Формулу (8.75) называют интегралом Дюамеля.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формулу вместо переходной проводимости g(/) будет входить переходная функция h(t), если на входе цепи действует источник ЭДС

(напряжения), и переходное сопротивление /?(/), если на входе цепи дей ствует источник тока.

§ 8.54 Последовательность расчета с помощью интеграла Дюа­меля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа:

1) определение переходной проводимости g(/) (переходной функции А(г)) для исследуемой цепи;

2) нахождение g(/ - т) (Л(/ - т)). С этой целью в формуле для g(t) заменяют / на (/ - т);

3) определение Для этого находят производную от заданного напряжения u(t) по времени /ив полученном выражении заменяют / на т;

4) подстановка найденных на этапах 1-3 функций в формулу (8.75), интегрирование по переменной т и подстановка пределов.

Пример 101. Найти ~ f(i) и и₂ = f(t) при замыкании ключа на схеме рис. 8.40. Напряжение источника ЭДС «(/) = 100(1-е^-а/) В; а~0,25с~^}; Я» 0,5 Ом; /,|=1Гн;

М = 0.5 Гн.

Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно включенных R и L.

g<0 = 1 ₍j _ _Q-^h<),

Л
где

рмуле (8.75) выпадает, так как ц(0) = 0. При этом

»'(/) = —100(1-е'^я')= 100 о с^-я'; dt

ц'(т) = 100ое"^ят;

'](/)= р'(т) g{t - т) dx - |е'^о: (l-e"^A('”^:))</t.

• к *

о о

При интегрировании учитываем, что о г ^г не зависит:

/,(/) = 200 (1 + е’°-⁵' - 2 е"⁰²⁵') А.

Напряжение на зажимах вторичной обмотки

м₂(_Г) = м = 50 (е“°-²⁵' - е’°-⁵') В.

§ 8.55 Применение интеграла Дюамеля при сложной форме на­пряжения. Пусть напряжение u(t) изменяется во времени по сложному закону, например в соответствии с рис. 8.41. Начальное напряжение равно и(0). В интервале от / = 0 до /=/, напряжение плавно растет, и закон

его изменения u^t). В момент t = t_} оно ме­няется скачком от и_а до u_h, а затем снова изменяется, но уже по другому закону и₂ (/) во времени. При t-t₂ напряжение скачком уменьшается от и_с до нуля.

Требуется найти ток в каждом из трех ин­тервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от t = 0 до t - z, (не включая скачка напряжения от и_а до и_ь)\ под вторым — от до 1₂, включая скачок от и_а до u_hi но не включая скачок от и_с до 0; под третьим — при t > t₂, включая скачок от и_с до 0.

Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под t фикси­рованный момент времени, в который требуется найти ток. На основании принципа наложения ток в любой момент времени t определится как сум­ма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента /.

В первый интервал времени

/(/) = и(0) g(t) + JWj'(t) g(r - г) dx.
о

Во второй интервал времени

h

i(t) = w(0) g(0 + Jw[(t) g(t- t) dx + (u_h о

где слагаемое (u_b -u_a) g(l~/_t) обусловлено скачком напряжения от и_а и и_ь в момент времени

В третий интервал времени

/(Г) = w(0) g(t) + Ji/,'(т) g(t - т) dx + (u_h - и_а) g(t -/j) +
о

'j

+ /«гСО g(/-x)^T + (0-wj g(/-/₂)‘

'i

Пример 102. В электрической цепи (см. рис. 8.40) в момент времени / = 0 замы кает - ся ключ и напряжение «(/) изменяется в соответствии с рис. 8.41; и(0) = 50 В. В первый интервал времени от / = 0 до / = /₍=4с напряжение w₍(/) = 150-100е^-<,/1, где а = 0,25 с"¹. Во второй интервал времени от / = /₁₌4с до / = /₂=6с и₂(/) = 50 + 100е"^с('^_/|), где с = 0.4с'¹. Параметры схемы (см. рис. 8.40) /? = 0,5Ом; L] = I Гн (вторичная цепь разомкнута).

Найти закон изменения тока во времени для обоих интервалов времени, а также значения тока i_t при г, равном 2 и 5 с.

Решение. В соответствии с § 8.54 переходная проводимость

g(f) = 1 (1 “ е’*'); b = у = 0.5 с"¹; g(t - т) = ~ (1 - е-^А(/’^т))-

К L к

В первый интервал времени и'(т) = 100 се'"¹. Поэтому

/| (О = «(0) g(/) + jw'(T) g(t - х) dx =
о

_{= +} [е'"^т(1-е'^А(,-^т))<Уг =

R R *

о

= I00(!-e^-0>s') + 200(l + e’°-^s' -e'⁰²⁵').

Приг = 2 c /, = l00(l-e”^l) + 200(l + e"¹-2e^-0,5) = 94,9 A.

Во второй интервал времени (включая скачок и_ь - и_а = 36,9 В )

Ъ /

'1(0 = и(0) g(/) + Jw[(r) g(t - т) dx + (u_h - u„) g(i J«2(T) g(t ~x)dx\
0 'I

^(т) = -Ю0се‘‘^гс^с'¹;

/, U) = 100 (I - e '°-⁵') + 200 (0,632 - 1.718 e ^-A5') + (1 - e'⁰³ >) -

0 j 5

—e’^c' ₊Az£_c-‘'i _+e"^c'i _c-c('-'i))_e-<'».

(b-c)R с c

При I = 5 c /) = 204.32 A.

§ 8.56 Сравнение различных методов расчета переходных процес­сов. Классический и операторный методы расчета теоретически можно применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользо­ваться, во многом зависит от навыка и привычки.

Однако классический метод физически более прозрачен, чем опера­торный, в котором решение уравнений во многом формализовано.

Если при сравнении методов исходить из объема вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков — операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирова­ния в классическом методе. Операторный метод имеет перед классичес­ким явное преимущество при решении задач, в которых определение принужденной компоненты искомой величины оказывается затруднитель­ным вследствие сложного характера вынуждающей силы, а также при решении уравнений в частных производных (см. § 12.13-12.15). Если воздействующее напряжение изменяется во времени, например линейно или в виде всплеска одной или нескольких экспонент, рекомендуется применять операторный метод или интеграл Дюамеля. Но основной об­ластью применения интеграла Дюамеля являются случаи, когда напря­жение изменяется по сложному закону во времени, например при нали­чии скачков напряжения (см. § 8.55), или когда переходная проводимость g(r) и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически

(в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интег­рирования).

Рассматриваемый в § 8.66 метод расчета переходных процессов, получивший название метода пространства состояний, используется глав­ным образом, когда расчет осуществляется с применением ЭВМ. Для ручного счета этот метод громоздок.

Классический и операторный методы, а также метод пространства состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеют общий недостаток: необходимость определения всех корней характеристического уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5-, 6-, 7-й, ...) требует много времени. В этих случаях может быть рекомендо­вано числовое решение на ЭВМ уравнений, составленных по методу про­странства состояний; может быть применен и спектральный метод в том виде, в каком он рассмотрен, например, в гл. 9. Кроме того, в этих слу­чаях используют моделирующие установки.

§ 8.57 Дифференцирование электрическим путем. Для четырехпо­люсников (рис. 8.42) при определенных условиях выходное напряжение и₂(/) пропорционально производной от входного напряжения ^(Г),

т. е. м₂(/)« du_x(f)ldt. Схему на рис. 8.42, а применяют чаще схемы на рис. 8.42, б, так как при практическом осуществлении она обладает мень­шими габаритами, массой и более удобна при регулировке.

Если u_}(t)=U_}(p), то du\(t)/dt = р Отсюда следует, что четы­рехполюсник осуществляет дифференцирование, если для него

Для схемы на рис. 8.42, а 6/₂(р) " Ц(р)

Чтобы схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить условие | Л С р |« 1, тогда t/₂(p)« RC р Ц(р). Для синусоидального процесса заменим р на j со и тогда схема на рис. 8.42, а будет выпол­нять свои функции, если со RC « I.

Аналогично доказывается, что для схемы на рис. 8.42, б необходимо выполнить условие (со L/ R) « 1. Если u_x(t) — несинусоидальная пери­одическая функция, то эти условия должны выполняться для наивысшей частоты функции Wj(z).

При дифференцировании импульсных воздействий длительностью /_н параметры схем на рис. 8.42 должны удовлетворять условиям RC « t_H и L!R « г_н. Эти условия получим из двух предыдущих, если в первом приближении будем считать, что поступление на вход четырехполюсни­
ка импульса длительностью г_н соответствует воздействию на вход од­ной полуволны синусоиды частотой (о = 2л/(2/_н) = л:/г_н.

§ 8,58. Интегрирование электрическим путем. Для четырехполюс­

ников (рис. 8.43) при определенных условиях выходное напряжение

Схема на рис. 8.43, а предпочтительнее схемы на рис. 8.43, б по при­чинам, упомянутым в § 8.57.

Если то р](г) р' Отсюда следует, что схема

выполняет свои функции, если соотношение между ее параметрами обес­печивает выполнение соотношения (У₂(/?) = U\{pVР-

JXnn схемы на рис. 8.43, a U₂(p') = U_x(p')/(R С р +1), т. е. для нее дол­жно быть | R С р | » 1. Заменив р на j со, найдем условие w R С » 1, при котором схема на рис. 8.43, а будет выполнять функции интегриру­ющего звена при синусоидальном процессе. Для схемы на рис. 8.43, б со Ы R » 1.

При интегрировании импульсных воздействий длительностью z_H дол­жны быть выполнены следующие условия: /?С»г_н для схемы на рис. 8.43, а и L/ R » t_H для схемы на рис. 8.43, б.

Напряжение с выхода интегрирующего (дифференцирующего) устрой­ства подается для наблюдения (записи) на электронный осциллограф.

§ 8.59 Передаточная функция четырехполюсника на комплексной частоте. Под передаточной функцией четырехполюсника К(р) на ком­плексной частоте р понимают отношение выходного напряжения 4/₂(р) ко входному U\(p} (рис. 8.44, а):

К(р) зависит от схемы четырехполюсника, числового значения элемен­тов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника (рис. 8.43, б)

К(р) =------------- . Из уравнения (8.76) следует, что

R + р L

U₂(p) = K(p)U_}(p).

Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоидально­го процесса на частоте со понимают отношение

X'(yco) получают из K(p) заменой р на у со, |/С(усо)|— модуль, а

ср(со)— аргумент K(j со). Для схемы на рис. 8.43, б K(j со) ------------------------------------------- ------------------------------------------------------------- -

ср(со) = arctg

Зависимости | K(J со) и ф(со) изображены на рис. 8.44, б, в. Если не-

сколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно (рис. 8.44, г) и известны передаточные функции каждого четырехполюс­ника, то передаточная функция каскада в соответствии с формулой (8.77) равна произведению передаточных функций этих четырехполюсников:

Пример 103. На рис. 8.45 изображена замкнутая система (система с обратной связью). Она состоит из основного четырехполюсника с передаточной функцией К(р) и четырехполюсника обратной связи с К_ос(р) Функцию последнего часто выполняет уси­литель, работающий в режиме пропорционального усиления. Вывести формулу передаточ­ной функции всей системы К_зс(р).

Решение. На вход основного четырехпо­люсника поступает основной сигнал G'_t(p) и сигнал с выхода четырехполюсника обратной свя­зи, поэтому

U₂(p) = (U_](p)±U_oc(p))K(p). (8.80)

Кроме того,

Uoc(P>= Koc(p)U₂(p). (8 81)

Подставим (8.81) в (8.80). Получим

Л. (Р) —--------- — —-------------------------

и^р) \±К{р)К_ос(р)

Если 1 - К(р) К_О(:(р) = 0, то в системе возникнут автоколебания, амплитуда их будет ограничиваться нелинейностью системы. Плюс в формуле (8.80) и минус в формуле (8.82) соответствуют положительной обратной связи. Минус в формуле (8.80) и плюс в (8.82) — отрицательной.

§ 8.60 Переходные процессы при воздействии импульсов напря­жения. Ток в любой схеме при действии на нее импульса напряжения (ри- c. 8.46, а) можно найти, например, тремя способами:

1) применяя интеграл Дюамеля;

2) определяя ток при t <t_} так же, как от действия постоянного на­пряжения £/; при t < Zj действующее на систему напряжение равно нулю. Следовательно, система освобождается от вынуждающих ЭДС и по ней протекают свободные токи, обусловленные запасом энергии в индуктив­ных и емкостных элементах системы;

3) представляя импульс в виде двух постоянных напряжений. Поло­жительное напряжение U действует начиная с t = 0, отрицательное — начиная с / = При t < токи в цепи определяются одним напряжени­ем U\ при i > Zj — обоими напряжениями с учетом сдвига второго на­пряжения на время

и к

Рис. 8.46

Рассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток в цепи при подключении ее к источнику напряжения, имеющего форму равно­бедренного треугольника (рис. 8.46, б). Задача решается в три приема.

Сначала определяем ток в интервале времени от / = 0 до Z</| от действия напряжения щ - к / (рис. 8.46, в). Затем для интервала времени l₂ находим ток в цепи от действия двух напряжений (рис. 8.46, в, г): от продолжающего действовать напряжения = к t и от вступающего в действие при t -t_x дополнительного напряжения и₂ ^{= —}2 к (t —).

Для интервала времени / > t₂ ток определяется действием трех напря­жений: продолжающих действовать напряжений щ и и₂ и вновь всту­пающего в действие при t =t₂ напряжения и₂ - к (I -t₂) (при t >t₂ сум­ма напряжений w_b и₂ и и_у (рис. 8.46, д) даст нуль).

Из трех перечисленных способов наиболее экономным является пер­вый.

При воздействии серий импульсов переходный процесс рассчитыва­ют часто операторным методом.

Пример 104. На последовательно соединенные R и L поступает серия прямоугольных импульсов напряжения единичной амплитуды; длительность импульса х и длительность паузы также т (рис. 8.46, е). Используя третий способ в сочетании с теоремой запаздыва­ния (см. § 8.40), определить ток в цепи.

Решение. Найдем изображение напряжения:

t/(p) = l(l-e-^ +е-²^-е’^3рт + ...).

Р

Выражение в скобках представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем — е"⁷”. Сумма членов ее равна ——- -—. Изображение тока

Применим формулу разложения. Корни знаменателя:

р' = 0; p‘ = -R!L\ х Pt ={a_k + J Ь^)х = j п(2 к+ 1) (-a> <£<<»).

Группируя член к=0 с к--\. член А = ] с членом к = -2 и т. д., получим

х $in(n(2fc + 1)--Ф₂* ₊ |)

⁺-Z--------------------------- —

^Л *=0 *2[§] [**]1

кунда в минус первой степени. Если импульс действует при некотором

времени t = /_1} то он обозначается как 50* - б), т. е. импульс действует, когда аргумент 5-функции равен нулю.

Единичной функцией 1(/) (рис. 8.47, б) называют функцию, равную единице при />0 и равную 0 при /<0. Единичной функцией ](-/) (рис. 8.47, в) называют функцию, равную 1 при t <0 и равную 0 при Г>0. Функции 1(г) и 1(-г) имеют нулевую размерность. Рассмотрим свойства перечисленных функций:

— производная по времени функция !(/) равна S-функции, т. е.

®

at

5-функция обладает фильтрующим действием:

f^^t-t.^f^b^t-t^

— изображение 5-функции по Лапласу равно единице: а изображение функции 5(f - ) на основании теоремы смещения рав­но е“^р/‘;

— единичные функции 1(/) и 1(-/) также обладают фильтрующим действием.

Умножение произвольной функции /(/) на ](/) обращает произведе­ние f(t) 1(г) в f(t) при />0 и в нуль при / < 0. Аналогично произве­дение /(/)!(-/) обращается в нуль при />0 ив /(г) при 1<0. Им­пульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде 5-функций единичной площади записывают так: 5(/) • 1. Здесь единица имеет размерность вольт- секунда или ампер-секунда соответственно.

Если на электрическую цепь, входная проводимость которой равна g(/), при нулевых начальных условиях воздействует единичный импульс напряжения 5(/)-1 Вс (рис. 8.47, а), то для определения вызванного им тока в цепи представим импульс в виде двух прямоугольных напряже­ний (положительного и отрицательного) с одинаковыми числовыми значе­ниями ] / Дт, сдвинутых во времени на величину Дт -> 0 (рис. 8.47, г).

Ток в цепи после окончания действия импульса

>(О = 4- (g(r + Дт / 2) - g(Z - Дт / 2)).

Дт

Разложим функции £(/ + Дт/2) и £(г-Дт/2) в ряд Тейлора по сте­пеням Дт/2, учтем малость Дт и получим

'■(О=4" («(')⁺г'(') - 8(0⁺-V = I ■«’(/).

Дт у 2 2 J

Здесь и далее 1 имеет размерность Вс.

Величину g'(/) = называют импульсной переходной проводимо- d t

стью. При />Дт (Дт-»0) g'(0» умноженная на 1 Вс, численно равна току в цепи при воздействии на нее единичного импульса напряжения

$(/)•! Вс. Аналогично величину /?*(/) =

переходной функцией четырехполюсника. При t > Дт (Дт неженная на 1 Вс, численно равна напряжению на выходе четырехпо­люсника при воздействии на его вход единичного импульса напряжения 5(/) • 1 В с. В интервале времени от / = -Дт / 2 до / = Дт / 2 (во время дей­ствия импульса 5(z)l Вс) напряжение на выходе четырехполюсника

и₂(О = Л(0)б(/)-1 + Л'(О-1,

а ток на входе двухполюсника

/(/) = g(0) 6(0 • 1 + g'(0 • 1 •

Наряду с понятиями «переходная проводимость» g(0 и «импульсная переходная проводимость» g'(f) применяют дуальные им понятия: пе­реходное сопротивление г(Г) и импульсное переходное сопротивление Переходное сопротивление r_afr(z) численно равно напряжению на входе цепи u_Qh(t) при воздействии на ее вход единичного тока:

"«л(О = Ц^)^(О.

Импульсное переходное сопротивление rj₅(z) численно равно напря­жению на входе цепи u_af)(t), после того как на ее вход воздействовал импульс тока в виде 5-функции единичной площади:

u_uh(0 = 5(0- 1(А с)-г'_аЬ(1).

Величины r(z) и r'(t) могут быть входными и взаимными, однако g(t) и R(t) не являются взаимно-обратными величинами; g(z) опреде­ляется при питании схемы от источника ЭДС, а Я(/) — при питании схемы от источника тока.

Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимо­сти от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием — им­пульсная переходная функция — понимают функцию либо либо A⁵(z). Между этими функциями имеется зависимость

Л⁵(/) = Л(0,)6(0 + Л'0);

Л'(/) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряже­ние) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения l-5(z)B-c, а /?⁵(z) —напряжение на выходе четырехполюс­ника и во время действия импульса, и после окончания.

Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями:

.63. Метод пространства состояний. Метод пространства состо­яний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использу­ющий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). При­менительно к электрическим цепям под переменными состояния пони­мают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные со­стояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функ­ции времени, то их можно обозначить х(Г).

Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец перемен­ных состояния в n-мерном пространстве состояний обозначим [х] = т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, матрицу-столбец

У]

выходных величин [у] =

L-M

Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем именовать z.

Матрица-столбец источников воздействий [z] =

Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида

[у] = И И+[0] И»

где [Л/], (/V], [Р], [£>] — некоторые матрицы, определяемые структу­рой цепи и значениями ее параметров.

На основании принципа наложения решение (8.86)

[x(r)] = e^IM,f [х(0)]+ |е^(ЛУ]и’^т) [W][z(t)J dx,
о

где (х(0)]— матрица начальных значений х.

Первое слагаемое в формуле (8.88) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии (вывод формулы (8.88) см. в конце параграфа).

Из (8.87) и (8.88) находим

МО) = И е'"¹' МО)] + j[P] e^{|M l(}'-”[W] [z(t)] dt + [Q] [z(/)J. (8.89)

0

Систему уравнений 8.86 составляют либо на основании законов Кирхгофа, либо путем при­ведения схемы к резистивной (без элементов L и С). Как это можно сделать, пояснено в при­мере 100.

Поясним формулу (8.88) на простом приме­ре. Ток в схеме на рис. 8.48 до коммутации был /(0_) = Е/(2 Я). Уравнение состояния для этой схемы dildi = -(Я/L) i + (Е/Е), т. е.

Матричную функцию e^' в формуле (8.88) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра:

_=e^^j₁] _{+ e}^^/ [^l + .^ + e’¹"' [Л„],

где

п in

[Л]=П(["]-^Х>[Ч) /1Ж-Ъ);

7 = 1 / 7-1

f г

Здесь Х_г— собственные значения (характеристические числа) квад­ратной матрицы [Л/], т. е. корни уравнения

det([A/]-X[i]) = 0. (8.92)

Из уравнения (8.92) следует, что уравнение относительно X состав­ляют, приравнивая к нулю определитель матрицы [М], в котором все элементы этой матрицы а_тт(т = I,..., и), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы а_тт -X.

Характеристические числа X— это не что иное, как корни характе­ристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.90) предполагает, что все характеристические числа раз­личны (нет кратных корней).

Если же среди корней уравнения det([A/]-X[l]) = 0 будет кратный корень X, кратности 5, то составляющая е^', обусловленная этим кор­нем, имеет вид

где A dj (Х[1]-[Л/])— присоединенная матрица к матрице Х[1}-[Л/]. В ней все элементы заменены на алгебраические дополнения, а за­тем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.93) соответствуют части решения по формуле разложения (см. § 8.50), учитывающей кратные корни.

При машинном счете функцию е^', подсчитывают разложением в ряд:

е¹"¹' =[1] + [М]; + ^ЦД- + ....

3.

Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме на рис. 8.49, а. До коммутации был установившийся режим:Е = 4В; J = 1 А; К = 2 Ом; Л = 1Гн; С = 1 Ф.

Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.49, а. До комму­тации

В качестве переменных состояний выбираем ток /₍ и напряжение на конденсаторе и₍-.

Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим иногда применяемый, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с ис­точниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в ис­ходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока ij с напряжени­ем на нем L di_} Idt), а конденсатор С — на источник ЭДС, причем в соответствии с тео­ремой компенсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению на конденсаторе (в рассматриваемом при­мере конденсатор С с напряжением на нем и_с заменен на источник ЭДС Е) =и₍-).

В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резис­тивной). но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.49. б).

а б

Рис. 8.49

В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассмат* риваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому

По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока L_kdi_kldt эквивалентируюших индуктивные элементы L_k, и токи i_m=C„du_Cmldt че­рез источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью С_т.

Для первой ветви схемы на рис. 8.49, б

Ф_а = (/! + J) Я + = £ -> /₍ R~ L ■

dt

Отсюда

di, 2 R . и/- Е R

—L ---------- _f _ _s_ ₊-----

dt L ' L L L

Ток второй ветви i₂ можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цели с источником ЭДС:

^а~^ис <i_}+J)R + u_c-u_c

R R

Следовательно,

du₍-/ dt = (ц/С) + (J/С).

Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутаиионной схемы на рис. 8.49, а таковы:

Составим уравнение для определения характеристических чисел X:

Таким образом.

2?+4Х + 1 = 0; Л|=-0,27; Х₂ = -3,73с“‘.

По формуле (8.91),

Выполнив подсчеты, получим

/j =-1+0,75 е'⁰²⁷' +0.75 е^-3'⁷³' Л:
и_е = 6-2.8е“°-^27/-0,2е^-3,73' В.

Если за выходную величину^ принять напряжение между точками d и/, то

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неод­нородного уравнения представим в виде

[х_ч(/)] = [<р(/-т)] [«(/)] (х(т)].

Общее решение

[х(П] = [Ф(/ - т)] [x(t)J + [Ф(/ - г)] [«(/)] (х(/)] =
= [ф(/ - т)] (1] + [»(/)] [х(т)] = [<р(/ - т)] [Л(0],

где Л(г) требуется определить.

Подставим

(х(г)] = [ф(/ - т)1 {/?(/)] (8.96)

в уравнение (8.86):

((<i>0 - t)J - [М ] [_Ф(г - т)]) (Я(Г)] + [_Ф(/ - т)] (Я(/)] = [.л/] [z]. (897)

Поскольку (<р(/-т)| есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.94), то первый член выражения (8.97) — нулевая матрица. Следовательно.

(ад = [<р(/-т)Г¹ bVH-J (898)

Проинтегрируем (8.98) от т до/:

(/?(/)]-[ВД]= /[ф(Х-т)Г^? [.VjUJrfk. (8.99)

т

Из уравнений (8.96) и (8.99) следует

[Ф(/ - т)Г' КО] = (Ф(О)Г' (х(т)] + |(<р(Х - т)]'¹ [;V][z(X)J d\, (8.100)

X

но [ф(0)} = [1]. Умножая (8.100) слева на [<р(/ - т)] и учитывая, что

[ф(/-т)Нф('-т)Г’ =е^[Л/1('^-,) e'^(W](Vtl =е^1Л/](,-М

получим

[х(/)) = [ф(/-т)][х(т)1+ |[ф(Х-т)ЦУ)(с(Х)]а^гХ. (8.101)

X

Полагая в (8.101) т = 0 и заменяя затем переменную X на т, получим формулу (8.88).

§ 8.64 Дополняющие двухполюсники. Два двухполюсника, содер­жащие элементы R, L, С, называют дополняющими, если входное сопро­тивление при их последовательном (параллельном) соединении оказы­вается чисто активным, не зависящим от комплексной частоты р. Так, двухполюсник из параллельно соединенных L и R₂ и двухполюсник из параллельно соединенных С и R_} (рис. 8.50, а) являются дополняющи­ми при их последовательном соединении и выполнении условия

r_]=r₂=r = /l i с.

Двухполюсники Я₂, Си Л,, L при их параллельном соединении (рис. 8.50, б) являются дополняющими при том же условии.

Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно-дуальны. Эле­ментам С,, /?! одного соответствуют такие дуальные элементы С₂, L₂, Я₂ дополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно дуальных элементов должно быть равно R², где R — произвольное активное сопротивление.

Последовательное соединение и С_} в исходном двухполюснике заменяют на параллельное соединение С₂ = Ц/ R² и L₂ = Q R² 0 допол­няющем.

Параллельное соединение С] и Д, в исходном двухполюснике заме­няют на последовательное соединение L₂ = С₍ R² и С₂ = L^l R² в допол­няющем.

§ 8.65 Системные функции и понятие о видах чувствительнос­ти. Системные функции Н(р) — это обобщенное название функций, характеризующих четырехполюсник. Ими могут быть, например, пере­даточная функция напряжения U₂(p)IU\(p), передаточная функция тока /₂(р)/ АС/⁷) и т. п. Если какой-либо параметр (Я, L, С) в схеме четырех­полюсника изменяется, то изменяются модуль и аргумент системной функции и можно говорить о чувствительности системной функции к изменению этого параметра.

Под классической чувствительностью понимают отношение относи­тельного изменения функции &Н(р)/Н(р} к относительному измене­нию параметра Дх/х:

Применительно к установившемуся синусоидальному режиму рассматривают чувствительность модуля и чувствительность аргумента //(/ со.)

Для резонансных систем с высокой добротностью пользуются поня­тием корневой чувствительности, имея в виду чувствительность Н{р) к изменению положения нуля или полюса этой функции, находящегося вблизи мнимой оси плоскости комплексной частоты.

Понятие чувствительности используют главным образом в задачах синтеза. Электрические цепи стремятся сформировать так, чтобы они
были по возможности малочувствительны к изменению параметра. Если Н(р) зависит от многих параметров и все они могут изменяться, то верх­ней границей возможной ошибки считают сумму модулей чувствитель- ностей по всем параметрам. При определении классической чувствитель­ности можно воспользоваться теоремой вариаций (см. § 2.19) и теоремой Теллегена (см. § 3.43).

§ 8.66 Обобщенные функции и их применение к расчету переход­ных процессов. Обобщенными функциями (ОФ) называют функции времени fit), которые терпят разрыв, например при г = 0. Значение функции при t <0 обозначим А (О, при />0 А (О (рис. 8.50, в).

Имея в виду фильтрующее свойство единичных функций, можно записать

f W = f- (О К-0 + Ш ко.

В общем случае /(/) может содержать также 8-функцию и ее про­изводные, Производная от /(/)

А/ м/ ч r'/м/ч г / ч

= А (О к-0 + А (О КО + А (О А (0 ~~ =

dt d(-t) dt dt

= а'(О к-0 + л’ (О КО + 5(r) (A (0) - A (0)L

Используя ОФ, можно решать задачи на переходные процессы, о ко­торых говорилось в § 8.28, а также задачи на импульсные воздействия. В этом случае необходимо составить уравнения для послекоммутацион- ной схемы, выразить токи, напряжения и их производные через ОФ и, воспользовавшись фильтрующим свойством l(-r), l(z), и 8(/), прирав­нять в этих уравнениях коэффициенты, содержащие только !(-/)> толь­ко !(/) и только 8(/), затем решить их совместно.

Пример 107. Путем использования обобщенных функций решить задачу примера 86 (см. рис. 8.26).

Решение. В уравнении для послекоммутационной схемы подставим

“л = *л-(О Ц“0 + «л+0) 1(0;

^и ('2 ^{= и}с2-{^{У U-0 + ^исг*(О КО;

^u ci - К^_О + т,{I) КО + 5(О (0,) - U(~।(0_)];

«С2 - «С2(О Ц-0 + «гзЛО1(0 + S(O 1«С2(°+) - «С2(°-)]•
£ = £!(-/) + £![/].

Коэффициенты яри 1(~г), 1(0, и 6(/) дают три уравнения:

Л (С| W^)₊(0 ⁺ Cj «Г2-(0)⁺ Uci-V) =

Я(С₍ »cu(0 + C₂ Uc2₊(0) + «Cb(^/)= ^Е>
^u Ci (0* ) (Q ⁺ С'₂)^;=С₁ ^uCl(Q-) ⁺ С-2 ^и('2^-У

Из (8.103) u_(?1_ (/) = £, из (8.105) Wc)(0*) = C] £/(C)+C₂); далее решаем (8.104) клас­сическим или операторным методом, имея в виду, что (/) = и_Г2 </). В результате получаем тот же ответ, что и в примере 86.

§ 8.67 Интеграл Дюамеля для огибающей. Положим, что на вход четырехполюс­ника, имеющего переходную функцию Л(г), воздействует синусоидальное напряжение единичной амплитуды

иДО = I sin о i - lme^7<D/.

рмулу интеграла Дюамеля, определим напряжение на выходе четырех­полюсника:

и₂ (0 = 1т((Л(0) + j*’(T) е‘^,<3 ' dx) е'^w/) = 1т(а(ш,г) е'“'). (8.106)

Здесь о

<

о(<о,0 - Л(0)+ J/f(r) е"⁷"¹ dx = /«(©,/) + j л(о.О = . (8.107)

о

где а(ы, /) —огибающая выходного напряжения при воздействии синусоидального и₍(/). Воздействуем на вход четырехполюсника амплитудно-модулированным синусоидальным напряжением

1/_|(г)=1л1((/_я1(г)е^/т')

и определим

и₂(/) = 1гп((/?(0) (/„,(/) + р’(т)U„,(t) (/ - т)e-^/tt ’ dx)е'"').
О

Учтем, что —*-■ -Л'(т)е'^1шг ~а'(и).т) и Л(0) = о(е,0). Тогда

dt

«>(/) = 1т(Л(и.г) e^ywZ). (8.108)

где

>4(aj) = a(0,O)t/_w(r)+ |о'(<о,т) U_m(J~ *)dx\ (8.109)

о

/l(w,z) — огибающая выходного напряжения. Формулу (8.105) называют интегралом Дю­амеля для огибающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, выявить макрострук­туру переходного процесса.

Пример 108. Определим огибающую тока в цепи, когда на вход последовательно соединенных R и L воздействует напряжение и,(/) = к t sin <о t.

1

Вместо h(t) используем g(t) = — (l-e ). R

В соответствии с формулой (8.107)

о(<й,г) = 5(0)+ fg'(x) е^-?от dx~-—!---------------------------------------------------------------- (1-е^-*');---------------------------------------------------------------- = —+ >ш.

J R + j L L

Учтем, что g(0) = 0, = -J-e ^ч\ U_m (t-т) = к (/ - т).

Огибающая тока в пели по формуле (8.109):

.. . к t. . -q х j к? к Lt —at к I*

= — (г - т) с * dx - ----------- --------- - +-------------------- (е ^? -1) = —-------------------------------

L ' R + jaL (/? + ;<о£)² Л²+(соО

I, ~ *' ч² z К>

Il R t **------------- I J----------------------- —

У — + е ¹- cos(<o t + 2 <p) - cos 2 <p + |wz + e ^L sin(co t + 2 (p) - sin 2 ф

x A J \

Rf

tof + e ^L sin(w / + 2 ф) - sin 2 q>

Rt

R t ^-b~~

— + e ^f- cos(co t + 2 ф) - cos 2 ф

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение переходном}' процессу. 2. Что понимают под принужденными и свободными токами и напряжениями? 3. Сформулируйте законы (правила) коммутации. 4. Дайте определение зависимым и независимым начальным условиям. 5. Какие вы знае­те способы составления характеристического уравнения? 6. Объясните, почему при состав­лении характеристического уравнения путем приравнивания к нулю входного сопротив­ления Z(p) = ЛЧр)/Л/(Г) в общем случае нельзя сокращать числитель и знаменатель дроби на общий множитель. 7. Чем определяется число корней характеристического урав­нения? 8. Изложите сущность классического метода расчета и принцип составления урав­нений для определения постоянных интегрирования. 9. Переходный процесс в некоторой цепи сопровождается биениями. О чем это может свидетельствовать? 10. Дайте обосно­вание обобщенным законам коммутации. 11. Запишите известные вам соотношения меж­ду /(О и Г(р), а также теоремы операторного метода и предельные соотношения. 12. По­чему/? называют комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методом. 14. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом при синусоидальном источнике и ненулевых начальных условиях? 15. Охарактеризуйте свой­ства единичной функции !(/) и свойства дельта-функции 5(f). 16. Определите переход­ную и импульсную переходную проводимости (сопротивления). Укажите, с какой целью они используются. 17. Охарактеризуйте идею расчета с помощью интеграла Дюамеля. 18. Прокомментируйте известные вам формы записи интеграла Дюамеля. 19. Какими спо-

собами можно определить отзвук системы, когда на нее воздействует импульс напряже­ния или тока? 20. Поясните принцип работы интегрирующих и дифференцирующих це­пей. Запишите условия, при которых эти цепи выполняют свои функции. 21. Чем следует руководствоваться при формировании дополняющих двухполюсников? 22. Поясните идею расчета переходных процессов с помощью обобщенных функций. 23. Перечислите основ­ные этапы расчета методом переменных состояния. 24. Как составляют уравнения пере­менных состояния путем сведения послекоммутационной схемы к чисто резистивной?

25. Охарактеризуйте сильные и относительно слабые стороны известных вам методов рас­чета переходных процессов. 26. Что понимают под системными функциями? Какие виды чувствительности системных функций вы знаете? 27. В схеме на рис. 8.51, а с источни­ком тока Jq в момент / = 0 одновременно размыкается ключ К_г и замыкается По­казать, что заряды, протекающие через сопротивление и Я₂ за время от 0 до не

зависят от емкостей Q и С₂. Определить величины этих зарядов. (Ответ:

.) 28. В схеме рис. 8,6. а при размыкании ключа происходит переходный

процесс. Определить законы изменения во времени напряжений и₍ ) и «сг на конденса­торах. Задано j(t) = I sin(wt+ 90°) А, /? = 1/юС = 1Ом. со = 100рад/с. (Ответ: u_Ci = 0,447 sin(<o I + 63°27') -0,253 - 0.15 е^-'²⁰⁰' В; «_Г2 = О-⁴⁴⁷ $ⁱⁿ«»' + Ы°2?') + 0,253 - -О,15е‘^у200' В.) 29. Покажите, что в симметричной мостовой схеме (рис. 8.51, в), в

I

которой выполняется условие £,/<’=/?², переходная функция Л(/)»-у+е ⁴ . 30. В схе­ме рис. 8.51, б R = L - С = 1. Покажите, что входная переходная проводимость равна t е"'.

31. Покажите, что энергия, запасаемая в L схемы рис. 8.51, е (начальные условия нулевые), равна тепловым потерям в R. 32. Первичная обмотка трансформатора рис. 8.51,0 при ну­левых начальных условиях подключается к источнику постоянной ЭДС Е, R_} - R₂ = R: L_}=L₂=M. Определите q(0^), /₂(0„). (Ответ: /₍(0₊) = -/₂(0₊) = £/ (2 R).) 33. Опре­делите степень характеристического уравнения для схемы рис. 8.52. (Ответ: пятая.)

34. Как определить К(р) через h(t) и через Л^&(/)?35. По h(r) = — (1 + 2е ^[6]- ) четы­

/? = 0,2Ом. С = 5Ф, £ = 1Гн. (Ответ: Л(/) = 1,62е^-0,724'-0.62 е’^0,276/.) 37. На вход че-

J fc)

тырехполюсника с K(j со) =------------------ воздействует единичный импульс напряжения в виде

5-функции. Определите напряжение на выходе четырехполюсника после окончания дей­ствия импульса. (Ответ: 0,25 е"^⁵'.) 38. В схеме на рис. 8.53, а до коммутации был уста­новившийся режим; £ = 20В, Jim р/](р) = 2А и lim р /₍(р) = 5 А. Определите Л, />->0

и R₂. (Ответ: Я, = 4 Ом, Я₂ = 6 Ом.) 39. В схеме на рис. 8.53, б до коммутации был ус­тановившийся режим; £ = 10 В, limp/₂(p) = 2A и Нт р 1₂(р) = 1,428 А. Определите />-»» р~»О

Я, и Я₃, еслиЯ₃ = Я₂. (Ответ: Я, =4 Ом, Я₂ = 3 Ом.) 40. Решите задачи 11.4; 11.12; 11.15; 11.26; 11.29; 11.32; 11.38; 11.40; 11.47; 11.50; 11.55; 11.57.

Обозначим

А._к =-л_к e^,4t.

Тогда ряд (9.7) можно записать так:

(9-10)

Формула (9.10) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс к может принимать все целые числовые значе­ния от -со до +<», но не может равняться нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109. Представить функцию f(t) = 2 + 3 sin(o₀ t + 30°) + 2 sin(2 co₀ /- 45°) в комплексной форме записи.

Решение. Л_о=2; Д =3e^yJ0’; 4, = -Зе*'³4 Л₂ = 2 е’ 4₂=-2е^у45‘;

у (у) _ 2 4. 1 (3 ^{1 +} _ 3 g”? (иу “ +30*) 2 f-45*) _ 2 /-45”)

2 У

Составим выражение для комплексной амплитуды А_к. По определе­нию (см. формулу (9.8)),

4 = 4 ^e>Vx = ^Ак ^C0SVa + J 4 sin = 4 + j Л”_к, (9.11)

где 4 определяется формулой (9.4), 4 — формулой (9.5).

Подставим правые части формул (9.4) и (9.5) в формулу (9.11):

2 ⁷⁷²

4=~ J7(0 (sin к ©о t + j cos к ©₀ /) d{ = ' -77 2

772

Jf (t) (cos к o)₀ t - J sin к ©₀ t) dt,

-7/2

или

A_k dl. (9.12)

' -772

Подставим правую часть формулы (9.12) в формулу (9.10):

7/2

7(') = Л+ Z ^*“"'1 dt. (9.13)

к » -ОО / -7’/2

§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье — это триго­нометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте ©₀.

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представ­ляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье (из формулы (9.13)) предельным переходом при стремлении периода Т к бесконечности.

На функцию /(/) при представлении ее интегралом Фурье наклады- -нх>

вают ограничение, а именно, полагают, что $f(f)dt есть величина

конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд фун­кций этому условию не удовлетворяет'’. । т/2

Так как по определению (см. формулу (9.3)), Л = ~ f/(0 ^а при +со -7/2

Т —> оо [/(f) dt есть величина конечная, то А_о = 0.

] ^7/2

Преобразуем выражение — j/(f) е"^/А ' с/f, стоящее под знаком -772

суммы в формуле (9.13). С этой целью произведение к <о_о заменим на со (под со будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту). В ряде Фурье разность двух смежных частот Дсо=©_о =2 л/Т. Следовательно, МТ = До)/(2 л).

При Т -> оо, заменив Део дифференциалом с/со, получим

1 '(/О)Л = Л.

¹ -Т/2 ⁷¹ -77 2

Обозначим

5(/о) =

-со

Формула (9.14) дает возможность преобразовать функцию времени /(f) в функцию частоты S(J со); преобразование (9.14) называют пря­мым преобразованием Фурье, a S(j о) — спектром функции f(t). Это комплексная величина, зависящая от вида функции /(f). В соответствии

772 j

f/(f) dt на — S(y to) d® и учтем, что

•Лл 2 л

*’ Средн функций /(/}, для которых интеграл ^f(t)di расходится, наиболее важной для практики является функция /(/) = А, где А — постоянное число. Для того чтобы эту функцию представить интегралом Фурье, пользуются следующим приемом. Находят интеграл Фурье для функции /(/) = Ле’^₽/. где р>0 и /(/) = 0 при t<Q. Для этой функ­ции J/(z) dt сходится, поэтому она может быть представлена интегралом Фурье.

Далее в полученном выражении устремляют р к нулю.

при изменении к от -оо до +<ю со = к со₀ также изменяется от -оо до -ню. Следовательно,

i (0- 4-00

ЛО = у- X S(jo)е‘^J‘' А».

(О ш -ОС

Заменив сумму интегралом, найдем

1 -rw

Л0 = — Js(> а>) rfw.

Формула (9.15) представляет собой запись интеграла Фурье (форму­лу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию f(t) в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амп­литудами S(j(&)d(j3 (S(j со) конечно, но произведение S(j d® бес­конечно мало, так как бесконечно мало значение с/со).

В соответствии с формулой (9.15) для нахождения реакции системы на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно боль­шого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.

Преобразования (9.14) и (9.15) являются взаимно обратными.

Отметим, что представление функции f(t) в комплексной форме в виде интеграла Фурье (формулы (9.15)) привело к необходимости фор­мально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слага­емых подынтегральной функции (9.15) при ±со дает синусоидальные колебания частоты со.

Сопоставим формулу (9.14) с формулой преобразования по Лапласу:

со

F(p) = f/(r) е'" Л, (9.16)

о

когда /(г) = 0 при t <0.

Если учесть, что f(t) = O при /<0, и заменить р на у со, то (9.16) переходит в (9.14). Следовательно, формулы для спектра функции SV о) могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последнихр заменить на у со.

Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функции f(t) = е~^а/, полагая, что /(/) = 0 при t <0.

Изображение ее по Лапласу 1 / (а + р). Заменим р на j со и получим спектр S(j со) = I /(а + j со); S(j со) есть комплексная величина, равная S(co)e^y<₽‘. Модуль ее равен 1/Vet² ч- со² , аргумент ф_л. = arctg(-co/a). Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.

Пример 110. Найти S(o) и ф<со) для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) ампли­тудой Л и длительностью

S(co) = —sin = A /
co /„ 2

График этой функции приведен на рис. 9.1.?. Штриховой линией показана огибающая. Аргумент ф_¥ для прямоугольного импульса вычислим по формуле

cos со -1 со /..

tg Ф., = —:—-— = - tg-r²¹- sin со /„ 2

График Ф, дан на рис. 9.1, д. При значениях со/,, = л. Зя.... ф_л возрастает скачком на л.

Обратим внимание на то, что при определении S(J со) путем замены р на j со в формуле для F'(p') следует соблюдать некоторую осторож­ность, если функция /(/) имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в S(J со) в виде дельта-функции. На­пример, изображение функции 1(0 по Лапласу равно \/ р, тогда как

I

спектр £(/со) функции 1(f) равен не l/yco, а л5(со) +------------------------------------------------------------- . Чтобы

j®

показать это, определим спектр функции 1(/) е”^р' (Р > 0), а затем устре­мим р->0:

_е-и/ _е-у«>/ _dt 1-------------- р у ^m

P + J<0 Р~ +(0“ Р²+СО²

Первое слагаемое правой части при 0 -> 0 и при со -> 0 стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции а 8(со), второе слагаемое правой части при (3—>0 равно 1//<о. Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем р/(0² + со²) = а 5(со) по со от -оо до +а>:

л5(со) выпадают.

§ 9.3 Спектр функции, смешенной во времени. Спектр суммы

функций времени. Если функции времени /(/) соответствует спектр

9(7 со), то функции соответствует спектр е”^уыт S(j со), что сле­дует из теоремы смещения в области оригиналов (см. § 8.40), если заме­нить р на j со.

Так как модуль функции е"^ушт равен единице, то модуль спектра функции /0-т) равен модулю спектра функции /(/), т. е. равен 5(<о), однако аргумент спектра функции f{t - т) отличается от аргумента спек­тра функции /(г) на -сот.

Если /(/) представляет собой сумму нескольких функций времени, например /(/) = /(/) + /₂(0» а каждая из них имеет спектр соответствен­но (у со) и S₂(j то спектр S(J со) функции /(г) равен сумме спек­тров этих функций, т. е. S(J со) - S_}(j со) + S₂(y со). Это следует из линей­ности преобразования (9.14). Однако модуль S(co) * ^(со) + 5₂((о) и аргумент ср_А.(со) * ср_д| (со) + <р_д2(со).

§ 9.4 Теорема Рейли. Теорему Рейли (Релея) записывают следующим образом:

(9.17)

Функция /(/) = 0 при г<0; S(co) представляет собой модуль спект­ра 5(7 со) функции /(/):

5(7 а) = J/We-'"' dt.

-СО

Если принять, что f(f) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению 1 Ом, то левая часть в (9.17) представляет собой энер­гию, выделяющуюся в этом сопротивлении.

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра 5(со), разделенная на я, является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении, на которое воздействует /(/).

Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование Фурье:

4

7(0 = — р(/о>) е'“'Ло.

2 It *

-со

Умножим обе части последнего равенства на /(/) и проинтегрируем по t от -со до 4-ос:

-со

следовательно,

+со | +О0

\S(J со) S(-j w) dсо - — [S² (со) dm.

^J 2 л <

-00 -00

Для перехода к формуле (9.17) учтем, что при / < 0 функция /(/) = 0. Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с -оо на 0. Приняв во внимание, что квадрат модуля 3’²(со) есть четная функция +00 +00

частоты, заменим J в правой части последнего уравнения на 2 В

-сс О

результате получим формулу (9.17). Величину 5²(<о) называют спектральной плотностью энергии сиг­нала, а функцию S²(co):= /(со)—энергетическим спектрам.

§ 9.5. Применение спектрального метода. Спектральный (частот­ный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частот­ных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике при
рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рас­смотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некото­рых случаях даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулиро­ванное колебание или, соответственно, импульс, пройдя через четырех­полюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время /₀ запоздал во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма им пуль са (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса (колебания) на выходе. Недопустимость изменения формы импульса (колебания) следует из того, что именно в форме импульса (колебания) заключена информация, которую он несет.

Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной функцией К(у со) - К"(со) е^7Ф<<0) при нулевых начальных условиях воздей­ствует сигнал /j(/), имеющий спектр 5_вх(у со). На выходе четырехпо­люсника появится сигнал /₂(/), ^спектР которого

^ВЫХ(jg)) = /C(;co)S_bx (у св),

4-00

где S,_x0 <o)= (ЛОТ^d’-

-СО

Так как сигнал /₂(/) может отличаться от сигнала по значению (по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время /₀, но по форме должен быть таким же, как и /(f), то можно записать, что /2<О = я/1('-'о)-

Если к функции /₂(/) применить преобразование Фурье, то окажет­ся, что спектр функции /₂(г) равен

aS„_xO<o)e^“'“.

Сравнивая (9.19) и (9.20), замечаем, что

K(j со) = К(со) е^{7 Ф(С1>)} = а е"⁷°'⁽'.

Следовательно, для прохождения импуль­са или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от час­тоты), а аргумент <р(<в) = -со/_о линейно из­менялся в функции частоты (рис. 9.2, а).

В реальных четырехполюсниках эти ус­ловия могут быть выполнены лишь прибли­женно в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания. Полоса про­пускания ограничена значениями со, при которых отношение максимального значения

/С(со) к минимальному равно J1 (рис. 9.2, б). Такой характеристикой обладает, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно полагают, что = const; <р(со) = -со /₀.

Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от со = 0 до со = 2 л//_и, где — длительность импульса.

Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть энергии сигнала (например, 90 % энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0-г1//_и.

Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на частотных представлениях.

Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и обратного преобразований Фурье.

Основные этапы этого способа таковы:

1) нахождение спектра Ц(усо) входного сигнала w,(/);

2) определение передаточной функции четырехполюсника K(j со);

3) получение спектра выходного сигнала U₂(j со) = K(j со) Ц(/ со);

4) вычисление w₂(r) по (ЛД/со).

Последнюю операцию можно осуществить с помощью форму­лы (9.15), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изоб­ражения по Лапласу, заменив на р в U₂(ja)).

Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи опе­раторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным, поскольку решение излишне громоздко, и, пользуясь им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизмен­ных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наиболь­шей степени влияют на деформацию фронта, какие — на деформацию вершины импульса.

В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных представлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высо­ких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вер­шины импульса определяется свойствами передаточной функции на низ­ких частотах (теоретически на частотах, близких к нулю). Эти положения соответствуют предельным теоремам операторного метода (см. § 8.40).

Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на искажение формы импульса, прежде всего составляют полную схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы, влияющие на частотные свойства (паразитные емкости ламп, импульсных трансфор­маторов, индуктивности рассеяния трансформаторов, емкостные свойства р—«-переходов транзисторов, зависимость коэффициентов усиления транзисторов от скорости процесса (от частоты <л)).

Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схемы. Первая схема представляет собой расчетную схему для высоких частот и позволяет определить степень искажения фронта импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания последова­тельно включенных конденсаторов по пути следования сигнала (относи­тельно больших по сравнению с паразитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных параллельно резистивным элементам схемы.

Вторая схема представляет собой расчетную схемы для низких частот и служит для выяснения степени деформирования вершины импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, оставляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути следования сигнала, а также индуктивные элементы, включенные параллельно рези­стивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные элементы по пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочас­тотной схеме не учитывают.

В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, рассмотрен­ных в § 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и конденсаторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения.

Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывается часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому влияние каждого из элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть выявлено относительно легко. Расчет переходного процесса в высокочас­тотной и низкочастотной схемах проводят обычно операторным методом.

Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) полу­чают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего фронта импульса принципиально решается так же, как и вопрос об ис­кажении переднего фронта импульса.

Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изображена схема лампового усилителя, где R_H — нагрузочное сопротивление; С_р — относительно большая разделительная емкость (через нее прохо­дит только переменная составляющая выходной величины); С₂ —отно­сительно малая емкость нагрузки и (или) емкость второго каскада уси­ления. Штриховой линией показаны источник анодного напряжения £_н и малые по сравнению с С_р (по нескольку пикофарад) межэлектродные емкости анод—сетка С_а^_с, сетка—катод С_с__к и С| (емкость анод—-ка­тод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости С_с__а и С_с__к не учиты­ваем, как оказывающие малое влияние на работу схемы.

Схема замещения для расчета переходного процесса при воздействии относительно малых по амплитуде переменных составляющих представ­лена на рис. 9.3, б. Она является схемой третьего порядка. Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 9.3, в) и вершины импульса (рис. 9.3, г) являются схемами первого порядка.

РЛС £,] ---------- +------- +------- .

*/ *к

• <1 п

Для схемы рис. 9.3, г

р С, и_ю (р)
рС
<?э2

Если входное напряжение представляет собой прямоугольный импульс рис. 9.3, д, то фронт выходного напряжения будет в виде нарастающей экспоненты рис. 9.3, е, а вершина — в виде спадающей экспоненты рис. 9.3, ж. Результирующая кривая н_вых изображена на рис. 9.3, з. Под­бор параметров усилителя осуществляют, исходя из допустимой дефор­мации фронта и вершины выходного импульса по сравнению с входным импульсом.