6. Дифференцирование в области изображений. Если F{p}~ то dF(p) . r . . г-

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 14

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

------- -^ = 1 f(t). Доказательство:

dp

Например, если /0) = е“^а'; F{p)~------------------------------------------------------------- ; то

/? + а

. -_а/ dF(p} 1

Л —к ■ । ।

dp (р + а)¹

7. Интегрирование в области изображений. Если при / > 0 /(/) и

СО

f(t)/t преобразуемы по Лапласу и ^F(p)dp существует, то

р

Доказательство:

В результате найдем

и al, (Р) = Кр) я + р L + - L 1(0) + - Е(р). (8.47)

к Ср) Р

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо диф­ференциального уравнения (8.46) получили алгебраическое уравнение (8.47), связывающее изображение тока 7(р) с изображением ЭДС Е(р) и изображением напряжения U_ah(p")‘ Из уравнения (8.47) следует, что

U_al,(p)+Li(.0)-^ + E(p)

Кр)----------------------- г—²------------------

Z(p)

где Z(p) = R + р L +-------------- операторное сопротивление участка цепи

С р

между точками а и Ь. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если у® заме­нить на р (см. с § 8.13).

Как указывалось в § 8.13, комплексное число р = а + j b может быть записано в виде р = j (b- j а) = j Q, где Q = b - j а — комплексная ча­стота; Z(p) = Z(J Q) — сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию U e^,Q/ = LJ е^р1_у подобно тому как Z(j со) есть со­противление, оказываемое воздействию 0 e^JMl. Поэтому Z(p) называ­ют сопротивлением на комплексной частоте.

Уравнение (8.48) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненуле­вых начальных условиях.

Слагаемое L i(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловлен­ную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока /(0) непосредственно до коммутации. Слага­емое и₍-(0)/ р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие напря­жения на нем w_c(0) непосредственно до коммутации.

В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.29 изображена оператор­ная схема замещения участка цепи рис. 8.28. Операторные сопротивле­ния ее Л, р L, 1/ (С р}. Как следует из формулы (8.48), внутренняя ЭДС L ЦО) направлена согласно с направлением тока 1(р), внутренняя ЭДС L7_c (0)/ р —встречно току /(р).

В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС е(0 и к мо­менту коммутации /(0)-0 и и_с(0) = 0, уравнение (8.48) приобретает более простой вид:

dt

Каждое из слагаемых (8.52) заменим операторным изображением:

^i(O?=£i(p); e₃(/)=£₃(p).

Подставив (8.53) в (8.52), объединим слагаемые с /](р), /₂(р), ^(р), перенесем в правую часть u₍-(0)/ р, L_} ^(О) и другие внутренние ЭДС. В результате получим

Л (р) z_} (р) + /₂ (р) z₂ (р)+Л (р) z₃ (р) =
~ E_x(p)~E₃(P) + E_w(p),

где

Z|(p)«p(£₁-Л/); Z₂(p)= р(Л/-£₂); Z₃(p) = I/(С р);

£(р) = (£, - Л/) (0) + (Л/ - £₂) /₂(0) - и_г(0)/ р.

В более общем виде уравнение (8.54) можно записать так:

£*(/>) = ££*(/>)•

Уравнение (8.55) представляет собой математическую запись второ­го закона Кирхгофа в операторной форме. В состав Е_к(р) в общем случае входят и внутренние ЭДС.

§ 8.44 Составление уравнений для изображений путем использо­вания методов, рассмотренных в третьей главе. Из уравнений, состав­ленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вытекают соот­ветствующие уравнения для изображений.

Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помощью символического метода для комплексов токов и напряжений.

Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответству­ющее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирх­гофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.) можно применить и при составлении уравнений для изображений.

При составлении уравнений для изображений ненулевые начальные условия учитывают путем введения «внутренних» ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и начальными напря­жениями на конденсаторах.

§ 8.45 Последовательность расчета операторным методом. Расчет операторным методом состоит из двух основных этапов:

1) составления изображения искомой функции времени;

2) перехода от изображения к функции времени.

На нескольких примерах покажем, как производится первый этап. Второй этап будет рассмотрен в § 8.47.

Пример 88. В схеме на рис. 8.31 при нулевых начальных условиях замыкают ключ. Составить операторные изображения токов и , пользуясь методом контурных токов.

Решение. Направления контурных токов i_} । и i₂₂ показаны на схеме.

Имеем:

i| ₍ Я, + £] ¹¹ + R₂(i\ । - bj )^{= e} (^f)>

а {

Переходим к изображениям:

/] [(р) (р L_x + /?j + Л₂)- /₂₂(р) /?₂ = £(р);

Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными даст:

, £(/>)(!+Л₂ С р)

¹ ] ] \Р > ⁼ 7------------------ >

р R₂ С + р (Л| R₂ С + L_x) + /?[ + R₂

____________ Е(Р) ^2 Ср______________

р~ R₂ L_x С + р (/?, /?₂ С + £|) + + /?2

Изображение контурного тока Ц_х(р} равно изображению тока 1_х(р\ изображение /₂г(Р)— изображению /з(р). В (8.56) и (8.57) Е(р) есть изображение ЭДС е(О- Если е(/) = £, то Е(р)-Е!р. если e(t) = Е„ sin(o/ + ф), то Е(р) = Ё_т--------------------------------------------------------------------------------- *---------------------------------------------------------------------------------- и т. д.

р~ j со

Пример 89. Составить операторные изображения токов и /j схемы на рис. 8.31, пользуясь законом Ома и Кирхгофа.

Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще, чем по методу контурных токов.

Обозначим высшую степень оператора р в полиноме 7V(p) через п, а высшую степень р в полиноме М(р) — через т.

Часть корней уравнения М(р) = 0 обусловлена характером измене-

ния во времени возмущающей силы, воздействующей на систему; остальные корни обусловлены свойствами са­мой цепи, ее конфигурацией и значениями параметров.

Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электрические цепи, то во всех физически осуществи­мых электрических цепях при воздействии любых ЭДС всегда пет. Лишь для физически неосуществимых электрических цепей степень п может оказаться равной т. Пример цепи, для которой степень п равна степени

т, дан на рис. 8.32. Если считать, что сопротивление проводов и внут­

реннее сопротивление источника нулевые, то

§ 8.47. Переход от изображения к функции времени. В § 8.45 ука­зывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью операторного метода является переход от изображения к функции вре­мени. Эту операцию можно осуществить различными путями.

Первый путь состоит в применении формул соответствия между фун­кциями оператора р и функциями времени I. Часть формул соответствия приведена в § 8.39. В научной литературе имеются специальные иссле­дования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охва­тывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения М(р) = 0 есть несколько одинаковых (кратные корни).

Второй путь состоит в применении так называемой формулы разло­жения. Формула разложения в § 8.49 выведена исходя из предположения, что уравнение M(p)-Q не имеет кратных корней (при наличии крат­ных корней формула разложения записывается иначе — см. § 8.50).

Третий путь — непосредственное применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. § 8.50).

Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени.

Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а за­тем — после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби на простые — перейдем к выводу формулы разложения.

Пример 91. В схеме рис. 8.33, а ток источника тока линейно нарастает во времени: У(г) = 2,5 / А (рис. 8.33, б); /? = 50 кОм. С = 2 мкФ. Определить закон изменения во вре­мени тока /) через резистор Я.

Решение. Изображение тока j\t) равно 2,5/р² (см. соотношение 12. § 8.39).

Сопротивление параллельно соединенных R, С: Z(p) =--------------------------------------------------------------------------------- .

Изображение тока через R

_l(n x Ap)Z(p)_ 2,5 1

^W} ~ R ’ RC р²(_р + а)'

(0-2,5 (г-0,08 (1-е”'^2,5')) А,

где а -[f(R С) = 12,5 с"¹.

Согласно соотношению 8, § 8.39,

р (р + а) а _а

Пример 92. В схеме на рис. 8.34 u(t) = 100е~^<7' В, где а = 0,5с^-1; /? = 20м;

Д = 4Гн. Найти i = и «д =/(/), а также значения / и u_L при / = 1с.

Решение. Согласно соотношению 2, § 8.39. функции е‘⁴ соответствует изобра­жение 1/(р + о). Следовательно.

(Др) = -^-; Z(p) = R + pL.

р + а

и ₌ ¹⁰⁰ ₌ юо-1

Zip) (p + a)(pL + R) L(p + a}{p + b)'

-^ = 25А7с; h = - = 0.5 = a; /(р) = 25----------------------------- г.

L L (р + а)

По соотношению 5, $ 8.39 ----------- !—-=/е'^в/. Поэтому /(/) = 25/^,е’^0,5г

(Р + а)²

Напряжение на L:

и, =£ —= 100 е^¹⁵ (1~0.5)= 20.3 В.

di

При / = !с / = 25-1 е^{-0 5} = 15,15 А; и, = ЮОе'⁰-’ (I-0,5) = 30,3 В.

§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса математи­ки известно, что дробь

?/(х) _ а_п х^п + а_п_| х”'¹ + ... + Д| x + a_Q

М(х) Ь_т х^п' +Ь„_Л х^п,~' 4-... + ^ х + 6₀

при условии, что п<т и полином Л/(х)-0 не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

*(x) _ _л 1

------- ~ / А »
W) Л?) х-х_к

где х_к — корни уравнения М(х) = 0.

Для определения коэффициента А_} умножим обе части уравнения (8.61) на (х-хД В результате получим

Рассмотрим выражение (8.62) при х->х_Р Правая часть уравнения равна а левая представляет собой неопределенность, так как множи­тель (x-Xj) при х —> Х| равен нулю и знаменатель Л/(х) при x = Xj также равен нулю (х, есть корень уравнения Л/(х) = 0).

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью про­изводную от числителя разделим на производную от знаменателя и най­дем предел дроби:

х-х, Л/(х) х-»г, М\х) М\х_}У

где Л/'(х)—производная от М(х) по х, A/'(xj)— значение Л/'(х) при х = х_}, Л<(х_})—значение Л/(х) при х = х_Р

Следовательно, из (8.62) при x->x_t получаем

/V(x_l)/M'(x_!) = J₁, (8.63)

или

л, == JV(x,) / ЛГ (x_t). (8.64)

Аналогично

А_к = ^{х_к}/М\х_к\ (8.65)

Таким образом,

*(*) ₌ N(_Xi) I , N(x₂) 1 _{t г} ^х_да) 1

Л/(х) Л/'(Х|) х-Х] Л/'(х₂)х-х₂ Л/'(х_от)х-х_т’

или

Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби 1/ (х² +5х + 6). Решение. Корни уравнения Л/(х) = 0:

x_t = -2, х₂ = -3;

Л/'(х) = 2х + 5; Л/'(Х|) = -2-2 + 5 = + 1; ЛГ(х₂) = -1, Мх,) = Л'(х₂) = 1.

По формуле (8.65)

=^х_|)/Л/'(х₁ ) = !/(+!) =+1; Л₂=^х₂)/Л/'(х₂) = -1.

§ 8.49. Формула разложения. Переход от изображения N(p)! М(р) к функции времени часто производят с помощью формулы

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией р, правая часть — соответ­ствующей ей функцией времени /.

Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изоб­ражение какой-либо функции времени, например тока,

/(p)=N(p)/M(p).

Для получения тока как функции времени /(/) представим сначала N(p)/М(р) в виде суммы простых дробей — разложим N(p)l М(р). С этой целью в формуле (8.67) заменим х на р:

'<-> ■ S ■ i —

М(р) »=|Л/(й)р-р_Л

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является /(г). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слага­емых.

Учтем, что множители У(р₄)//V/'(p-.) у слагаемых суммы правой части (8.69) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме того, функ­циями р в правой части являются только множители 1/(р- р*); им со­ответствуют функции времени вида е^Рк' (см. формулу (8.34)). Поэтому

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции /) с помощью формулы разложения (8.70) основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей ^(Рк) !—, а оригина-

М'(р_к) р- р_к

лами их являются показательные функции

Число слагаемых ———-е'* равно числу корней уравнения

М \Рк )

Л/(р) = 0. Коэффициенты N(p_k}l М\р_к) можно сопоставить с постоян­ными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения Л/(р) = О есть нулевой корень (р - 0), то ему в правой части уравнения (8.70) соответствует слагаемое

е = - Слагаемое //(0)/м(р) представляет собой состав­

ляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вы­нуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет, то N(0)/ М '(0) = 0.

Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.70).

1. Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источни­ка ЭДС или тока, воздействующего на схему.