенными магнитными сердечниками, которые в процессе работы линии могут насыщаться.

Когда используют термин «линия с распределенными параметрами», то обычно его мысленно связывают с мощными линиями передачи электрической энергии на большие расстояния, с телефонными и телеграфными воздушными и кабельными линиями, с рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном транспорте, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками. В то же время с линиями с распределенными параметрами имеют дело, когда «линий» в буквальном смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно высоких частотах представляет собой линию с распределенными параметрами. Картина электрического и магнитного полей катушки показана на рис. 11.1, б. Ливии напряженности электрического поля £ показаны штриховой линией, линии напряженности магнитного поля Н — сплошными линиями.

Схема замещения катушки показана на рис. П.1, в. Из рисунка видно, что кроме индуктивностей в схеме есть межвитковые емкости и емкости на корпус прибора (на землю). Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитковые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизмеримо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки. В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению переменного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление (количественные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры катушки соизмеримы с длиной волны) индуктивная катушка является типичной линией с распределенными параметрами. Если индуктивная катушка намотана на стальной сердечник, который способен насыщаться, и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой сложную совокупность из электрической и магнитной нелинейных цепей с распределенными параметрами.

В главе 11 рассмотрены основы однородных линейных цепей с распределенными параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными параметрами на переменном •токе. Теория однородных линейных электрических цепей с распределенными параметрами на постоянном токе непосредственно следует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю.

Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами, только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, электрическое напряжение заменено магнитным напряжением, продольное активное сопротивление — продольным магнитным сопротивлением, поперечная электрическая проводимость — поперечной магнитной проводимостью (см. главу 14). Теория магнитных линий с распределенными параметрами на переменном токе рассмотрена во втором томе учебника, г

§ 11.2 Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами. Пусть — продольное активное сопротивление единицы длины линии; Д_о — индуктивность

Рис. 11.2

единицы длины линии; С_о — емкость единицы длины линии; G_Q — поперечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость G_o не является обратной величиной продольного сопротивления Rq.

Разобьем линию на участки длиной dx (рис. И.2), гдех — расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление равно /?о dx, индуктивность — Л_о dx, проводимость утечки — Gq dx. Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через /, а напряжение между проводами линии — через и. И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные производные от и и i по времени / и расстоянию х.

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен I, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен i +— dx, где дх dil дх — скорость изменения тока в направлении х. Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.

Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце участка

ди , для того же момента времени напряжение равно и + — dx.

дх

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:

После упрощения и деления уравнения на dx получим

Ток di (см. рис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость G_q dx и емкость С_о dx:

Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда

di = и Gq dx + C₀ dx —.
dl

Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на dx:

Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

§ 11.3 Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе. Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся символическим методом.

Изображение тока

i = I_n, sin(« I + <р,) -> i ,

где / = е^{у Ф1} /41.

Изображение напряжения

u = U_m sin(co Г ч- <р„) —> С/ е⁷

где U = U_m е⁷ / Л..

Комплексы U и / являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель е⁷“' есть функция времени /, не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой — функцией только /, дает возможность перейти от уравнений в частных производных (уравнений (11.1) и (11.4)) к уравнениям в простых производных. Действительно,

дх дх ’

dt dt

dx dx'

C_a~^Ju>C₀()e^J,“ ot

(11.6)

Подставим (11.5) и (11.6) в (11.1) и (11.4), сократив в полученных уравнениях множитель е^;ыГ:

где

(И.7)

(И.8)

(П.9)

(H-Ю)

Решим систему уравнений (11.7) и (11.8) относительно U. С этой целью продифференцируем (11.7) по х:

dx* dx

(И.Н)

В (11.11) вместо dl / dx подставим правую часть уравнения (11.8):

^- = Z_or_oy. (11.12)

Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение

е^уЛ +А₂

(11.13)

Комплексные числа А_} и Д есть постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линии.

Комплексное число

(11.14)

называют постоянной распространения; его можно представить в виде

У = а + У Р,

(И.15)

где а — коэффициент затухания, характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линий, например на 1 м (км); р— коэффици-

ент фазы, характеризующий изменение фазы падающей волны на единицу длины линии, например на 1 м (км). Следовательно,

[У1 = [а] = [р] = 1/м.

Ток I найдем из уравнения (11.7):

Отношение Z_Q/y = Z_o/*o = лМо /^о» имеющее размерность со

противления, обозначают Z_B и называют волновым сопротивлением:

где z_B—модуль; <р_в—аргумент волнового сопротивления Z_B. Следовательно, « 4

/=А_е'^тх-А_е^т\
Z Z

§ 11.4 Постоянная распространения и волновое сопротивление. Как указывалось ранее, постоянная распространения

у - а + / р = J со £_о) (С_о + / со С_о). (11.19)

Для линии постоянного тока СО=;0 и потому

Y = 7«_oG_o. (11.20)

Для линии синусоидального тока без потерь (Я_о = Gq ~ 0)

у = j со -JRq Cq. (11.21)

Запишем формулы для приближенного определения Р и а в линии с малыми лоте рями, когда RqI& Lq «1 и G_o/coC_o « I. С этой целью перепишем формулу (11.19) еле дующим образом:

и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда (т. е. воспользу емся соотношением VI + х «1 + 0,5 х ). В результате получим

р - й) J Lq С_о.

Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (о = 0) из (11.17) следует, что

Z„ = А^о- (11.25)

Для линии синусоидального тока без потерь (Rq = G_o = 0)

Z^L^C*. (11.26)

Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда

Для реальных воздушных линий |Z_e |~ 300+ 600 Ом, ]ZJ «в 50 + 200 Ом. Угол Ф имеет емкостный характер.

§ 11.5 Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии. Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при х - 0 напряжение {7| и ток Составим уравнения для определения постоянных Л, и А₂ через и Д. Из (11.13) и (11.18) следует (х = 0):

Ц = а₂ + а_}-

~ А₂ ~ А-

Для определения из (11.28) вычтем (11.29):

4 =0,5 (Ц A ZJ = Ai (11.30)

А=0,5(Ц+/₁7_в)=/1₂е-^/ч/", (11.31)

где А_}—модуль; у₀— аргумент комплекса Д; А₂—модуль; ц/_п — аргумент** комплекса А₂.

Подставим (11.30) и (11.31) в (11.13):

Введем гиперболические функции. Известно, что

chx = 0,5 (е^х + е“^х), shx = 0,5 (е^х -е^-х).

Индексы «о» и «п» — начальные буквы слов «отраженная» и «падающая» волны (см. § 11.8).

Формулы (11.34) и (11.35) позволяют найти комплексы напряжения и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих формулах является комплексное число у х = а х + j Р х.

§ 11.6 Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические функции от комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Заменим ух в уравнениях (11.32) и (11.33) на aх + урх:

ch_Yx = |(e^aV^,!j'+e-‘"e-'^|ix);

shrz = l(e“V^₽'^,-e-“'e-^j|!l).

По таблицам показательных функций найдем значение е^ах и е^-ах и на комплексной плоскости (рис. 11.3) отложим векторы е^ахе^урх и е~^ахе"-^/ $^х. Первый из них по модулю равен е^ах и относительно оси действительных значений повернут на угол р х против часовой стрелки; второй по модулю е"^{а х} и относительно оси действительных значений повернут на угол Р х по часовой стрелке.

Рис. п.з

Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а гиперболический синус — их полуразности.

§ 11.7. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии. Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии у, а длину всей линии (рис. 11.4) Г.

(11.36)

начало

Рис. 11.4

линии

конец
линии

Пусть известны напряжение и ток в конце линии (Л и /₂. Подставим х = 7, 4/=6'₂, / = /₂ в (11.13) и (11.18) и составим два уравнения для определения постоянных интегрирования А_} и Д₂¹

4/₂ = Л ^e~^v/ + Л ^eY/>

Л Z„ = e"^,z - Л, е^у1.

Отсюда

Л, = 0,5 (1>₂ -/₂ Z.) е"" = А, е'

Л₂ = 0,5 (У₂ +/₂ Z,)e-" = A₂e^Jv’.

(11-37)

Если подставить (11.37) в (11.13) и (11.18), заменить 1-х на у и перейти к гиперболическим функциям, то получим

U = U₂ chyy + /₂ Z_B shy у;

(11.38)

shy у + /₂ Z_B chyy.

(11.39)

Зная U₂ и с помощью формул (11.38) и (11.39), можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

§ 11.8. Падающие и отраженные волны в линии. Подставим в формулу (11.13) j] е⁷⁴'⁰ вместо Л,, А₂ е^7Ч,п вместо А₂ (см. (11.34)), заменив У на а + ур, получим

U = A_X + А₂ e’^axe^7(v”‘^Px)

(11.40)

Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.18), причем в дополнение заменим Z_B на z_B е^{У Ф}" (см. формулу (11.17)):

4. _A <»*p/(Ve+px-4>.) ■ ^2 р-алг 7(^_л-р.г-ф«)

Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям времени умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на V2 e^yw/ и от произведений возьмем мнимую часть:

и~ A_t V2e^arsin jfat + у₀ + 0х) + Л₂ V2e"^a ' sin + -₽х); (11.42)

(11.43)

е ^arsin(tof + ц/_п-рх-ч>_в).

Падающей электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направлении увеличения координаты х. Электромагнитное состояние определяется совокупностью электрического и магнитного полей, обусловливающих друг друга. Падающая волна, распространяясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения (второе слагаемое формулы (11.42)) и падающей волной тока (второе слагаемое формулы (11.43)). Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения (первое слагаемое формулы (11.42)) и отраженной волной тока (первое слагаемое формулы (Н.43)).

Знак минус отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет с собой падающая волна.

Каждая компонента падающей волны (волны напряжения или волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается по мере роста х (множитель е”^{и т}), а аргумент является функцией времени и координаты х.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны затухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (множитель e⁰¹"*).

Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии.

На рис. П.5 изображены графики распределения падающей волны напряжения вдоль линии (в функции х) для двух смежных моментов времени: Г) и t₂ >/_Р Падающая волна распространяется слева направо. При построении принято й)/₅ +у_п -0.

Рис. 11.5

Рис. 11.6

На рис. 11.6 представлены графики распределения отраженной волны напряжения для двух смежных моментов времени: 6 и t₂ >t\. Отраженная волна распространяется справа налево.

§ 11.9 Коэффициент отражения. Отношение напряжения отражен ной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии

называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают К_и. В соответствии с формулой (11.40)

При согласованной нагрузке К_и=0, при холостом ходе К_и=1. Коэффициент отражения по току К, - -К_и.

§ 11.10 Фазовая скорость. Фазовой скоростью 4$ называют скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соответствии с формулой (11.42)

со t + “0 ^х - const.

Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства:

— (со I + ц/_п - р х) = 0, или со - Р ~ - 0.
dt dt

Отсюда

dx (а

Уд, ⁼ '— ⁼ —¹^ф dt р

Пример 116. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с малыми потерями.

Ре ше н ие. Из формулы (11.24) следует, что 0 - со у /Lq С_о. Поэтому

Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии

Lowin', п г

где Мо — магнитная постоянная: d— расстояние между осями проводов; г — радиус каждого провода.

Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии [I]: