§ 8.7 Начальные значения величин. Под начальными значениями величии (в литературе их называют еще начальными условиями) пони­мают значения токов и напряжений в схеме при t - 0.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны их значени­ям непосредственно до коммутации. Остальные величины — напряже­ния на индуктивных элементах, напряжения на резисторах, токи через конденсаторы, токи через резисторы — могут изменяться скачком, сле­довательно, их значения после коммутации чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации. Поэтому следует различать до- коммутационные и послекоммутационные начальные значения.

Докаммутационными начальными значениями называют значения токов и напряжений непосредственно до коммутации (при/ = 0_); пос- пекоммутационными начальными значениями — значения токов и напря­жений непосредственно после коммутация (при / = 0₊).

§ 8.8 Независимые и зависимые (послекоммутационные) началь­ные значения. Для любой схемы после коммутации в ней можно запи­сать уравнения по законам Кирхгофа и из этих уравнений определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режиме (при / = 0₊).

С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные эле­менты, и значения напряжений на конденсаторах берут равными тем зна­чениям, которые они имели до коммутации при t - 0_, а остальные токи и напряжения после коммутации при t - 0₊ находят из уравнений Кирх­гофа, поскольку часть слагаемых в них известна.

Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями.

Значения остальных токов и напряжений при / = 0₊ в послекоммута- ционной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.

§ 8.9 Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в схеме име­ют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного про­цесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные условия.

При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосред­ственно до коммутации.

§ 8.10 Составление уравнений дли свободных токов и напряже­ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для них положительные направления, затем составляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Так, для схемы рис. 8.5 после выбора положительных направлений для токов

имеем:

В этих уравнениях /₂» ^и h — полные токи. Каждый из них состо­ит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой систе­мы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, “освободим” систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС £) и вместо запишем 7_1св, вместо /₂— ^св и т. д. В результате получим:

А св ^2 св ^Зсв 0,

с/л _св

^— 7~ ^{+ /}1св ^{+ /}2ск ^2 ⁼ $

^2 св ^2 JhcB ~ 0’

Заметим, что для любого контура любой электрической цепи сумма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нулю.

§ 8.11 Алгебраизация системы уравнений для свободных токов. В § 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой реше­ние однородного дифференциального уравнения (уравнения без правой части). Как известно из курса математики, решение однородного диффе­ренциального уравнения записывают в виде показательных функций Ае^р'. Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде /_св _ А е^р/.

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей. Фи­зически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим) переходным процессом.

Составим производную от свободного тока:

Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравне­ний относительно /1_СВ’ /2св> бсв и, в отличие от исходной системы, не содержат производных и интегралов.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизаиии системы дифференциальных уравнений (8.7).

§ 8.12 Составление характеристического уравнения системы. Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не найде­но и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относитель­но /|св’ ^2 св И /.Зев •

_ Д) . __ Д>. . _ Дз

/] св “ — ’ /?св ’ /)св “ . 5

Д Д Д

где Д— определитель системы. В рассмотренном примере

-I -1

R₂ О

r₂ -i/(Cp)

Определитель Д, получим из выражения для определителя Д путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8):

-1 -1

r₂ о

*2 -У (Ср)

Определитель Д₂ получим из выражения для Д путем замены вто­рого столбца правой частью системы (8.8) и т. д.

Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе Д_1? Д₂ и Д₃ один из столбцов будет состоять из нулей.

Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из ну­лей, то этот определитель равен нулю. Следовательно,

Д, =0, Д₂=0, Д₃=0.

Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что

о * д’

Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда опре­делитель системы

Д = 0.

Таким образом, определитель Д алгебраизированной системы урав­нений должен равняться нулю.

Уравнение Д = 0 называют характеристическим уравнением. Един­ственным неизвестным в нем является р.

Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для схемы (см. рис. 8.5) и найти его корни.

Решение.

+• Я₂ (L| р + Я]) + * ^Д| = 0

С* ^х I ^г 4

Р Ср

или а

р Rz С + р Ri С + L\) + + R?

• -------------- '-------------- ------ — 1л

С р

Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следовательно,

р² Я, 4| C+p(R_} R₂ C+LJ + Я] +Я₂ =0. (8.(0)

Корни квадратного уравнения

-(Я! Я, С + /.₁)±₃/(Я, R₂ Сч-Lj)² -4(Я, + Я₂)Я₂ L] С

^Р'’^{2 =} 2 Я₂ L, С ' ⁽⁸’^Н}

В начале § 8.11 говорилось о том, что решение для свободного тока берется в виде А е^р‘. Если характеристическое уравнение имеет не один корень, а несколько, например я, то для каждого свободного тока (напря- п

жения) нужно взять e^{Pk 1}.

k=\

Пример 76. Найти корни характеристического уравнения схемы на рис. 8.4, а при: 1)С = I мкФ; 2) С= 10 мкФ; 3) С - 100 мкФ; /?₁ = Й₂ =100 Ом; £, = I Гн.

Решение. 1) При С ~ 1 мкФ

/?[ /?₂ С + £₍ =100-100 110’⁶ + 1 = 1,01;

4(/?j +/?₂)/?₂ £, С = 4-200-100-Ю’⁶ =0,08;

2 Я₂ £, С - 2 -100-10’⁶ = 2-10^-4;

-l,01±Jl.01² -0,08 . ,

р, о = ^у-------------------------------- ; Р|=-250 с^-1; р, =-9850 с’¹.

2 ЛО’⁴

2) При С~ 10 мкФ _Р] =-230 с’¹; р₂ - -870 с¹.

3) При С= 100 мкФ р₍ =-100 + 100 /; Р₂ =-100-100 j.

§ 8.13 Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в пре­дыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного со­противления двухполюсника на переменном токе (обозначим его Z(y со)), заменяют в нем j оо на р (получают Z(p)) и приравнивают Z(p) к нулю.

Уравнение Z(p) = 0 совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же магнитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. § 3.41).

Поясним сказанное. Как отмечалось в § 2.15, если для некоторой цепи

на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно w-ветви = Д_и / Д, а входное сопротивление /?_П( = Д/Д_ш. Для режима синусоидального тока

Комплексное число p~a + jb в соответствии с § 8.41 представим в виде р- j (b~ j а) - j Q, где Q — комплексная угловая частота. Сопро­тивление Z(p) — это сопротивление цепи на комплексной частоте; Z(y to) — это частный случай Z(p), когда Q = <о. Имея это в виду, запи­

шем

где Д(р)— определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов.

Таким образом, уравнение ⁼ имеет те же корни, что и

уравнение Д(р) - 0.

При составлении Z(/?) следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания.

Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за ос­нову не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В этом случае следует приравнять к нулю определитель матрицы узловых про­водимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы за­земленным.

Пример 77. Для схемы рис. 8.5 составить характеристическое уравнение.

Реше н и е. Входное сопротивление относительно зажимов ab при переменном токе

Заменим в нем уо на р и приравняем его к нулю:

Отсюда

р“ Ly С Ri + р (Lf + /?| С) + /?| + /?2

I + р₂С р

или

р~ L] С /?2 + р (£| + /?1 /?2 С ) + /^| + /?? = 0.

Уравнение (8.12) совпадает с уравнением (8.10). составленным иным путем, и полу­чено оно с помощью выражения для входного сопротивления первой ветви схемы (см. рис. 8.5) относительно зажимов ab. Точно такое же уравнение можно получить, если за­писать выражение для входного сопротивления любой другой ветви.

Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать Д(р) и АДр) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий множитель р сокра­щать Д(р) и А*(р). как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на р допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений не может содер­жать незатухающую свободную составляющую Если же исследуемая величина в рассмат­риваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать числитель и знаменатель Z(p) на р (терять корень р - 0) нельзя. Для иллюстрации недо­пустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекоммутаиионной схеме (см. рис. 8.6. а) имеется контур из индуктивных элементов, активное сопротивление которого равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухающая свободная составляющая тока, которая не будет учтена а решении, если сократить числитель и знаменатель Z(p) = Я? Р.£) _на р з схеме на рис. 8.6, б, дуальной схеме на рис. 8.6, а после 2 р L

коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противо­положно направленных незатухающих свободных составляющих напряжений. Свободный заряд каждого конденсатора не сможет пройти через сопротивление R, так как этому ме­шает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной со­ставляющей напряжения.

Для схемы на рис. 8.6, б характеристическое уравнение получим, приравняв к нулю входную проводимость относительно зажимов источника тока:

где g = I / /?.

В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и знаменатель Z(p) на р, приведем схему на рис. 8.6, в. Для нее

RC p(RC р + 2) _ R(RC р + 2)
Cp(RCp + V) RCp + \

§ 8.14 Основные и неосновные зависимые начальные значения. Для сложных схем со многими накопителями энергии число независи­мых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении по­стоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них.

Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые мо­гут быть заданы независимо от других. Остальные независимые началь­ные значения называют неосновными.

В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.7. Она содержит три индуктив­ных элемента и один емкостной. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия):

1)/,(OJ = O; 2) ;₂(OJ = O; 3) /₃(0₄) = 0; 4) u_r(0 J = 0.

Из них три являются основными и одно — неосновным. Выбор основных значений здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неос­новным будет третье.

Пример 78. Убедимся в том. что для схемы на рис. 8.7 характеристическое урав­нение имеет не четвертую, а третью степень.

Решение. Составляем выражение для входного сопротивления:

Отсюда

(Я, + р £0 (1 + р² С₂ (L₂ + Ь>)) + р £₃ (1+С₂ £j р²) = 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень.

§ 8.15 Определение степени характеристического уравнения. Сте­пень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация позволяет определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения равна числу основных неза­висимых начальных значений в послекоммутационной схеме после мак­симального ее упрощения и не зависит от вида ЭДС источников ЭДС в схеме.

Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединен­ные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалент­ным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.

Применительно к схеме на рис. 8.8, а последовательно включенные L\ и L^e₂ следует заменить на £, = L{ + ± 2 М, если между ними есть маг­нитная связь (если нет магнитной связи, то М =0), а конденсаторы ем-

а б

Рис. 8.8

костью CJ, CJ, С₄ — на конденсатор емкостью С₅ =С₄+~~—".

С₃ + С₃ Начальное значение напряжения на С₅ равно начальному значению на­пряжения на С₄.

В результате упрощений схемы рис. 8.8, а получаем схему рис. 8.8, б, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор. Все три неза­висимых начальных значения — основные. Следовательно, характерис­тическое уравнение будет третьей степени.

Обратим внимание на то, что степень характеристического уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными элементами схемы или она отсутствует.

Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.9, а), либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только источники ЭДС (рис. 8.9, б). Положим, что после максимального упрощения схемы

а б в г

Рис. 8.9

в емкостный контур входит и конденсаторов. Если учесть, что по второ­му закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на ветвях конту­ра равна нулю, то только на конденсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом по­нимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.9, в), либо часть ветвей с индуктивностями, а дру­гая с источниками тока (рис. 8.9, г). Положим, что в индуктивный узел сходится т-ветвей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по пер­вому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т -1 индуктивностях токи могут быть заданы произвольно.

Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения схемы степень характеристического уравнения может быть определена путем подсчета величины п, + л_с -y_L -k_c, где n_L— число индуктив­ных элементов в схеме; п_с — число конденсаторов; у_с — число индук­тивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; к_с — число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть зада­ны произвольно.

Замечания. I. Если схема с источником тока имеет несколько послсдовагельных участков, содержащих параллельно соединенные ветви с R, L, С, то для каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (сво­бодные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку его сопротивление рав­но бесконечности).

§ 1.1 и в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники (см. § 8.63), содержащие элементы /?, L, С, между которыми выполняются определенные соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки (на эту тему рекомендуется решить при­мер 30 из вопросов для самопроверки).

§ 8.16 Свойства корней характеристического уравнения. Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение пер­вой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два кор­ня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действи­тельный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных нерав­ных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действи­тельной частью.

Уравнение третьей степени может иметь: а) три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня» из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицательных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.

§ 8.17 Отрицательные знаки действительных частей корней ха­рактеристических уравнений. Свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источника ЭДС. Он описывается слагаемыми вида А е^р/. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсутствуют ис­точники энергии, которые были бы способны в течение сколь угодно длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов, т. е. свободные токи должны затухать во времени.

Если свободные токи (выраженные слагаемыми е^р/) должны затухать (спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицатель­ной.

Значения функции е где at-x, приведены в табл. 8.1.

Рассмотрим характер изменения свободных составляющих для про­стейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравне­нием первой и второй степеней.

Если число корней характеристического уравнения больше двух, то свободный процесс может быть представлен как процесс, составленный из нескольких простейших процессов.

Таблица 8.1

§ 8.18 Характер свободного процесса при одном корке. Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток

1_С| = Яе^/" = 4еЛ

ще р--а зависит только от параметров цепи, А — от параметров цепи,

величины ЭДС. Характер изменения /_св при А > 0 показан на рис. 8.10.

За интервал времени / = т = 1/а функция Ae~^pt уменьшится в е = 2,72 раза. Действитель- но, при г = т = 1/о at - а т = а!а = 1; е“°'= = е"^/’^х = е^ч = 1/е = I / 2,72.

Величину т = 1 /а = 1 /\р\ называют постоян­ной времени цепи; т зависит от вида и парамет­ров схемы. Для цепи на рис. 8.2 т = L / 7?, для цепи на рис. 8.3 т = ЛС, для цепи на рис. 8.18 с - (7?i С) /(/?]+ 7?₃) и т. д.

Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е^-|/т численно равна т (см. рис. 8.10).

§ 8.19 Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть р_} = -а, р₂ = -Ь (для определенности поло­жим b > а). Тогда

/_св = 4 е^р‘' + Л₂ е^Р:' = A_l e~^at + А₂ e~^bl.

Характер изменения свободного тока при различных по значению и знаку постоянных интегрирования А_{ и А₂ качественно иллюстрирует­ся кривыми на рис. 8.11, а-г; кривая 1 представляет собой функцию А_} e~°’, кривая 2 — функцию А-, е~^Ь(; результирующая («жирная») кри­вая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2.

§ 8.20 Характер свободного процесса при двух равных корнях. Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня Ру-р₂- ~^а> то соответствующие слагаемые решения дол­жны быть взяты в виде

Л, е¹” + А₂ 1 e^pt =(Л, +А₂1) е'".

На рис. 8.12 построены пять кривых. Они показывают возможный характер изменения функции (Л, + А₂ t)e~^ar при различных значениях постоянных интегрирования А_{ и Л₂, а также при равенстве нулю од­ной из постоянных.

Кривая 1 построена при А_} > 0 и А₂ > 0; кривая 2 — при А_} < 0 и А₂ >0; кривая 3 — при А_х >0 и А₂ <0; кривая 4 — при Л] =0 и Л₂ > 0; кривая 5 — при Л₁ > 0 и Л₂ = 0.

§ 8.21 Характер свободного процесса при двух комплексно-сопря­женных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно-сопря­женными. Так, если р_} = -5 + j <о_о, то р₂ - -8~j со₀. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в виде

/_св = A e’^6f sin(co₀ / + v).

Формула (8.16) описывает затухающее синусоидальное колебание (рис. 8.13) при угловой частоте <о_о и начальной фазе v. Огибающая ко­лебания описывается кривой Ле"^5/. Чем больше S, тем быстрее зату­хает колебательный процесс; А и v определяются значениями парамет­ров схемы, начальными условиями и ЭДС источника; о)₀ и 5 зависят только от параметров цепи после коммутации; со₀ называют угловой частотой свободных колебаний; S — коэффициентом затухания.

§ 8.22 Некоторые особенности переходных процессов. Как известно из предыдущего, полное значение любой величины (тока, напряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если

среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряжен­ные корни pi_t2 = -5± у а)₀ и значение угловой частоты свободных коле­баний о₀ почти равно угловой частоте со источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффициент затухания S мал (цепь с ма­лыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биение амплитуды (рис. 8.14, а).

Колебание (см. рис. 8.14, а) отличается от колебаний, рассмотренных в § 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда медленно уменьшается.

Если угловая частота свободных колебаний <о₀ точно равна угловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.14, б.

Простейшим примером колебаний такого типа является колебание, возникающее на конденсаторе схемы (рис. 8.15) в результате сложения принужденного cosu>/ и свободного— U_Cm е cosco t колебаний: U_c - U( т 0 - ^е’⁶¹) COS СО /.

Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциаль­ному закону.

При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут возникать большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме на рис. 8.16 при нулевых начальных условиях в первый момент после замыкания ключа напряжения на конденсаторах равны нулю и ток в неразветвленной час­ти цепи равен U_m sinцу//?,. Если = 90°, то в первый момент после замыкания ключа ток равен U_m! Я,. При размыкании ключа в индуктив­ных цепях возникают опасные увеличения напряжения на отдельных уча­стках (см. § 8.24).

§ 8.23 Переходные процессы, сопровождающиеся электрической искрой (дугой). Если переходный процесс вызывается размыканием клю­ча в электрической цепи, содержащей индуктивные катушки, то между его расходящимися контактами при определенных условиях может воз­никнуть электрическая искра (дуга). При этом расчет переходного про­цесса усложняется и, строго говоря, не может проводиться методами, изу­чаемыми в данной главе. Объясняется это тем, что сопротивление элек­трической искры является нелинейной функцией протекающего через нее тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16.

Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры при размыкании ключа в схеме на рис. 8.17.

До размыкания ключа в цепи был установившийся режим:

/(0_) =------------------ ---

R + 0,5 R 3R

Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток /| почти мгно­венно уменьшается до нуля, а /(0₊) должен равняться /₂{0₊). Но каждый из токов (q и /₂) по первому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между достаточно медленно расходящимися контактами ключа при определенных условиях можно ожидать возникновения электрической искры. Расчет переходного процесса в схеме на рис. 8.17 дан в § 8.28.

§ 8.24 Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием вет­вей в цепях, содержащих индуктивные катушки. При размыкании ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой индук­тивностью, на отдельных участках могут возникать напряжения, во много раз превышающие установившиеся. Напряжения, превышающие устано­вившиеся, называют перенапряжениями. Они могут оказаться настоль­ко значительными, что при определенных условиях вызовут пробой изо­ляции и выход из строя измерительной аппаратуры.

Пример 79. К зажимам индуктивной катушки с /? = 1000м; £ = 10 Гн; подключен вольтметр (рис. 8.18). Сопротивление вольтметра R>- = 3000 Ом; £ = 100 В. Найти при­ближенное значение напряжения на зажимах вольтметра при / = 0₊. если допустить, что размыкание ключа произойдет мгновенно и искры не возникнет.

Ре ш е н и е. До размыкания ключа через £ протекает ток / = Е / R ~ 1 А. В индук­тивной катушке была запасена магнитная энергия £/²/2. Если допустить, что размыка­ние ключа произошло мгновенно и искры не появилось, и учесть, что ток через £ должен оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру, составленному вольтметром и катуш­кой, за счет запаса энергии магнитного поля индуктивной катушки в первое мгновение будет протекать ток в 1 А. При этом на вольтметре возникнет пик напряжения 2 кВ. Про­хождение большого импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание катушки прибора и выход его из строя.

При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися контактами возникнет электрическая искра. Это приведет к тому, что увеличение напряжения на вольт­метре будет меньше, чем в только что рассмотренном идеализированном случае, когда ключ размыкался мгновенно без искры.

При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влияние меж­витковых емкостей и емкостей на землю (см. § П.1). Если не учитывать возникновение искры, распределенные емкости и индуктивности, то приведенный расчет является гру­бым и носит иллюстрированный характер.

Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи (см. рис. 8Л 8), сначала следует отключить вольт­метр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжения проявляются тем сильнее, чем больше индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цепях постоянного тока, содержащих ин­дуктивности порядка единиц и десятков генри. В таких цепях при отключениях соблюда­ют специальные меры предосторожности (ключ размыкают после введения дополнитель­ных резисторов в цепь).

§ 8.25 Общая характеристика методов анализа переходных про­цессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процес­сов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основ­ных операций:

1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи;

2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации;

3) составления характеристического уравнения и нахождения его кор­ней;

4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функ­ции времени.

Широко распространенными методами расчета переходных процес­сов являются:

1) метод, называемый в литературе классическим;

2) операторный метод;

3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля.

Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) яв­ляются обязательными. Для всех методов первые три операции соверша­ют одинаково, и их необходимо рассматривать как общую для всех ме­тодов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвер­том, наиболее трудоемком этапе расчета.

Чаще используют классический и операторный методы, реже — ме­тод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каж­дого из них (см. § 8.56).

В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электрони­ке, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основы­вающийся на интеграле Фурье. (Об интеграле Фурье и спектральном методе, основывающемся на интеграле Фурье, см. гл. 9.) Для исследова­ния характера переходного процесса, описываемого уравнениями высо­ких порядков, используют моделирующие установки, а также метод про­странства состояний (см. § 8.66).

§ 8.26 Определение классического метода расчета переходных процессов. Югассическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения пред­ставляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при / = 0₊.

§ 8.27 Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряже­ние) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристического уравне­ния.

При двух действительных неравных корнях

4в ~ 4 ^еА' + Л е^Рг/;

при трех действительных неравных корнях

/_св = 4, е^/,|/ + А₂ е^Р1' +А₃ t^Pi'.

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов комму­тации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при / = 0₊, обозначим его /_св(0₊);2) числовое значение первой, а если пона­добится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t = 0₊. Числовое значение первой производной от свободного тока при / = 0₊ обозначим /'_в(0₊); второй— /*_в(0₊) и т. д.

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования A_hA₂,,.._t полагая известными /_св(0₊), £_в(0Д У'_в(0₊) и значения кор­ней р_нр₂,....

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравне­ние первой степени, то /_с0 = A е^р'. Постоянную интегрирования А опре­деляют по значению свободного тока /„(0.): СВ > < Z

Л = /_св(0₊). (8.17)

Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то

'св = 4 ^e/v + Л е^Р:'.

Продифференцируем это уравнение по времени:

'св = Р1 4 е^р,'+Рз Я₂е^⁷.

Запишем уравнения (8.18) и (8.19) при / = 0 е*' = e^Pi' =1 при t = 0).

В результате получим:

4,(0.)= Л,+Л₂;

^Zce(<M - Р] ^А) ⁺ Pl ^А2‘

В этой системе уравнений известными являются /_св(0₊), /с_В(0₊), р, и р₂; неизвестными — А_х и А_г.

Совместное решение (8.20) и (8.21) дает

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-со­пряженными, то в (8.18) сопряжены не только р_} и р₂ (А, 2 = -5± J со₀), но и А_{ и А₂. Поэтому свободный ток

Угловая частота со₀ и коэффициент затухания 5 известны из реше­ния характеристического уравнения.

Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по значениям /_св(0₊)и /’с_В(0₊).

Продифференцировав по времени уравнение (8.23), получим

= ~^А & е"*' sin(co₀ t + v) + A w₀ е'⁵' cos(<o₀ t + v). (8.24)

Запишем уравнение (8.24) при / -0₊ :

^!св ($♦ ) = -Л S sin v + Л о)_о cos v.

Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два урав­нения:

4в(°₊) = ^{А $}in v;

<_в(0₊) = ~^А § sin v + А со₀ cos v.

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток

Z_CB - Л, е^А' + А₂ е^Ме'”'.

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой час­тей уравнения (8.26):

С = А Л ^ePl' ⁺Р2^А2 ^еРг' +Рз^Аз ^еРу‘‘>
Се = Р. ^А\ ^еР'' + Р2 ^А2 ^ePi' + Pl ^аз е^Р''

Запишем (8.26)-(8.28) при t = 0₊:

4л(®+) ~ Л ⁺ ^2 + Л»

С(°₊) = Р\ ^Л\⁺Р2 А₂+р_у А₃\

ice ~ р\ + Р1 А₂ + Рз А₃.

Система уравнений (8.29) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: А_}> Л₂ и А₃. Все остальные входящие в нее величины (р_}, р₂ р₃, /_св(0₊), /с_В(0₊), *св(0+)) известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облег­чения расчета величины и ее производной (производных) при t = 0₊ ре­комендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов клас­сическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.

Пример 80. В схеме на рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим: Л) = = /?₃ = 50 Ом; С - 100 мкФ; Е - 150 В. Требуется найти: 1) полные, принужден­

ные и свободные составляющие токов /]. i_z, i₃ и при / = 0„, а также начальное зна­чение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2) токи /₂, iy и на­пряжение и_с в функции времени.

Решение первой части задачи. До коммутации /₂(0 ) = 0 и i|(0.) =и₃(0_) = £/(Л,+/?; +R₃)= 150/150 = 1 А.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R₃: а₍(0_) = /₃(0_) R₃ = I -50 = 50 В.

Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммугацнн:

Е ¹⁵⁰ КА

^{= =} юо^{= 1,5} '

Кз = 1-5'50 = 75В.

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при г = 0₊ :

>1(0,) /?] + «_г(0₊) = £. но «с(0₊)= «с(О-).

Поэтому

150-50 . _А

----------- = 2 А.

50

Из уравнения ) = i₃(0^) R₃ получим

/₃(0,) = i/₍-(0,)//?₃ = I А.

По первому закону Кирхгофа q(0₊) = ь(0₊) + /₃(0*). Следовательно,

A(OJ = ;₁(OJ-/₃(OJ = 2-1 = 1 А.

Свободные составляющие тока и напряжения при I = 0₊ определим ках разности между полными и принуж­денными величинами:

«Сс.(0♦) = «с(0₄) - «сп_Р(0₊) = 50- 75 = -25 В;

/|_СВ(0₊) = г,(0₊) - /,_пр(0₊) = 2 -1,5 = 0,5 А;

(0 J (О J - /_2пр (0 J = I - 0 = 1 А;

'Зсв(О>) = 'з(О^)-Ъпр(°-) = 1-1,5 = -0,5 А.

Так хак свободный ток через конденсатор

В рассматриваемом примере

Решение второй части задачи. Харак­теристическое уравнение для послекоммутационной схемы р Ry /?₃ С + + /?з = 0 имеет один корень

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной стпаапяощей а с¹". где А равно значению свободной со­ставляющей при i - 0, (рис. 8.20):

/₂=е“^400/А; G = 1.5-0.5 е"¹⁰⁰'; и_с = 75- 25 е"⁴⁰⁰' В.

Пример 81. В схеме (рис. 8.21) до замыкания ключа был установившийся режим: /?1 = R₂ = 2 Ом; со£ = 30м; e(i) = 127 sin(a) t - 50°) В; о = 314 рад/с. Требуется опреде­лить: 1) /_с>(0₊); 2) закон изменения тока в цепи после коммутации.

Решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в цели до коммутации

По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая / на рис. 8.22 до <о t = 0)

i = 25.4 sin(o) t - 86’50') A.

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис. 8.22)

/_пр = 35,2 sin(o) t -106’20') A; i_ct(0_¥ ) = 8,45 А.

Следовательно,

i = г_пр + /_св - 35,2 sin(ci) t -106’20') + 8,45 е"²⁾⁰' А.

Кривая 3 на рис. 8.22 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при w/^О равны сумме ординат кривых 2 и 3).

Пример 82. Конденсатор емкостью С. заряженный до напряжения w_r(0), при замы­

кании ключа К разряжается на £ и А (рис. 8.23, а). Вывести

ки изменения во времени «<>, /. у/, когда корни характеристического уравнения: а) дей­ствительные; б) комплексно-сопряженные.

случаю R называют критическим. При решении учтем, что /(0) = 0, '_Пр = О, "спр ⁼ а) Полагаем з — действительные корни. Тогда

«Сев = 4 с*' + А₂ c^Pit‘.

<Сс, • С -- р, А, с^Р|' +р₂ Л₂ at

Составим два уравнения для определения А_} и Л₂:

Л| ⁺ ^2 ~ «с (0k Pi ⁺ Pz ^2 ~ 0.

Отсюда

_л _ «с (0) Рг . _Л) _ «с (°) Р\
Рг~ Р\ ' Pi ~ Pi

_a(. ₌ -M2L₍p_2e,V-_P1e«-_);

Pi- Pl

i = C_Pi A_}

u,_ = LC pi Ai (pi c^{l>l 1} -p₂ e^,,J').

Графики u_c, i, u_t для случая а) даны на рис. 8.23, б.

Для случая б) корни р, ₂ = -5±/ о₀. где § = R/2 L; ы₀ = ние и_Ссл = А е ⁶¹ sin(a>₀ / + v).

Ток

(-6 sin(o₀ / + v) + c)₀ cos(<B_O < + v)) - ACe ^6f _si_n(_COo / + _v + 0).

Здесь tg3 = <о_о / (-S), угол 0 находится во второй четверти. Из начальных условий

w₍-(0) - A sin v и /_св(0) -AC sin(v + 0) = 0.

Отсюда

tgV (Ол

v+ 0 = 180°; jgv = o>₀/5; sin v =-j====-=-у===-.

yl + fg*’V •уб^+Wo

Постоянная

Л = = и_с(0) 71 + (8/<о₀)²

sin v

Графики

и₍- = A e^-Szsin(o₀ t + v); i = -A C ^8² +coq e"⁵' sino₀ i = -A jc!L c~^6/sino)₀ r;

и, - (З² +Шл) ACL e^-5/ sin(o₀ t - v) = e~^8/ sin(w₀ t- v)

sin v

изображены на рис. 8.23, e; и/,(0₊) =-w_c(0).

Пример 83. В схеме (рис. 8.24) ключ замыкается в третьей ветви. До этого был уста­новившийся режим. е(/) = £ = 120В. Требуется найти: 1) ^_C8(0_tX >

«г'св(°₊). (^«Ссв ^z^)o. ’• 2) i₂(t), если R_{ 50 Ом. R₂ = 10 Ом, L, = 2 Гн, /?₃ = 50 Ом, С - 150 мкФ.

Решение первой части задачи. До замыкания ключа

Принужденный ток после коммутации /_)пр = /_2пр = 2 Л. Постоянный ток через конден­сатор не проходит, поэтому /_Зпр = 0.

От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следователь­но, «Л2пр=°-

Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на /?₂ оттока ь_Пр: г/_г = 210 = 20 В, По первому закону коммутации г₂(0_) =/₂(0₊) = 2 А. Но 6(0j = /_2np(0₊) + /_2ce(0₊), откуда

/₂„(0 ♦ ) = й(0 J-/_2np(0J = 2-2 = 0;

/_I(OJ = /₂(OJ+/₃(OJ.

или

/,(OJ = 2 + /₃(OJ.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образован­ного первой и третьей ветвями:

/1(0₊)Л₁+М0_>)Л₃+^(О.) = £.

Так как и₍ (0₊) = 0 и /₍(0₊) = 2 + z₃(0₊). то

. ,_{Л ч} £ - 2 /?| 120-2-50

'з 0₊ ) =------------ - =-------------

/?, + R_y 50+50

Свободная составляющая

WO J = Ъ(0₊) - ,_3np(0 J = 0.2 - 0 = 0,2 А.

Чтобы определить ^ц/._св(0>) составим уравнение для свободных составляющих по контуру, образованному первой и второй ветвями:

Лсв(0₊ ) £| + *2св(0+ ) ^2 ^{+ w} /.c#(0₊ ) - 0.

откуда

"z,_C8(0₊) = -6«(0₊) - '2св(0>) Я₂ = -0.2 50 - 0 = -10 В.

Но u_(ct = L₂ . Следовательно, си

Свободное напряжение на конденсаторе при г 0₊ подсчитаем по второму закону коммутации:

и_с(0_)= u_r(0₊ )1 w_r(0₊) = u_Cn}>(0₊) + u_CcjO₊); 0 = 20 + и_Ссв(0_ф), отсюда «гс.(0₊) = -20 В.

Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на конденсато­ре при {a 0_t. С этой целью воспользуемся тем, что /_Зсв = С ^du '-^c*. Следовательно, dt

^£1. _{= =} —9^— = 1333В/с.

dt С 150Ю'⁶

Решение второй части з а д а ч и. Характеристическое уравнение

L₂ С (Л| + Л₂) + р (С (/?2 Д} + Д| ^2 + ^1 /?з) ⁺ ^2 ) ^{+ +} Д₂ ⁼ Q

имеет два комплексно-сопряженных корня:

Pi = -42,1 + j 15,2 с"¹,
р_г =-42.1- j15,2с"’.

Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде

А е"⁶' sin(co_o / + V).

где 8 = 42,1; = 15.2; Ли v определяем по значению свободной составляющей и ее пер­

вой производной при / = 0*. По данным первой части задачи, t₂ =2 А; ь_св(0₊) = 0; /₂се(0₊) = -5А/с; «_Гпр = 20В; w_rce(0j-20 В; и'_(Чъ(0J = 1333 В/с.

При / = 0 Ле‘⁶' sin(o₀ t + v) = A sinv. Производная функция Л е"⁶'sin(co_o r +v):

- Л 8 е'⁶' $in(t>₀ / + v) + А е "⁵' о₀ cos(<d₀ t + v).

Значение этой производной при / = 0 равно -8 Л sin v + <о₀ A cos v.

Найдем значения Л и v для свободной составляющей тока i₂. Для этого составим два уравнения:

/₂с«(0*)^в0 или Xsinv = 0;

/_2св(0₊) = -5 или -8 Л sin v + cj₀ Л cos v =-5.

Совместное решение их дает А = -0,328 А и v = 0. Следовательно,

'2 = '2пр ⁺ '2с. = ² - W28 ^е’^42,1' ¹5,2 t А.

Кривая / на рис. 8.25 выражает собой график /₂ = f(t). Найдем Л и v для свободной составляющей напряжения и₍-:

ы_Ссв(0.,) =-20 или Л sin v = -20;

^MCc»(0+)⁼ⁱ= ^l^33 или -8 A sin v +co_o A cos v = 1333.

Отсюда A = 37,9; v = 31°52'.

Таким образом, ^u (' ~^uCnp ^+u(c» - 20+37,9 e"⁴²¹' sin 15,2/ A.

Кривая 2 на рис. 8.25 изображает и_с = f{t).

Пример 84. В схеме на рис. 8.24 е(/) = 127 srn(314 г+ 40°) В. Параметры схемы те же, что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.

Требуется найти: I) /_2св(0₊); ; u_Cc,(0J; -~^с‘ : 2) i(t), u_c(t}.

^d ‘ о. ^d{ o₊

Решение первой части з а д а ч и. До коммутации

= / = *^27е72° ■■ = 0,202 е"^{7 44}’³⁰'

^2т 60+у 628

/| = i₂ = 0.202 sin(o t - 44’30');

6(0.) = /₂(0.) = 0,202 sin(-44°30') = -ОД 4 J 5 А.

Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации. Входное сопротивление цепи

( J

(Л₂+У<лТ₂) /?₃--------- —

Z_BX = Л, +---------------------- = 104.8 е’⁷⁹‘⁵⁰’ Ом.

Л₂ + / со Д₂ + /?з---- —

й> С

Тогда /_)яг = Ё|_Ж/Z_ex = 127 е⁷⁴⁰’/104,8 е'^{7 9050} = 1,213 е⁷⁴⁹*⁵⁰.

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации

6_пр = 1.213 sin(co/ +49’50’);

6 _лр (0₄) = 1.213 sin(49’50 ’) = 0.923 А.

Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей

(R₂+J(aL₂) /?₃ -

к

23 -

R₂ + J

Комплексное напряжение на параллельном участке

и₂₇„ = 1_]п> Z_2J = 1.213е^/49°⁵⁰ 56.3 е'⁷¹⁸“³⁵’= 68,2 е'³¹⁰’⁵' 0.

/ = _s ^68>2е,._^{П 15} _я 0,1085 е ^{7 58}’^4$‘
^2w Z₂ 10 + 7628

Мгновенные значения принужденных токов i₂ и /₃ после коммутации:

/_2пр = 0,1085 sin(co/-58’45');

/_Зпр = 1,253 sin(o I + 54’20');

'2пр (° J = 0,1085 sin(-58°45’) = -0,0928 А;

/_3пр(0₊) = 1.253 sin 54’20' = 1,016 А.

Принужденное напряжение на конденсаторе

1,253e^{7 54}’²⁰■21.3e-^790O=26.7e-^{73^O4<,}' В.

Мгновенное значение принужденного напряжения на конденсаторе после коммутации и_Спр = 26,7 sin(<o t - 35°40'); н_Спр(0₊) = 26,7 sin(-35°40') = -15,57 В.

По первому закону коммутации,

'з(0-) = ) = -0,1415 = /_2пр(0₊) + /_2св(0₊);

/_2пр (0₊) - 0,0928 А; /_2с,(0₊) = -0,1415 + 0,0928 = -0,0487 А.

Свободное напряжение на конденсаторе «с_С8(0₊) найдем по второму закону комму­тации:

^иС (0.) = н_Гпр(0₊) + м_Гсв(О₊);

«Сс₈<0₊)=Ц_Г(0_)-_ЫГпр(0₄) = 0-(-15,57) = 15,57 В.

Для определения /з_св(0₊) составим уравнение по контуру, образованному первой и третьей ветвями:

6с.(Of) Я| ^+Iic»(0f) R3 +«_c»(0J = 0.

Заменим в нем /_1св(0₊) на (-0,0487 + /_Лсв(0₊)), и. учтя, что ^_Ссв(0₊) = 15,57 В, полу­чим

Решение второй части задачи. По данным, полученным при решении первой части,

/_2пр = 0.1085 sin(w t - 58°45'), /_2св(0, } = -0,0487 А;

'2c,(0j = 4,74 А/с;

и_Гпр = 26.7 sin(o/-35°40'), м_Гсв(0,.) = 15,57 В;

^■с.(0₊)=“876В/с;

Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Опреде­лим А и v для i_2ca, составим два уравнения:

A sin v = -0.0487; 6 A sin v + <о_о A cos v = 4,74.

откуда А = 0,184 A; v = -15°20'.

Следовательно,

i₂ = ,_2ffp + /_2св = 0,1085 sin(co t - 58°45') + 0,184 c’^42J' sin(l 5,21 -15’20') A.

Найдем А и v для w_Cci, составим два уравнения:

A sin v - 15,57; -5 A sin v + co_o A cos v = -876.

Их совместное решение дает А = 213; v = 136°50'.

Таким образом,

и_с = «с'пр + ^иСсв = 26,7 sin(© / - 35°40’) + 21,3 е'^42л' sin(l5,2 / +136°50') В.

§ 8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмот­рении которых не выполняются законы коммутации’*. Обобщенные законы коммутации. На практике встречаются схемы, переходные про­цессы в которых состоят как бы из двух стадий резко различной продол­жительности, Длительность первой стадии в тысячи и миллионы раз ко­роче второй. В течение первой стадии токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах изменяются настолько быстро (почти скач­кообразно), что если считать t = 0_ началом, a t = 0₊ — окончанием пер­вой стадии, то создается впечатление, что при переходе от t = 0_ к t - 0₊, т. е. за время, например, в несколько микросекунд, как бы нарушаются законы коммутации.

Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмотрим переходный процесс в схеме (рис. 8.26) с начальными условиями и_С1(0_) = Е, и_С2(0_) = 0.

Сначала при замыкании ключа через конден­

саторы возникают очень большие броски токов (ограничиваемые хотя и очень малыми, но все же конечными сопротивлениями соединитель­ных проводов Я_пр), прохождение которых при­водит почти к мгновенному уравниванию напря­жения на конденсаторах до значения, меньше­го Е. (Строго говоря, если учесть сопротивле­ние /?_пр, то для первой стадии переходного про­

цесса в схеме на рис. 8.26 характеристическое уравнение будет уравне­нием второго порядка, один корень которого при /?_пр -» 0 стремится к бесконечности.)

После этого начинается вторая стадия, когда параллельно соединен­ные конденсаторы относительно медленно заряжаются до напряжения £. Длительность переходного процесса практически определяется второй стадией.

В качестве примера нарушения первого закона коммутации рассмот­рим переходный процесс в схеме на рис. 8.17. Быстрое размыкание ключа в первой ветви, например за 10“⁵ с, приводит к тому, что сопро­тивление этой ветви быстро увеличивается, ток Z, почти скачком умень­шается до нуля и почти скачком изменяются токи в остальных ветвях.

"’Имеются в виду ранее рассмотренные законы коммутации.

Таким образом, за очень малое время порядка ] О^-5 с (от / = 0_ до t = 0₊) токи резко изменяются, a i(0₊) * /(0_); ^(О^.) * /₂(0_).

Нарушение законов коммутации в формулировке § 8.5, 8.6 при пере­ходе от t - 0_ до / - 0₊ объясняется тем, что процессы в быстро проте­кающей первой стадии и их зависимость от времени не рассматривают­ся. Если же первую стадию не исключать при рассмотрении, то ранее исследуемые законы коммутации выполняются.

Для того чтобы можно было рассчитать переходные процессы сразу во второй стадии, как бы перешагнув через первую, надо, во-первых, примириться с тем, что при переходе от t = 0_ до t - 0₊ в рассматрива­емых задачах законы коммутации в том виде, как они сформулированы в § 8.5, 8.6, не будут выполнены; во-вторых, принять исходные положе­ния, которые позволяют определить значения токов через индуктивнос­ти и напряжений на конденсаторах (а если потребуется, то и их произ­водные) при t - 0₊ через значения токов и напряжений при t = 0. Таких положений (правил) два. При решении задач рассматриваемого типа они заменяют законы (правила) коммутации, о которых шла речь в § 8.5, 8.6, и потому их называют иногда обобщенными законами (правилами) ком­мутации.

§ 1.1 переходе от t = 0_ до / = 0₊ суммарное потокосцепление каждого замкнутого контура послекоммутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений. Это положение следует из второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допус­тить, что некоторого контура изменится скачком, то в уравнении для этого контура, составленном по второму закону Кирхгофа, появилось бы слагаемое д£ц//Д/| и второй закон Кирхгофа не был бы вы­полнен.

Суммарное потокосцепление представляет собой алгебраичес­кую сумму произведений токов ветвей этого контура на индуктивности их индуктивных элементов (в общем случае с учетом магнитной связи с другими ветвями). Со знаком плюс в эту сумму входят слагаемые вет­вей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура.

§ 1.2 переходе от / = 0. до t = 0₊ суммарный заряд на обклад­ках конденсаторов, присоединенных к любому узлу послекоммутацион­ной схемы, должен остаться неизменным. Если этого не выполнить, то суммарный ток, проходящий через конденсаторы, был бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бесконечно большими были бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому узлу. Это также привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа.

Пример 85. В схеме рис. 8.17 до размыкания ключа был установившийся режим. Определить ток в цепи после коммутации.

Решение. Послекоммутационная схема (см. рис. 8.17) имеет всего один контур. По первому закону (правилу) коммутации:

Д/(0_)+Д₂ /₂(0_) = ((0₊)(£ + /.,); <(0,)=■■- ¹ (£/(0_) + £₂ г₂(°- »•

Закон изменения тока при zsO_+t если считать, что до коммутации был установив­шийся режим,

Пример 86. Определить закон изменения напряжений u_C] и »С2 при замыкании клю­ча в схеме на рис. 8.26.

Решение. В схеме известны и₍->(0_) = £; i/_f-₂(0₊) = 0 По второму закону (прави­лу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько необходимо составить

уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа):

«с = Е - £

Ч ^т I " -

Характер изменения и и_сг показан на рис. 8.27, в, г.

В заключение обратим внимание на то. что, допустив при переходе от / - 0_ к ( = 0₊ скачкообразное изменение токов через индуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений на конденсаторах, тем самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля индуктивных элементов и энергии электрического поля конденсаторов.

Суммарная энергия электрического и магнитного полей при / = 0₊ всегда меньше суммарной энергии при t - 0_, так как часть запасенной энергии расходуется на тепловые потери в резисторах, искру при ком­мутации, электромагнитное излучение в окружающее пространство.

Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета пере­ходных процессов в линейных электрических цепях — операторного метода, вспомним некоторые известные положения.

§ 8.29 Логарифм как изображение числа. Известно, что для выпол­нения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться логарифмами.

Действительно, операция умножения сводится к сложению лога­рифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т. д. Таким образом, произвести расчет легче в силу того, что сравнительно слож­ная операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображе­ние числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2.

§ 8.30 Комплексные изображения синусоидальных функций. С понятием изображения встречаются также при изучении символичес­кого метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символичес­кому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так, 1_т— изображение синусоидального тока I_m sin(<o t + iy). Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусо­идальной функции времени в виде комплексного числа имеется суще­ственная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изображении функции времени.

Подобно тому как ведение логарифмов упростило проведение опера­ций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных

ункций времени позволило упростить операции над функциями време­ни (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям, изученным в гл. 2).

§ 8.31 Введение в операторный метод. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций времени, В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот — функции пе­ременной р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью преобразования (прямого) Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лап­ласа.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования -к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

§ 8.32 Преобразование Лапласа. Условимся под р понимать комп­лексное число

р = а + jb>

где а — действительная, a jb — мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут $).

В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэ4

циент b с учетом знака условимся называть не коэ<{ мой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают

f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p}, называ­емая изображением, которая определяется следующим образом:

Соответствие между функциями F(p) и /(/) записывают так:

F(p^f(t). (8.32)

Знак «=» называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (8.31) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в ре­зультате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (8.31), в состав кото­рого входит функция е"^р/ = е'^а/ е“^;Л', сходится только в том случае, когда модуль функции /(/), если и увеличивается с ростом /, то все же медленнее, чем модуль функции е^р1, равный е*'.

Практически все функции /(/), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют.

Составим изображения некоторых простейших функций.

§ 8.33 Изображение постоянной. Требуется найти изображение фун­кции /(/) = А, где А — постоянная величина. С этой целью в (8.31) вме­сто /(/) подставим А и проведем интегрирование:

ос

Г(р)= ре-'”
О

Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, деленной на р;

А = А/ р.